Une barre homogène ÂB iapptùe par ses extré
196 MteAAIQtJE RAnOiniBLLE.
mités sur deux plans inclinés; elle est en éqwUbre. Dire si r équilibre est stable, ou s'il est instable.
Nommons a/ la longueur de la barre, son inclinaison Fig. 3i. sur Thorizon, a, a' les inclinaisons
des deux plans CA, CB, et supposons que a' soie plus grand que a.
A^ La distance du centre de gravité
^ — * — de la barre, au plan horizontal qui contient Tintersection des deux plans inclinés, a poor expression , . ^ , ,sin(a'— e) .
sm (a' -h a) ,
= > , . : [sln (a'— a) sin + 2 sîna' nn a cos $1.
Sin{«'-*-a) •■ ^ ' •■
Cette distance sera maximum ou minimum, en même temps que la quantité
sin (a! — a) sin 9 + 2 sin a' sin a cos = tt. Or
-;;r = sm(a'— tt) COS 9 — 2 sin ft' sitt tt sîh 9,
et cette dérivée doit être nulle pour que Féquilibre ait lieu; par conséquent,
- sinfa'— a)
UDge = — / , . ^
2 sm a' sin a
Puisque le second membre est positif, 6 est plus petit
que -• Ceci posé, la dérivée seconde
est négative pour une valeur.de 9 inférieure à -; donc
l'équilibre est instable.
4. Une hune carrée et homogène KLMN eit soute^ nue par unjil qui est attaché en deux points K', L' situés sur une arête de la lame, à égale distance des extré* mités f tout le système est supporté par un crochet C qui s^engage dans le.JiL Déterminer les circonstances de V équilibre. On néglige le poids du fil.
Soient G le centre de la lame ;
GH une perpendiculaire à K'L';
6 l'angle que cette perpendiculaire fait avec la verticale;
u le double de la distance du point G à Thorizontale qui passe au crochet;
ff et (f ' les inclinaisons des fils CK^ et CL' sur la verticale;
c le cAté du carre;
a la disunce K'Udes deux points d'attache}
/ la longueur toule du fil;
X et V les longueurs des parties CK' et CU.
La Gëomëtrie nous donne
ir = ccos9 + Xcosf -f-Vcos^', A cosO = X sin f -h V sin y% a sîn 9 = X cosf -^ V cos y',
d'où, si Ton élimine X',
(i) tt = ccosO + X(cosf — cosf') + /cos/,
(a) «cos9 = )i(sin^ — sîn/) -f- /siny%
(3) asinô=>(co$f -+-cosf')— icos^'.
Telles sont les trois équations qui lient la fonction u et les4{uatre variables f , ep', 9 et X.
198 MÉCÂIIIQUB mATI0H9BLLE.
On peut considérer f , f' comme des fo&edons de 6 et de X, et regarder u comme une fonction des deux variables indépendantes et X; alors, dans la position d'équilibre, les dérivées totales de u par rapport à X et par rapport i seront séparément nulles.
Occupons-nous d'abord de la variable X. Si nous différentions les équations (1), (a), (3) par rapport a cette variable» il vient
^^^ o = ^=:co8y-cos^'-Xsiny^-(/-X)sin^'j?.,
(5) o = sin © — sin •' 4- X cosy 3^ -h (/ — X ) cosf ' -^
(6) o=cosy-hcos/-)isinf^-h{/— X)sinfi'^.
Ajoutons les équations (4) et (6), puis retranchons les mêmes équations. Il vient
ou
Reportons ces valeurs dans Téquation (5)^ et nous trouverons
c'est Tune des conditions de Téquilibre.
Considérons maintenant la variabled. Si dans les équar tiens (1), (a), (3) nous introduisons la donditionf =f^,
STATIQUE. tgg
ces équations deyiennent
a =: c cos -f- /cos ç,
a cos 9 = / sin ^ »
a5Înd = (3X— /)cosf;
on en tire aisément la valeur de u en fonction de la seule variable 0,
Urz
