CC089 4- V
— fl*cos*9,
et, par
suite,
du
'di
-csinO-f-
a' sin
9 cos 9
fl»cos'9
OU
9 ± arc cos -
el
De là il résulte que, si l'on a /<; - V^' + c', il existe trois positions d'équilibre :
», ^ = y' =: arc sin ji \ = X'j
ci c
9=: arc cos — ' t f = f ' = arc sîn —== ;
cl c
9 = — arc cos — t ^ = y' = arc sin ■
a^a^-hc* ^/a^-hc'
Si l'inégalité i < - ^a* -i- c* n*est pas satisfaite, la première position d'équilibre existe seule.
Premier cas, / <^ - ^a* + c*.
Lorsque 9=0, les dérivées — — -» — sont positives, et
leur produit surpasse ( ) \ par conséquent l'équi-
libre est instable. D'ailleurs u est une fonction continue
aoo mAcahk^ue ratiovublle.
de ; d*oà il suit que, si Ton fait croître la variablç d'une
manière continue, on rencontrera alternativement un
maximum et un minimum de la fonction. Les positions
déterminées par les valeurs = db arc cos ■■ - , sont
donc des positions d'équilibre stable.
Deuxième cas. /"> - \/â^"-+-^ •
Lorsque 6 = o, les dérivées ~r^ » ^-j- sont-négatives^^t
leur produit surpasse f -7—- ) 5 par conséquent l'équilibre est stable.
5. Deux points pesants, P, P', réunis par un ^l sans poids, sont placés sur la surface connexe d^un cylindre horizontal. Déterminer la position d^ équilibre, et dire si Véquilibre est stable ou s'il est instable.
Il est clair que tout le système doit être situé sur un même cercle vertical.
Soient P et P' les poids des deux points, ^ et ({/ les angles que les rayons menés à ces points font avec la verticale, et a Tangle sous-tendu par le fil .
La position d'équilibre est définie par l'équation
fl> — / P' — P « tang— — ==p— ^ung-,
et l'équilibre est instable.
6. Un point matériel est attiré vers deux centres JtxeSy par des forces proportionnelles à la m**"*' puissance de sa distance à chacun de ces centres. Dire dans quel cas l'équilibre est stable, et dans quel cas il est instable,
L^équilibre est stable si m est ppsitif, il est instable si m est négatif*
STATIQ17S. aOI
7. Un solide de révolution, homogène, repose par son sommet sur le sommet d^un autre solide de révolution, dont Vaxe est également vertical. Le premier corps est tout entier au-dessus du point de contact, le second corps est au-dessous. On nomme r et r' les rayons de cour-bure des deux surfaces au point de contact.
Démontrer que V équilibre du premier corps sur le second est stable, instable ou indiffèrent^ selon que la hauteur du centre de gravité du premier solide au-dessus du point de contact est inférieure, supérieure ou égale
8. Un disque elliplique, homogène et très-^mince est placé dans un plan vertical sur deux appuis^ situés aux extrémités de deux diamètres conjugués et placés à la même hauteur. Démontrer que le disque est dans une position d'équilibre instable.
9. Un solide homogène est formé d*une demi-sphère et d*un cône, dont la base coïncide avec celle de la demisphère. Trouver la plus grande hauteur que peut avoir le cône, le solide étant assujetti à la condition d^étre en équilibre stable, quand on pose le sommet de la demisphère sur un plan horizontal.
La hauteur cherchée est égale au prodait tie ^ par le rayon de la sphère, et par conséquent la seétion méridienne du cane est un triangle équilatéral.
