THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE MOUVEMENT D'UN SYSTEMS DE FORME INVARIABLE

Euler ('*') a démontré le premier qu'un corps solide, mobile autour d'un point fixe, peut être amené, d'une position à une autre position quelconque par une rotation autour d'un axe ipassant par le point fixe. De là il suit immédiatement que tout mouvement infiniment petit d'un corps solide, libre dans l'espace, peut se réduire à une translation de l'un de ses points, pris i volonté, accompagnée d'une rotation autour d'un axe qui passe par ce point.

MM. Poinsot {**), Chasles et Poncelet ont complété les recherches d'Euler. Us sont arrivés k définir géométriquement, de diverses manières, le mouvement continu le plus général d'un corps solide.

On trouvera dans ce chapiti*e une série de théorèmes remarquables énoncés par M. Chasles dans les Comptes rendus de Vjicadémie des Sciences pour i853, ainsi que diverses propositions éparses dans les écrits de cet auteur.

Nous ne considérerons en général que les mouvements infiniment petits d'un système de forme invariable. Toutes

( * ) Nwi Commentarii Acad, Petrop,, 1775.

("*) Théorie tufwelU de U rotation des eorpt^ iSSa.

cinévÂTiQuc. ào5

nos démonstrations seront fondées sur le principe des infinrment petits, que nous supposerons toujours présent à Tesprit du lecteur. Les points de notre système décriront en général des trajectoires infiniment petites du premier ordre; les lignes décriront des angles infiniment petits du même ordre. Si un point particulier ne décrit qu'une trajectoire infiniment petite du second ordre, nous conclurons immédiatement que ce point reste immobile ; ce qui est tout à fait rigoureux.

1. Considérons une figure plane assujettie à rester dans un même plan, une droite tracée à volonté sur cette figure, et deux points aelb pris sur cette droite. Déplaçons la figure d'une manière quelconque. Soient a' et V les nouvelles positions des points a et & sur le plan fixe, et m le point du plan où se coupent les deux positions de la droite. Nous pouvons supposer les points aei b choisis de telle sorte, qu'avant le mouvement le point b de la droite coïncide avec le point m du plan, et qu'après le mouvement la nouvelle position a' du point a coïncide avec le point m. Ceci posé, élevons une perpendiculaire sur le milieu de am^ et une autre perpendiculaire sur le milieu de mb'\ ces deux droites se couperont en un point F, centre du cercle circonscrit aux points a, (a', &), b', et il est clair qu'on pourra amener la droite dé la pre« ndère position à la seconde, par une rotation convenable autour du point F. Or la position de la droite détermine celle de la figure^ Donc, toute figure plane, assujettie à rester dans un plan, peut être amenée d'une position donnée à une autre position prise à volonté, par une sim-^ pie rotation autour d'un point convenablement choisi.

Admettons maintenant que le déplacement imprimé soit infiniment petit. Alors la trajectoire infiniment petite dn point a se confond.avec la droite aa' ou am^ et celle

ao6 MÉCAlflQUE BATIONKBLLE.

du point b avec la droite bb' ou mb^ \ par suite^ le mouvement de la droite ab est en réalité une rotation autour de Tinterseclion F des normales aux trajectoires des deux points a et b. Or la droite ab entraine la figure entière dans son mouveinent autour du point fixe F ; en sorte que chaque point de la figure tourne autour de ce point. U s^ensuit que les normales aux trajectoires de tous les points de la figure passent en un même point F. Ce point se nomme, suivant Euler, le centre instantané de rotation. Le pied de la perpendiculaire abaissée du centre instantané de rotation sur une courbe qui fait partie de la figure est Tîntersection des deux positions successives de la tangente à la courbe en ce point, ou, ce qui est la même chose, il est l'intersection des deux positions successives de la courbe.

2. Considérons toujours une figure plane assujettie k rester dans un même plan, et supposons que l'on donne i cette figure un nombre quelconque de positions différentes. Marquons dans le plan fixe les points F^ F', etc., autour desquels on doit faire tourner la figure, pour Tame^ ner, par de simples rotations, de la première position à la seconde, de la seconde k la troisième, et ainsi de suite. Marquons aussi sur la figure les points/, /', etc., qui sont tour à tour les centres de ces rotations successives, et joi-* gnons par des droites les points F, F', etc., et les points de la figure/,/', etc. U est évident qu'on peut faire passer la figure par toutes les positions données, en faisant rouler le polygone /f'. . . sur le polygone FF'. . . .

Maintenant, supposons que les positions données de la figure soient infiniment voisines et infiniment nom-* breuses. Alors, les polygones Z/''... et FF'... se réduisent à deux courbes, et comme il n'est qu'un seul mouvement capable de faire passer la figure d'ime manière continue

CUUbCATlQUB. ao7

les positions données, il en résulte que tout ' d'une figure plane dans un plan se réduit d^une courbe liée av^ec la figure sur une ^'^ncÊviefixe dans le plan. Le point de contact des est à chaque instant le centre instantané de

3. Si, dans le théorème 1, on remplace la figure plane par ime figure sphérique assujettie à rester sur une sphère fixe, et que Ton remplace les droites par des arcs de grands codes, on obtient des théorèmes correspondants, et en pvticulîer celui-ci : Tout mouvement infiniment petit d*9ne figure sphérique sur une sphère fixe se réduit à «Bc rotation autour d^un point de la sphère comme pâle.

4. De là il résulte, comme au théorème 2, que le mouvement le plus général que Ton puisse donner à une fisnre sphérique assujettie a rester sur une sphère fixe consiste i faire rouler une courbe liée avec la figure sur Qoe courbe fixe tracée sur la sphère.

Si Ton conçoit que la figure sphérique soit liée avec un corps solide retenu par le centre de la sphère, on conclura que le mouvement le plus général d^un corps solide retenu par un point fixe se réduit au roulement d*un cône lié avec le corps sur un autre cône fixe dans Ves^ pace. Ces deux cônes ont leur sommet commun au point fixe, et leur génératrice de contact est à chaque instant l'axe instantané de rotation.

5. Il suit du théorème précédent que tout mouvement infiniment petit d'un corps solide peut se réduire à une translation rectiligne d*un point O, lié invariablement au corps et choisi à volonté, accompagnée d'une rotation autour dun axe 01 passant par le point O.

103 XÉCANIQUB RÀTIONKELLE.

On peut encore considérer lé même déplacement infiniment petit comme résultant d'une rotation autour d'un certain axe FX parallèle i 01, et d une translation parallèle k cet aice. En effet, si l'on imagine une section faite dans le corps perpendiculairement à Taxe 01, et une figure S tracée sur ce plan, après le mouvement infiniment petit du corps, la projection S' de la figure S sur la position primitive du plan sécant sera une figure identique i la figure S, puisque le plan n'a fait que se déplacer parallèlement à lui-même. Il s^ensuit (théor. i) qu'on peut amener la figure S de sa position initiale k la position S' par une rotation autour d'un certain point F du plan primitif, puis de la position S' à la position finale qu'elle occupe après le mouvement du corps, par une translation rectiligne perpendiculaire i son plan. La figure S entraînant le corps entier dans son mouvement, le corps aura passé de sa position initiale à sa position finale. Le premier mouvement est une rotation autour d'un axe FX parallèle à OI, le second est une translation parallèle au même axe. Rien n'empêche d'admettre que ces mouvements soient simultanés. D'après cela, tout mouvement infiniment petit d^un corps solide libre se réduit à un mouvement de rotation autour iun axe qui glisse sur lui-même pendant cette rotation ^ de sorte que le mouvement du corps n'est pas autre chose ^e le mouvement d'une vis dans son écrou.

6. Les positions que Vaxe instantané de rotation et de glissement FX occupe successivement dans l'espace forment une surface réglée. Les positions que le même axe instantané occupe successivement dans le corps forment une autre surface r^lée. Le mouvement continu du solide peut être considéré comme produit par le roulement de la seconde surface réglée sur la première, ac-

CmÉMATIQlJE. aOp

compagne d*un glissement le long de la génératrice de contact.

7. Considérons encore un solide qui reçoit un dépla- . cernent infiniment petit, et un plan quelconque lié invariablement à ce corps; traçons une figure sur ce plan, et examinons le mouvement de la projection de cette figure sur la position primitive du plan. Cette projection reste identique à elle-même; car une ligne de Ja figure et sa projection ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite par rapport à Tangle des deux directions. Il en résulte, comme au théorème 5, que la projection de la figure tourne dans le plan primitif autour d'un point F. Les normales aux trajectoires des points de cette projection passent toutes au même point F. D'ailleurs elles coïncident avec les traces des plans normaux aux trajectoires décrites dans l'espace par les points de la figure primitive -, car lorsqu'un plan est perpendiculaire à une droite^ la trace du plan et la projection de la droite sur un même plan sont perpendiculaires entre elles. Par conséquent, un plan étant considéré comme faisant partie du corps y les plans normaux aux trajectoires de ses points passeront tous par un même point de ce plan. Nous nommerons ce point \e foyer du plan.

Ce qui distingue le foyer d'un plan de tous ses autres points, c'est que sa trajectoire est perpendiculaire au plan.

8. Les points qui appartiennent à l'intersection de deux positions successives du plan ont leurs trajectoires situées dans le plan; car ces points appartiennent à la première position du plan, avant et après le mouvement. Au reste, si trois points non situés en ligne droite avaient leurs trajectoires dans le plan, le plan n'aurait fait que glisser sur lui même. Donc, // existe dans le plan une infinité de points dont les trajectoires sont situées dans