Une sphère A est lancée contre une sphère B en
repos I on veut qu^ après le choc, la première sphère A
reste en repos, et la seconde B se mette en mouvement
[ avec une vitesse égale à la w""^ partie de la vitesse pri"
\ mitive du premier corps. Déterminer l'élasticité e des
deux sphères et le rapport — ile la masse du second corps à celle du premier.
DYNAMIQUE. ^Sq
On trouve
tf r= -j — = /î.
9. Deux sphères parfaitement élastiques, qui se meu' vent suivant une même droite avec des vitesses égales et contraires, viennent à se heurter. Quel doit être le rapport de leurs masses, pour que l'une d^ elles reste en repos après le choc ?
Soient m' la masse de la sphère qui doit rester en repos après le choc et m celle de Tautfe sphère.
On trouve le rapport
10. Des billes en nombre quelconque et de même élasticité sont disposées en ligne droite; on imprime à la première bille une vitesse connue, dans la direction des autres corps. Trouver la vitesse que la dernière bille recevra.
Soient n le nombre des billes, m^, m^,..., m„ leurs masses^ e leur élasticité commune^ a la vitesse imprimée à la première bille et v la vitesse cherchée que recevra la dernière bille.
On trouve
p = ( I -4- tf )"^' • • • • • a .
MACLAuanr, Choc des corps, p. 54* Prix de l'Acad., 1. 1.
11. l/n nombre quelconque de billes égales, juxtaposées en ligne droite sur une table bien unie, sont liées entre elles par des fils inextensibles et d'égale longueur; on écarte brusquement la première bille en lui impri-* mant une vitesse connue suivant la droite des centres, et Von demande le temps qui doit s^ écouler avant que la dernière bille soit mise en mouvement.
a6o MéCÀ9tQUE RATIOSBELLE.
Soient n le nombre des billes, a la longueur de chacun des fils de jonction et j3 la vitesse imprimée à la première bille.
Le temps cherché est
12. Un nombre quelconque de sphères sont rangées en ligne droite entre deux autres sphères de niasses con» nues m, m'] on imprime à la sphère m une vitesse donnée a, vers là sphère voisine. Trousser quelles doivent être les masses des sphères intermédiaires pour que la vitesse a* communiquée au dernier corps soit un maxi^ mum^ et déterminer la limite vers laquelle converge cette vitesse maximum^ lorsque le nombre des sphèivs intermédiaires croit indéfiniment.
Tous les corps considérés ici sont parfaitement éUtstiques.
On trouve que la masse de chacune des sphères intermédiaires doit èire une moyenne géométrique entre celles des deux sphères adjacentes ; et si Ton nomme n le nombre des sphères intermédiaires, on obtient entre les vitesses la relation
Lorsque le nombre des sphères croit indéfiniment, ce rapport tend vers la limite — = t/~« En effet,
DYHAMIQUB. a6l
en sorte que, si Ton se borne aux deux premiers termes de ce développement, il vient
lim — 1= lim ( I log —7 1
a \ «-hi 2 ^m'I
On montrera sans peine que les termes négligés s'évanouissimt a la limite.
13. Une sphère dépourvue do toute élasticité vient heurter contre une autre sphère en repos et pareillement privée d^ élasticité -j on connaît la vitesse de la première sphère à Vins tant du choc et V angle que sa direction fait avec la ligne des centres. Déterminer la vitesse du premier corps après le choc.
Soient a Tangle donné, a la vitesse de la première sphère avant le choc, v sa vitesse après le choc, m sa masse et m' celle de Tautre sphère.
On trouve
«» = fl I sîn'a + 7r;C0S*« I •
14. Deux splières A, B, de masses égales et animées d'une même vitesse a, viennent à se heurter de telle sorte quà V instant du choc la ligne des centres coïncide avec la direction que suivait la sphère B; on connaît V angle a de leurs directions primitives et leur élasticité commune e. Trouver les vitesses des deux sphères après le choc, et déterminer la valeur de P angle a qui rend maximum la vitesse de la sphère A.
Soient II et f^ les vitesses des deux sphères A et B après le choc.
260 MéCÀ9IQVB RATIOSKELLB.
Soient n le nombre des billes, a la longueur de chacun des fils de jonction et J3 la vitesse imprimée à la première bille.
Le temps cherché est
12. Un nombre quelconque de sphères sont rangées en ligne droite entre deux autres sphères de masses connues m, m'\ on imprime à la sphère m une vitesse don-née a, vers là sphère voisine. Trousser quelles doii^ent être les masses des sphères intermédiaires pour que la vitesse a' communiquée au dernier corps soit un maxi' mum^ et déterminer la limite vers laquelle converge cette vitesse maximum^ lorsque le nombre des sphères intermédiaires croit indéfiniment.
Tous les corps considérés ici sont parfaitement élastiques.
On trouve que la masse de chacune des sphères intermédiaires doit èlre une moyenne géométrique entre celles des deux sphères adjacentes \ et si Ton nomme n le nombre des sphères intermédiaires, on obtient entre les vitesses la relation
« La 2 \'»'/ J
Lorsque le nombre des sphères croit indéfiniment, ce
rapport tend vers la limite — = t/^« En effet,
DYNAMIQUE. a6l
en sorte que, si Ton se borne aux deux premiers termes de ce développement, il vient
lim — z= lim ( I • - log — 7 1
a \ rt-l-i a ^m*]
-log-
On montrera sans peine que les termes négligés s^évanouisscnt a la limite.
13. Une sphère dépourvue de toute élasticité vient heurter contre une autre sphère en repos et pareillement privée d^ élasticité ^ on connaît la vitesse de la première sphère à V instant du choc et r angle que sa direction fait avec la ligne des centres. Déterminer la vitesse du premier corps après le choc.
Soient a Tangle donné, a la vitesse de la première sphère avant le choc, v sa vitesse après le choc, m sa masse et m' celle de Tautre sphère.
On trouve
14. Deux splières A, B, de masses égales et aniniéei d'une même vitesse a, viennent à se lieurter de telle sorte qu'à Vinstant du choc la ligne des centres coïncide avec la direction que suivait la sphère B^ on connaît l'angle a de leurs directions primitives et leur élasticité commune e. Trouver les vitesses des deux sphères après le choc, et déterminer la valeur de l^ angle a qui rend maximum la vitesse de la splière A.
Soient u et (^ les vitesses des deux sphères A et B après le choc«
26o MéCAntQUB RATIONNELLE.
Soient n le nombre des billes, a la longueur de chacun des fils de jonction et j3 la vitesse imprimée a la première bille.
Le temps cherché est
12. Un nombre quelconque de sphères sont rangées en ligne droite entre deux autres sphères de niasses con* nues m, m'; on imprime à la sphère m une vitesse donnée a, vers lu. sphère voisine. Trousser quelles doii'ent être les masses des sphères intermédiaires pour que la vitesse a' communiquée au dernier corps soit un maximum^ et déterminer la limite vers laquelle converge cette vitesse maximum, lorsque le nombre des sphères intermédiaires croit indéfiniment.
Tous les corps considérés ici sont parfaitement élastiques.
On trouve que la masse de chacune des sphères intermédiaires doit èire une moyenne géométrique entre celles des deux sphères adjacentes \ et si Ton nomme n le nombre des sphères intermédiaires, on obtient entre les vitesses la relation
Lorsque le nombre des sphères croit indéfiniment, ce rapport tend vers la limite — = t/^« En effet,
DYNAMIQUE. a6l
en sorte que, si Ton se, borne aux deux premiers termes de ce développement, il vient
Km — z= Hm ( I log — 7 )
1 , m -log-7
On montrera sans peine que les termes négligés s'évanouissent a la limite.
13. Une sphère dépourvue de toute élasticité vient heurter contre une autre sphère en repos et pareillement privée d^ élasticité -^ on connaît la vitesse de la première sphère à l^ instant du choc et V angle que sa direction fait avec la ligne des centres. Déterminer la vitesse du premier corps après le choc.
Soient Cf. Tangle donné, a la vitesse de la première sphère avant le choc, v sa vitesse après le choc, m sa masse et m' celle de l'autre sphère.
On trouve
vz=za\ sm'a H- r-cos*« I •
14. Deux splières A, B, de masses égales et animées d*une même vitesse a, viennent à se heurter de telle sorte quà Vinstant du choc la ligne des centres coïncide avec la direction que suivait la sphère B; on connaît V angle a de leurs directions primitives et leur élasticité commune e. Trouver les vitesses des deux sphères après le choc, et déterminer la valeur de C angle a qui rend maximum la vitesse de la splière A.
Soient u et f^ les vitesses des deux sphères A et B après le choc.
a6o MÉCAlflQDB RATIOWHELLB.
Soient n le nombre des billes, a la longueur de chacun des fils de jonction et ]3 la vitesse imprimée à la première bille.
Le temps cherché est
n{n — î) et
12. Un nombre quelconque de sphères sont rangées en ligne droite entre deux autres sphères de masses coH' nues m, m'; on imprime à la sphère m une vitesse don-née a, vers là sphère voisine. Trouver quelles doii^ent être les masses des sphères intermédiaires pour que la vitesse a' communiquée au dernier corps soit un maximum, et déterminer la limite vers laquelle converge cette vitesse maximum., lorsque le nombre des sphères intermédiaires croît indéfiniment.
Tous les corps considérés ici sont parfaitement élastiques.
On trouve que la masse de chacune des sphères intermédiaires doit être une moyenne géométrique entre celles des deux sphères adjacentes ; et si Ton nomme n le nombre des sphères intermédiaires, on obtient entre les vitesses la relation
Lorsque le nombre des sphères croit indéfiniment, ce rapport tend vers la limite — = \/"7' ^^ ^^®^
DYNAMIQUE. a6l
en sorte que, si Ton se. borne aux deux premiers termes de ce développement, il vient
Hm — = lim ( I . - W — - j
On montrera sans peine que les termes négligés s'évanouissent à la limite.
13. Une sphère dépourvue de toute élasticité vient heurter contre une autre sphère en repos et pareillement prii^ée d^ élasticité^ on connaît la vitesse de la première sphère à l'instant du choc et l'angle que sa direction fait ai^ec la ligne des centres. Déterminer la vitesse du premier corps après le choc.
Soient a Tangle donné, a la vitesse de la première sphère avant le choc, i* sa vitesse après le choc, m sa masse et m' celle de l'autre sphère.
On trouve
sin'a H- rricos'a I •
14. Deux sphères A, B, de masses égales et animées d'une même vitesse a, viennent à se heurter de telle sorte quà V instant du choc la ligne des centres coïncide ai^c la direction que suii>ait la sphère B^ on connaît V angle a. de leurs directions primitives et leur élasticité commune e. Trouver les vitesses des deux sphères après le choc, et déterminer la valeur de f angle a qui rend maximum la vitesse de la sphère A.
Soient 14 et 1^ les vitesses des deux sphères A et B après le choc.
a6a MÉCÀMIQVB bationnelle.
On trouve
tt'=:-ja'[i 4- tf H- (i — e) cosap H- A^sin'a,
i»> = -T ii»[i — <f H- (l -h tf) COSa]».
La vitesse u est la plus grande possible lorsque
cosa = n •
15. 7>où sphères parfaitement élastiques A, B, C sont placées aux trois sommets (Vun triangle connu. Trou-i>er le rapport qui doit exister entre les masses des trois corps pour que la sphère A, lancée obliquement sur la sphère B, soit réfléclùe sur la spJière G et rev^ienne à sa position primitii^e.
On suppose qu^à Tinstant où deux sphères se choquent la ligne de leurs centres est perpendiculaire au côte opposé du triangle, et que les diamètres des sphères sont très-petits par rapport aux côtés du triangle.
Soient a, |3, y les angles du triangle qui correspondent aux sphères A, B, C, et m, m\ m" les masses de ces sphères.
Les relations cherchées sont les suivantes :
m sinp m siny
m' sîn(a — y)* m*' sin(p ~ a)
16. TJne sphère en mout^ement A vient heurter une sphère en repos B. Déterminer r angle que la direction de la sphère A aidant le choc doit faire avec la ligne des centres AB, pour que la déviation f que cette sphère éprouve dans le choc, soit la plus grande possible. On connaît C élasticité commune aux deux corps ^ ainsi que le rapport n de la masse de la sphère A à celle de la
DTKAinQtlB. a63
sphère B, et Ton ne compte V angle cf que jusqu*à 90 degrés.
L'angle cherché est fourni par Tàjuation
tangd
et la valcar correspondante delà déviation est donnée par la formule
toDgf = T T.
2{/I-4-l)*(/l-lf)'
a64 MÉCAHIQUB EATIOHBELLB.
