CHOC DE SPHÈRES HOMOGÈNES SANS FROTTEMENT
Imaginons que deux sphères homogènes et de même matière, qui se meuvent suivant la droite qui joint leurs centres, viennent à se choquer Tune contre Fautre.
Soient :
TU, m! les masses respectives de ces deux corps \
u, v' leurs vitesses avant le choc;
f^, if' leurs vitesses après le choc ]
ces vitesses étant comptées positivement dans une direction et négativement dans la direction contraire. On a toujours Téquation
(A) ot(« — p) = m' («/ — «').
Si les deux corps.sont complètement dépourvus d'élasticité, cette équation suffit pour déterminer leur mouvement après le choc ; car ces deux corps, après s'être rencontrés, marcheront ensemble et ne formeront, pour ainsi dire, qu'un seul corps. Quand les corps ont quelque élasticité, il convient de distinguer deux périodes dans la durée du choc : pendant la première les centres de gravité se rapprochent, et pendant la seconde les centres de gravité s'éloignent. Si la pression mutuelle qui s'exerce entre les deux corps a des valeurs égales pendant les deux
aSa MÉCANIQUE EATIOVNBLLE.
périodes pour une même dislance des centres de gravité, les corps sont dits parfaitement élastiques, et dans ce cas la seconde équation du mouvement est
Lorsque les corps n'ont' qu'une élasticité imparfaite^ comme cela a lieu généralement dans tous les corps de la nature, la question devient beaucoup plus difficile, et l'état actuel de nos connaissances sur les réactions moléculaires ne nous permet pas de la résoudre complètement. Cependant on admet que la quantité de mouvement rendue à l'un quelconque des corps, dans la seconde période du choc, est égale au produit d'une quantité e, comprise entre zéro et l'unité et constante pour un même corps, par la quantité de mouvement qui serait restituée si le corps était parfaitement élastique. Alors on a Téquation
(B) ç'^ç=ze{u^u').
Cetteformule, donnéed'abord par Newton (*), concorde assez bien avec les résultats de l'observation. En effet, d'après une série d'expériences faîtes par Hodgkinson (**), la quantité e ne diminue que lentement à mesure que la vitesse relative des deux corps avant le choc augmente, et même cette quantité est sensiblement constante lorsque la vitesse relative est considérable.
Nous adopterons donc cette formule (B), et nous remarquerons qu'il suffit d'y poser c= î pour avoir l'équation rigoureuse qui convient aux corps parfaitement élastiques; tandis que, si l'on y faite = o, on a l'égalité u' =zvf qui convient aux corps privés d'élasticité. Lenom-
(*) Principia, Axiomata, lex III, schol.
(**) Reports n/ the Bristish Association /or the Aivaneement qf Science, TOI. III, p. 534.
DYNAMIQUE. a53
bre e sera pour nous la mesure de l'élasticité. Il est d'ailleurs aisé de le déterminer expérimentalement pour un corps donné; car^ si nous supposons que u' soit nul et que la masse m puisse être négligée vis-à-vis de la masse m'y les équations (A) et (6) nous donnent
f/z= u' ==o\ d'où
(C) P=z—eu.
C'est-à-dire que le plus petit des deux corps acquerra, par l'effet du choc, une vitesse rétrograde dont le rapport avec la vitesse primitive est égal au nombre e. C'est le cas facile à réaliser d'un corps qui vient choquer un autre corps invariablement fixé sur la terre.
. Le plus ancien ouvrage que nous connaissions sur le choc des corps est dû à J. Marc Marci de Crownland (*), médecin hongrois, qui publia à Prague, Tan lâSp, un Traité De proportione motûs seu régula spliymica^ dans lequel il étudie le choc des corps dépourvus d'élasticité ou parfaitement élastiques. Les lois qu'il a données pour ces derniers corps sont précisément celles que Ton adopte aujourd'hui. Cet ouvrage remarr]uable est cependant tombé dans un oubli général \ il ' parait même qu'il ne parvint pas à la connaissance de Wallis, de Wren et de Huyghens qui, trente années plus tard, donnèrent à peu près les mêmes lois que Marci., Wallis (**) s'occupa des corps dépourvus d'élasticité, Wren (***) et Huyghens \****) étudièrent les corps parfaitement élastiques.
(*) M09rnxa.A, Bittoire des Mathématiques, t. Il, p. 4o6.
( — ) Philos. Trans,, 1668, p. 864.
(*••) Philos, Trans., 1668. p. 867.
(•••*) Philos. Trans., 1669, p. gaS. — Journal des Savants, mars 16
254 MÉCANIQUE RATlOHlfELLE.
Ou peut consulter, sur le sujet qui nous occupe, les écrits de Wallis (*), de Keili {**), de Marîotle (***) et de Smeaton (****).
i . Trois sphères m^m\m^ parfaitement élastiques sont en ligne droite j le corps m est lancé sur le corps m' avec une vitesse donnée. Trouver la niasse que doit avoir ce second corps, pour que la vitesse quil communiquera au corps m!' soit la plus grande possible.
Soient :
m, m\ m'aies masses des trois corps; a la vitesse imprimée au corps m\ V la vitesse de ce corps après le choc dans le sens de la vitesse a\
a' la vitesse qu^il communique au corps m'\
a" la vitesse que ce corps m' communique au corps m^.
Les formules (A) et (B) nous donnent
et si l'on élimine v^
De même,
im* a'
Par couséquent,
~ /w' -h ///' ^mm' a
{m -4-///) (//i' +w") La question est ramenée à déterminer le minimum de
(*) Mechanica, pars tertia, 1671.
('*) IntroducUo adveram Pl\yticaniy lect. xii, xiii, xiv.
( » *♦ ) Truite de Percussion,
(♦••») Philos. Trans,,^yx\\ 1782.
DT9AMIQUB. a55
la quantité
Différentions cette expressiou par rapport à m'] il vient
/»' * — mm" = o, /n' = yjmm" •
HoTOHurs, PhiL Trans., 1669, p. 928.
2. Une sphère parfaitement élastique est lancée contre un plan fixe et bien uni, avec une vitesse donnée en grandeur et en direction. Déterminer la grandeur et la direction de la vitesse après le choc.
Soient u et v les vitesses d'incidence et de réflexion ; a et j3 les angles que les directions de ces vitesses font avec la normale. Ces vitesses ont pour composantes parallèles au plan usina, (^sin^, et pour composantes normales ucosa, (^cos|3.
Puisque le plan est parfaitement uni, le choc n'altère pas la composante de la vitesse d'incidence qui est parais lèle au plan *, on a donc
(^sinp = icsioût.
La composante normale se comportera comme si le choc était normal ; en sorte qu'on aura, d'après Téquation (C),
i^COS^ = tf cosse.
On tire de ces deux équations
p = a, vz=zu\
c'est-à-dire que la vitesse n'est point altérée par le choc, et que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.
Wallis, Mechan^f pars lU, De eiaterCf ete,^ prop. 1.
!<56 MÉCANIQUE EATIOHXfBLLE.
3. Deux sphères parfaitement élastiques, animées de vitesses connues en grandeur et en dù'ection, viennent à se heurter. Déterminer les vitesses de ces sphères après le choc et leurs directions.
Soient m, m' les masses des deux sphères; O, O' leurs centres à Finsunt du choc; a, a* leurs vitesses avant le choc; AO, A' (y les directions de ces vitesses; a, 0/ les angles que ces directions font avec la direction OCy.
Décomposons chacune des vitesses a, a* d^abord suivant la ligne des centre!» 0(y, puis suivant une perpendiculaire à cette ligne située dans le plan AOCypour la vitesse a, et dans le plan A!(yO pour la vitesse a'. Les composantes de la première vitesse seront acosa, asina, et celles de la seconde vitesse seront a'cosa', a'siua'.
Les composantes perpendiculaires à la lignedes centres ne seront point altérées par Teffet du choc: d'où il suit que le corps m continuera à se mouvoir dans le plan AOCy, et le corps m' dans le plan A'CyO.
Les composantes parallèles à la ligne des centres seront modifiées de la même manière que si les deux sphères se mouvaient avant le choc suivant la ligne OCX, avec des vitesses égales à ces mêmes composantes acosa, a'cosat'. Dès lors, si nous représentons par if et i*' les composantes suivant OCV des vitesses des deux sphères après le choc, nous aurons, d'après les équations (A) et (B),
m (acosa — «') = '«' (^' — o'cosa'j,
v' — f»=r/icosa — a'cosa';
d'où
7 a cosa H -a'cosa'
; a cosa' H ; a ces «.
DYNAMIQUE. aSj
Nommons V et \' les vitesses des deux sphères après lem* choc et 4>, 4>' les angles que les directions de ces vitesses font avec la direction OO^ Nous aurons,
V = p» -f- fl' sin'a , V» = p" + a" sin««',
usina , ^'sîna' tang<t> = j tang^» = j — •
Kkill, Inirodttctio ad veram phjrsicam, lect. i4-
4. Deux sphères imparfaitement élastiques se meusfent av^ec des vitesses données sufune même ligne droite et dans la même direction^ lorsque Vune d* elles vient à heurter contre Vautre. Déterminer les vitesses de ces deux corps après le choc.
Soient m, m' les masses des deux corps, a^ a' leurs vitesses avant le choc, v^ u' leurs vitesses après le choc et e leur élasticité commune.
Diaprés les formules ( Â) et (B), on a
d'où
Maclaubin y C/ioc des corps, p. 3o. Prix de TAcad. , 1. 1.
5. Troui^er la somme des forces viues qui animent après le choc les deux sphères considérées dans le pro" blême précédent.
«o» ^ ^f^2 — n.«J -X. ».' VI m m' {i — é') {a — i/y
m9* -4- m f» ' = ma' -h m a' , *
m -hfli'
L a* ÉDiT. 17
i/^ç:=ze
ma H- m'a' m -h m'
ma -^ m'a'
me {a — a')
a58 MÉGAZIIQUB AATIOITHELLE.
Cette formule montre que, par l'effet du choc, la somme des forces vives diminue d* autant plus que Vélastiàlé est moins considérable,
6. A\fec quelle vitesse une bille doit-elle choquer une bille égaley déjà animée d^une vitesse connue a, pour que le premier corps reste immobile après le choc ?
L'élasticité des deux billes est e.
La vitesse imprimée a la première bille doit être
7. Déterminer les vitesses a et b que doit^ent avoir deux sphères A et B, qui se meuvent suivant une même direction, pour qu^ après le choc, le premier corps K reste en repos, et le second B continue à se mouvoir avec une vitesse connue ^.
V élasticité commune des deux corps, e, et leurs masses m, m' sont données.
On trouve
iH" g m'^
^^ (em'--m)^
HâCLAuaiNy Choc des corps, p. 42. Prix de TAcad.» 1. 1.
