I. a« ÉDIT. l
Q26 MÉCANIQUE RÀTIOUNELLE.
tané O', dans son mouvement relatif aotoor de la droite ab^ est un cercle C^ décrit sur cette droite comme diamètre. Par là nous voyons que, lorsquun cercle mobile C roule intérieurement sur un cercle fixe C de rayon double, tout point m , pris dans le plan du cercle mobile, décrit une ellipse autour du centre du cercle fixe. Cette ellipse se réduit à un diamètre, lorsque le point décrivant est situé sur la circonférence du cercle mobile. Observons encore que la perpendiculaire 0'/7, abaissée du point O' sur la doite ab, est normale à la courbe enveloppe de cette droite, laquelle courbe a pour équation
x' -^y z=zab\
5. Les principes qui ont servi à résoudre les problèmes précédents nous permettent encore de calculer le rayon de courbure de la courbe que décrit un point m, lié à une courbe mobile S^, lorsque celle-ci roule sans glisser sur une courbe fixe S', située dans le même plan.
Nous n'aurons nullement besoin de l'équation de la courbe décrite ; il nous suffira de connaître les rayons de courbure r et r' des courbes S' et S". Pendant la rotation infiniment petite que la courbe S' effectue autour de son point de contact comme centre instantané de rotation, nous pouvons substituer aux deux courbes S^'^, S^ leurs cercles osculateurs au point de con« tact, et supposer que le premier de ces cercles roule sur l'autre en entraînant le point m; Télément de la courbe décrite ne sera pas altéré.
''^■^^ Soient donc n le point de contact entre les courbes S', S''; O, O' les centres des cercles osculateurs à ces couri)es au point n.
CTHÉMATIQUE. tà2y
Faisons rouler le cercle O' d'une quantité infiniment petite. Soient n^ le nouveau point de contact, et m' la nouvelle position du point m. Les droites mn, m'n* sont deux normales infiniment voisines de la courbe décrite par le point m, leur intersection c est le centre de courbure. Supposons que Tare infiniment petit nn* soit égal à re; alors la droite nm a décrit autour du poiut n un
angle égal à la somme 1 — ; des rotations simultanées
autour des centres O, O'j en sorte que l'élément mm'
perpendiculaire à mn est égal à nm e — y— D'ailleurs,
si Ton nomme ce et ]3 les angles O'nm et O'm/i, la projection nn" de nn' sur une parallèle à mm' a pour valeur re cos a. On a donc
me mm' [r -^ r') nm
(AJ
r-f-r' sin(a-hP)
fie r ' cosasin^
De cette équation on tire, en observant que mn=:mc-^nc^
(r-f-r^)siD(a-f-p) — r' sm (a H- p) -h rsin a COS p
Telle est la valeur du rayon de courbure.
Si le point m se trouve sur le contour du cercle mobile, alors /3 = a et
— r-^r' — me = mn.
r' + ir
C'est la valeur du rayon de courbure dans une épicycloïde. Lorsque les deux cercles O, O' ont leurs centres d'un
aStS MéCAlflQUE RATIONNELLE.
même côte de la tangente commune, le signe de r seul est change.
6. A Taîde des mêmes principes on peut encore résoudre aisément plusieurs questions particulières. Nous n^en traiterons ici qu^une seule, que nous aurons roccasion de rappeler plus tard.
Trouv^er la dévfeloppée d'une épicycloïde.
Considérons une épicycloïde extérieure mmi ; tous dos Fig. 35. raisonnements s'appli-
queront sans difficulté à une épicycloïde intérieure. Soient O le centre du cercle fixe, r son rayon, r' celui du cercle mobile, m le point décrivant, n le point de contact, et np le diamètre qui passe à ce point. Puisque mn est normale à Tépicycloïde, mp est tangente^ c'est-à-dire que la tangente à une épicycloïde extérieure est la droite qui passe au point de contact du cercle mobile avec le cercle, enveloppe extérieure du cercle mobile dans ses positions successives. De là il suit que la droite mn est tangente à toute épicycloïde extérieure fXfZi, où le cercle r joue le rôle de cercle enveloppe, pourvu que le point décrivant jx se trouve sur la droite mn, lorsque le cercle mobile de cette épicycloïde touche son enveloppe au point n.
Ceci posé, faisons rouler les cercles mobiles des deux épicycloïdes mmi, mi^^ de manière que ces deux cercles restent toujours en contact. Soient n* le nouveau point de contact, m^ la nouvelle position du point /n, /Xi la nouvelle position du point fx, a Tangle nOn' et p, p' les rayons du cercle fixe et du cercle mobile dana la nouvelle
CIKÉMÀTIQUE. 339
épicycloïde. On a
arc m^n' = arc mn — /•«, arc fi| «' = arc \in — pa,
ou bien, considérant les angles au centre sous-tendus par ces arcs dans les cercles auxquels ils appartiennent,
angle /», n' = angle mn ^ a,
angle fA,/i' = angle ^n — -7 a.
Or, puisque le point jm est, par hypothèse, surla droite m/i,
angle mn = angle fi/t ;
d^où l'OD voit, eu égard aux équations précédentes, que le point fXi sera sur la droite min'^ si Ton a
Cette condition étant satisfaite, la seconde épicycloïde est la développée de la première. On en conclut que la développée d^une épicycloïde est une épicycloïde semblable.
7. Nous compléterons ces applications par Tétude et le Iracé de quelques machines usuelles.
Bielle, — Soit une bielle AB qui transmet le mouve- Fig. 36. ment d'un balancier OA
à une manivelle O'B, O et O' étant les deux cen« très de rotation. Prolongeons OA et O'B jusqu'à leur rencontre en C. Le point C est le centre instantané de rotation relatif à la bielle-, par conséquent, les différents points de ce corps tournent autour du
a3o stÉcAniQUB hatiobihelle.
centre C avec des vitesses proportionnelles a leursdistances à ce point. Si la vitesse de Textrémité A du balancier est donnée, on connaîtra celle de tout autre point, et en particulier celle de Textrémité de la manivelle.
Soient ca' la vitesse angulaire de la manivelle, ci> celle du balancier, et O^L une parallèle au balancier menée du centre O' jusqu^à la rencontre de la bielle prolongée. On a
w.OA AC « AC O^t
