I. 3« ÉDIT. l

210 MÉGINIQUE RATIOMMBLLB.

le plan même; tous ces points sont situés sur l'intersection de deux positions consécutives du plan. Noos appellerons celle droite la caractéristique du plan, sniTani une expression employée par Mooge dans la théorie des surfaces développables.

9. Si plusieurs plans sont liés invariablement au même corps solide, el que celui-ci reçoive un mouvement infiniment petit, les foyers a, |3 de deux plans se trouvent sur Tintersection A des plans normaux aux trajectoires de deux points a^ b pris à volonté sur rintersection D de ces deux plans. Par conséquent, lorsque plusieurs plans liés in\fariablement au même corps passent par une même droite D, leurs foyers sont sur une deuxième droite A.

Dans le même déplacement infiniment petit du mobile, deux plans menés par la droite A et liés à ce corps ont leurs foyers sur l'intersection des plans normaux aux trajectoires des deux points a, j3 pris sur la droite A. Ces plans normaux sont précisément les deux plans considérés en premier lieu; leur intersection est la droite D. Donc, réciproquement, plusieurs plans menés par la droite A et liés au même mobile ont leurs foyers sur la droite D5 de sorte que ces deux droites jouissent de proprié lés réciproques. Nous appellerons ces deux droites D, A, droites conjuguées.

10. Il résulte de la définition même du foyer que, quand plusieurs plans passent par un même point, leurs foyers

' sont tous sur un même plan^ qui a son foyer en ce point, puisque le plan est perpendiculaire à la trajectoire du point.

1 1 . Si nous supposons dans le théorème 9 que la di^ite D soit située n Finfini, nous aurons des plans parallèles

GlUtHÀTIQUE. atl

doRi les foyers seront sur une même droite A*, et ccMnme cette dnnte a sa conjuguée située à l'infini, il en résulte qu'elle se meut parallèlement à elle-même; d'ailleurs, il est clair que toutes les droites qui se meuvent parallèlement à elles-mêmes sont parallèles eutre elles. Donc, quand plusieurs plans sont parallèles entre eux, leurs fcyyers sont sur une droite qui est toujours parallèle à un même axe, quelle que soit la direction commune des plans.

13« Si tous les ]dan» parallèles sont perpendiculaires à la direction de cet axe, leurs foyers seront sur one certaine droite X, qui glissera sur dle*même pendant le mouvement du corps.

Pendant ce glissement de la droite X sur elle-même, le corps ne pourra que tourner autour d'elle. Cette droite est l'axe instantané de rotation et de glissement dont Texistence a été démontrée plus haut (théorèmes 5 et 6}.

13. Reportons^nous au théorème 9* Dans le mouvement infiniment petit du corps, les points a, (3 restent à la même distance de la droite D, puisque, étant les foyers de deux plans qui passent par cette droite^ ils ont leurs trajectoires perpendiculaires à ces plans. Il en résulte que nous pouvons amener ces deux points et la droite A a leur position finale par une rotation du corps autour de la droite D. Par une même raison, en vertu de la réciprocité des droites D et A, nous pouvons amener la droite D à sa position finale par une rotation du corps autour de la droite A. Ces deux mouvements successifs* ou simultanés amèneront le mobile à la position qu'il occupe h la Gu du déplacement considéré -, c'est-à-dire que les deux droites conjuguées D et A sont deux axes de rotations simultanées qu on peut imprimer au corps pour effectuer son déplacement.

21 a MÉCANIQUE RlTtOHHELLE.

14. Il résulle du théorème 9 que la caractérùtique d^un plan a pour conjuguée la tangente à la trajectoire duf<yyerde ce plan,

15. D'après les deux théorèmes précédents, on voit que la caractéristique d'un plan ne peut que tourner autour du foyer de ce plan, considéré comme un point fixe. Or, pendant ce mouvement, le plan ne peut que tourner autour de sa caractéristique. On peut donc dire^ en général, que £ou^ déplacement infiniment petit âUme figure plane dans V espace se réduit à une rotation du plan de la figure autour d^ une droite de ce plan, pendant que cette droite tourne elle-même autour d*un point fixe, sans sortir de la position primitive du plan.

16. Soient a un point du corps, et i^ la position que ce point occupe dans l'espace après un mouvement infiniment petit. Considérons la droite aa\ invariablement liée au corps. Après le mouvement infiniment petite elle passe encore au point a!'^ par conséquent, les deux positions de cette droite sont dans un même plan. Si nous considérons ce plan comme invariablement lié au corps, sa caractéristique sera la droite aa' (théorème 8). Cette droite, dans sa première position, est tangent^ à la trajectoire du point a.

De là résulte ce théorème : La tangente à la trajectoire d^un point jouit de la propriété d'hêtre la caractéristique d\tn plani et réciproquement, il est clair que la carac^ téristique d^un plan est tangente à la trajectoire d'un de ses points ^ sav^oir^ le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la caractéristique (théorème 15).

17. Soit D une droite normale à la trajectoire d'un de ses points a. Si nous projetons cette droite sur un plan fixe qui lui soit parallèle, la projection de la droite, avant

CINÉMATIQUE. 21 3

ei après le mouvement infiniment petite sera perpendiculaire à la projection de la trajectoire du point a; d'où il résulte (théorème 1) que la projection de la droite tourne autour de l'un de ses points b qui est fixe. Le plan normal à la trajectoire du point de la droite D qui se projette en b passe par celte droite. Le plan normal i la trajectoire du point a passe également par la droite D^ donc (tbéorème 9) la droite D est elle-même sa conjuguée A, et elle est normale aux trajectoires de tous ses autres points.

i8. Il suit de là que, quand une droite de longueur constante se meut dans l'espace, de manière à être toujours normale à la courbe décrite par Tune de ses extrémités, elle est normale aussi à la courbe décrite par son autre extrémité. Quand, sur une surface engendrée par une ligne droite, on trace deux courbes qui coupent à angle droit toutes les génératrices, les segments de ces droites compris entre les deux courbes sont tous égaux entre eux.

19. Une droite qui s'appuie sur deux droites conjuguées D, A est normale aux trajectoires de l'un quelconque de ses points d'appui (théorèmes 9 et 13); par conséquent, cette droite est normale aux trajectoires de tous ses points.

20. Lorsqu'une droite U s'appuie sur une autre droite D, et jouit de la propriété d'être normale aux trajectoires de tousses points, elle s'appuie sur la droite conjuguée A, car les droites Lf et A sont situées dans le plan perpendiculaire à la trajectoire du premier point d'appui (théorèmes 9 et 13).

On voit, parles deux théorèmes précédents, que deux droites conjuguées D, A, et deux autres droites conju-

aii MÉCAlflQUB RlTiO»nEL;.B.

guées quelconque$ ly, A\ sont toujours 4f Maire génératrices d*un même modç de génération d'un hyperholoide à une nappe, c'est-à-dire que toale droite qui s'appuiera j

£ur trois de ces ligues reocontrera néoessairemeut U qua- !

trième.

21 . Lorsqu'^une droite rencontre l'axe de rotation X et lui est perpendiculaire, tous les points de cette droite décrivent des trajectoires normales à cette droite même (théorème 12).

Il en résulte, eu égard au théorème précédent, que tout plan perpendiculaire à Taxe de rouiion X rencontre deux droites conjuguées quelconques D, A et l'axe lui-même en trois points qui sont en ligne droite; ou, en d'antres termes, par deux droites conjugées D, A, et par Vaxe de rotation, on peut f cure passer un paraboloide hyperbolique dont les génératrices soient perpendiculairas à cet axe.

22. Dans un paràboloïde hyperbolique, trois génératrices d'un même système X, D, A sont parallèles à un même plan ; donc la génératrice de l'autre système, qui est perpendiculaire à X et à D, est aussi perpendiculaii^ a A.

Ainsi, la droite par laquelle se mesure la plus courte distance de deux droàes conjuguées D, A renco9ttre l *axe de rotation et lui est perpendiculaire.

23. Ce dernier théorème permet de troui^r V axe de rotation X, quand on connaît en direction les trajectoires de trois points du corps. En effet, soient a, &, c ces trois points. Les plans menés par a etb perpendiculairement aux trajectoires de ces points se couperont suivant une droite aj3 qui sera la conjuguée de la droite ah. On cherchera la droite qui mesure la plus courte distance des deux droites a&, a/3 ; elle s'appuiera sur Taxe cherché X.

CIlVÉMilTIQUE ll5

et lui sera perpendiculaire. On déterminera de même, avec les deux points a, c oub, c une autre droite jouis* sant des mêmes propriétés; l'axe X sera donc déterminé.

24. Quand plusieurs droites D, D^ . . . passent par un mëme^ point, leurs conjuguées A, A', . • • so7it dans un même plan qui est normal à la trajectoire de ce point (théorème 9). Réciproquement, quand plusieurs droites sont dans un même plan y leurs conjuguées passent toutes par un même point qui est le foyer de ce plan (théorèmes 7 et 9).

25. Nous pouvons considérer un système de droites parallèles comme les intersections de deux systèmes de plans parallèles. Diaprés cela et en vertu du théorème 1 1 , quand plusieurs droites sont parallèles entre elles, leurs conjuguées sont dans un plan parallèle à l'axe de rotation.

26. Lorsqu'une droite D est située dans un plan per* pendiculaire à Taxe de rotation, toute droite menée dans ce plan par Taxe de rotation rencontre la droite conjuguée A (théorème 20)-, d'ailleurs, deux droites conjuguées ne sauraient être dans un même plan (théorème 9), à moins qu'elles ne coïncident. Donc, quand une droite est située dans un plan perpendiculaire à l'axe de rota-tionj sa conjuguée passe par le point où le plan rencontre cet axe. Réciproquement, si une droite rencontre Vaxe de rotation en un point, sa conjuguée est située dans le plan mené par ce point perpendiculairement à Vaxe.

27. Quand une droite est tangente à la trajectoire de l*un de ses points a, sa conjuguée est située dans un plan perpendiculaire à la première, savoir, le plan dont ic point a est foyer. Si Ton rapproche cette remarque du

ai6 MÉCANIQUE HATIONHELLE.

théorème 16, on conclura que, quand une droite est tangente à la trajectoire d'un de ses points^ sa con^ juguée est aussi tangente à la trajectoire d^un de ses points. Ces deux droites sont à angle droit, et la droite qui mesure leur plus courte distance est celle qui joint les deux points aux trajectoires desquels elles sont tangentes.

En d'autres termes, quand une droite est la caractéfistique d'un plan^ sa conjuguée est aussi la caractérisatique d^un autre plan. Ces deux plans sont à angle droit; le foyer du premier est sur la deuxième droite, et le foyer du second sur la première droite, La droite qui joint ces deux foyers est celle qui mesure la plus courte distance des deux caractéristiques.

Il résulte de là et des théorèmes 16 et 22 que la perpendiculaire abaissée du foyer d'un plan sur la caractéristique rencontre Taxe de rotation X, et lui est perpendiculaire.

28. Considérons une droite qui s'appuie sur deux droites conjuguées, et un plan perpendiculaire à cette droite. Le pied de la droite sur le plan se meut perpendiculairement à la droite (théorème 19) ; sa trajectoire est donc située dans le plan même, c*est-à-dire qu'elle appartient à la caractéristique du plan (théorème 8).

En d'autres termes, deux droites conjuguées quelconques étant projetées orthogonaleinent sur un plan quel^ conque, leurs projections se coupent en un point situé sur la caractéristique du plan.

29. Considérons un plan, et sur ce plan les traces de deux droites conjuguées. Si, par le foyer du plan, on mène une droite h l'une des deux traces, celte droite passera par la seconde trace (théorèmes 17 et 20) ; par conséquent, deux droites conjuguées rencontrent (in pliiH

cinÉMA'riQDE. al 7

quelconque en deux points qui sont toujours en ligne droite avec ie foyer du plan .

30. Étudions main tenant les relations de grandeur qui existent entre les divers éléments dont nous venons de considérer les situations relatives.

Soient v la rotation du corps autour de Taxe X-,

e la translation de cet axe dans sa propre direction, c^est-à-dire l'espace décrit par chacun de ses points;

O et fl les rotations autour de deux droites conjuguées Det A;

(D, X), (A,X), (D, A) les angles que font entre elles les droites D, X ; A, X ; D, A ;

r la plus courte distance de la droite D à Taxe X ;

p la plus courte distance de la droite A au même axe.

r + p sera la plus courte distance des droites D et A (théorème 22).

Portons sur les axes D, A, X des lignes proportionnelles aux rotations qui ont lieu autour de ces axes, et regardons ces droites comme nous représentant les rotations respectives. On sait que nous pouvons composer ces lignes comme si elles représentaient des forces \ on sait aussi qu'un couple de rotations est équivalent à une translation proportionnelle au moment de ce couple, et perpendiculaire à son plan.

Ceci posé, transportons les deux rotations O, O au point où la droite qui mesure la plus courte distance entre les axes D, A rencontre Taxe X. Alors nous avons en ce point trois rotations O, II, v dont la dernière est la résultante des deux autres (théorème i3); par conséquent

^'^ sio (A, XJ "" sin (D, X) "" sin(D, A)*

Nous avons fait naître, par ce transport, deux couples

ai8 MÉCÀlflQDB ftATlOMilELLE.

de rouUoiis dont les moments scmt Ot eiSlp. Pioietoos les translations que produisent ces epuples, dVboid sur Taxe X, puis sur un plan perpendiculaire à cet axe; il vient

(2) Orsia(D9 XJ H- ûf sîn ( A, X) = •,

(3) Orcos(D, X) — apcos(A, X) = o.

Ces deux dernières équations nous donnent ,^aJ^(r, y. , siD(A,X)cos(D,X) l

iBi, si Ton remplace par sa valeur en fonction de v tirée des équations (i),

, = .rt^j^ (D. X) ^ "•"' ^^' ^]:^^^' ^n .

sin(DyA)j ^ ' cos(A, X) J

D'ailleurs,

(DA) = (DX)-h(AX);

(4) ^ = rUng(A, X).

On trouverait de même

{5) ^=ptang(D, X).

De ces formules nous tirons cette conséquence (théo* rèae 10), que, un premier axe de rotation D étant pris à "Volonté^ V inclinaison du deuxième axe ^ sur Taxe in^ stanîané de rotation ei de glissement X ne dépendra -que de la distance du premier axe à ce dernier.

Si la droite D est dirigée suivant la trajectoire d'un de ses points, la droite À sera dans le plan normal à cette trajectoire (théorème 9), et Ton aura

laiig(A, X)tang(D, X)==r i;

cmÉMATiQUis. a 19

d'aà Ton tive, en fauui£ le produit des ^uadobs (4) et (5),

rpzzz'-^:^ COOSt.

31. Si nous nou$ servons des équations (i) pour éliminer il de Féquation (2)1 il ^ent

0{rH-p)«iii(D,X) = t,

ou encore, d'après les équations (1),

On (r H- p) sin (D, A) = t«.

Le premier membre de cette équatioh est ^al à A% fob le Tolaine du tétraèdre qui a pour arites opposées les deux ligues O, £Z, prises sur les axes D et A *, par coiwé*quent, i/uon porte sur deux droite D, A^ deux seg^ ments/^rofforiionnels aux roîaUfm$ du oorps imttmr de ce$ droites^ Je tétraèdre construil sur oesdeux segments comme ar&es opposées aura son voharm cansêanî (*).

32. Projetons sur une droite D les trajectoires de ses différents points ^ les projections seront égales entre elles et ne dépendront que de la rotation autour de l'aKe simultané A. Soit p l'une de ces projections. Sa valeur sera

/; = û(r-^p)siD(D,A);

en sorte que l'équation du théorème précédent nous donne la relation

0/> = tu.

On en conclut que la rotation du eor^s autour d*une droite quelconque est en raison inverse du mouymnent de cette droite estimé dans sa propre direetien.

Soient 9 Taugleque la droite D fail avec la trajectoire

(«) Voir p. et.

aao MÉCANIQUE RATIOMIIELLE.

d'un de ses points a, et q la longueur de cette trajectoire iofiniment petite. On aura

/»=rycosO, et, par conséquent,

Oycosô = fu.

Si, par le même point a, on fait passer plusieurs droites D, D', etc., on aura

Oco89 = 0'cosd'

Il s*ensuit que plusieurs droites étant menées par un même point, si l'on porte fur ces droites, à partir de ce point, des segments proponionnels aux rotations du corps autour de ces droites, les extrémités de ces segments seront sur un plan perpendiculaire à la trajectoire du point ^ la rotation minimum aura lieu autour de la trajectoire du même point ^ et celte rotation t multipliée par la trajectoire du même point, forme un produit constant, quel que soit le point*

33. Considérons un plan V faisant partie du corps en mouvement.

Soient

/' la distance du foyer à l'aie instantané X ;

p la distance de la caractéristique à cet axe ;

O la rotation du plan autour de son foyer;

n sa rotation autour de sa caractéristique \

xs Tangle que le plan fait avec un plan perpendiculaire à l'axe X.

Abaissons du foyer une perpendiculaire sur la carac* téristique. On a vu (théorème 27) que cette droite rencontre Taxe X et lui est perpendiculaire. Les extrémités de cette droite sont animées de deux mouvements jx:ctan-

CtHÉMATIQUB. 221

galaires : Tun, parallèle à Taxe de rotation, est égal à e ; Tautre, perpendiculaire à cet axe, est égal à vrpour Textrémité qui est au foyer, et à \jp pour rextrëmité qui est sur la caractéristique. Ces deux mouvements se composent en un seul, qui est perpendiculaire au plan P pour la première extrémité, et qui est situé dans ce plan pour la seconde extrémité. On a donc

itang

taDgcT

où

Ton

tire

— = const tang' cy .

Quand deux plans P et P' sont perpendiculaires y on a, pour ces plans,

tango taDg6r' = iy

et, par conséquent,

On en conclut que les distances de leurs foyers à Vaxe de rotation ont leur produit constant^ et que les distances de leurs caractéristiques à Vaxe de rotation ont aussi leur produit constant,

34. Les deux rotations du plan autour de son foyer, et autour de sa caractéristique, ont pour résultante la rotation V autour de l'axe X ; on a

O = V cos o , fit = V sin cr .

Dans le plan P menons une droite quelconque D, et nommons (C, D) I!angle que cette droite fait avec la caractéristique. Le trièdre dont les arêtes sont parallèles à

29» MftCÀNIQUB iULlKmirBLLB.

Fane X, à la caractéristique et à la drohe D, est rectangle le tan; lie Farète parallèle k la caractérittiqne (tàëorèaie 27). On a donc

cos(D, X) =sint7C0s(C| D),

tir si l'ott a égard à l'équatioa précédcntei,

ûcos(C9 D) = ucos(D, X);

de sorte que, pour chaque pian mené par une même droite D, on a

acos(Cy D) = const.

Nous proposerons comme exercice de démontrer par l'analyse quelqu'une des propositions qui précèdent.

ctifÈMMTi^fm. (ia3