MOUVEMENT DANS LE VIDE
1 . Une molécule est placée en un point duquel émane une force répulsiife et proportionnelle à la »'*"^ puissance de la distance. Déterminer la vitessse dont le mobile est animé lorsqud a parcouru un espace donné et le temps qu'il a mis à parcourir cet espace»
Soient /x la force répulsive à Tunité de distance et x la distance du mobile au centre des forces.
On a
Si l'on intègre en observant que u est nul lorsque jr = o, il vient
Cette équation fait connaître la vitesse du mobile lorsqu'il a parcouru Fespace x.
On a d'ailleurs
n-ht
dx / ^M
dt V /i -4- I
DYHAMIQUE. -^67
et si l'on prend l'instant du départ pour origine du temps,
EuLBEy Meehanica, 1. 1, p. 125.
2. Un point matériel est attiré vers un centre fixe par une force inversement proportionnelle à la /i***"' puissance de la distance. Trouver quel doit être le nombre n pour que la vitesse que le mobile acquiert en venant vers le centre d'une distance infinie à la diS" tance a, soit égale à celle qu*il aurait acquise en venant
de la distance a à la distance -7 a.
Soient v^ la vitesse acquise dans le premier mouvement, f^t la vitesse acquise dans le second mouvement, X la distance du mobile au centre d^attraction et jx l'attraction exercée à l'unité de la distance.
Qna
d'où
•'Si"-"}?'
Puisque les vitesses v^ et v^ doivent être égales,
a68 MiCÀSIQUB RATIOiniELLE.
3. Un point matériel placé sur Vune des diagonales d^un carréy près du centre de cette figure, est attiré ven les quatre sommets par des forces égales et fonctions de la distance. Déterminer la durée des petites osciUations que le point exécute autour de sa position d^équilibre.
Soient na la longueur d^une diagonale, x la distance du mobile au centre du carré, r sa distance à chacune des extrémités de la diagonale sur laquelle il ne se méat point, et cp(r) l'attraction de chacun des sommets à U distance r.
On a
— ^- - 2«(r) - -h f {« - x) - ç(fl 4- x).
Déyeloppons le second membre par la formule de Taylor suivant les puissances ascendantes de x. Comme celte distance x est fort petite, nous pouvons négliger ses puissances supérieures à la première. Alors Téquation se réduit à celle-ci :
, posant a[î^-h?'(a)] = K,
Multiplions les deux membres par ^— tK intégrons; il vient
i dji\'i
Kx*+const.,
ou
DTKAMIQUE. 269
et si nous nommons ^ la valeur initiale de jr,
I dx
dtz=z — y
I jr
t ==--=rarccos-i
x = pcos(^^K)*
On voit, par cette dernière formule, que la distance x oscille entre les valeurs P et — /3, et que la durée d'une oscillation est
T = ^^^,^\li^^,'[a)'\ \
)fK V^L «
4. Deux points matériels A et 6 s* attirent proportionnellement à leur distance; ils sont d* abord maintenus immobiles dans une position donnée, puis on les aban^ donne à leur attraction. Déterminer leurs positions et celle de leur centre de gravité à un instant donné.
L'attraction de A sur B à Tunité de distance est égale à fx' et celle de B sur A est égale à |x.
Soient X et x^ les distances des mobiles A et B à un point fixe O pris sur le prolongement de la droite BA.
Les équations du mouvement sont ici d^x
Multiplions ces équations respectivement par jui' et par fx, puis ajoutons les résultats; il vient
^di^'^^'dF^'''
a70 MÉCAiriQUB katiovhellb.
Si Ton prend Torigiiie du temps à l'instant où le moavement commence, Tînt^rale est, sans consunte,
et si l'on désigne par a, a! les yalears initiales de x, x^ on obtient, par une seconde intégration,
(l) fi'ar H- px'=p'tf H- fia'.
Retranchons Tune de l'autre nos deux premières équations, et posons
il vient
Int^rons en observant que -r est nul lorsque z s=a'— a-, nous obtenons
I dz
dtzzz-'
/ = . arc cos -; •
ou
(2) j/ — X = (a' — fl) cos(/ v'^fA'-Hf*).
Les équations (i) et (a) nous donnent
J:'r=i-— j î- \-^ i.cos(iVl*'-htt).
OYSAMIQUE. 271
Soient m, m' les masses des deux mobiles A, B, et x la distance de leur centre de gravité au point O.
[m H- m') X =z mx -f- m'x^
""7iir7(f*^"^f*^)-^- %/^^ («^~^)cos(/v^fi-4-fi).
Dans le cas où les attractions [i et [i' sont proportionnelles aux masses m' et m, cette équation devient simplement
d'où l'on voit que le centre de gravité du système reste alors immobile pendant toute la durée du mouvement.
5. Un point, matériel^ soustrait à r action Je la pesanteur, est placé à V extrémité de l'axe d'un tube cylîn" drique qui se prolonge indéfiniment; les parois de ce tube sont très-minces j et la matière qui les compose est douée d'une force attractive immensément proportionnelle au carré de la distance. Déterminer la vitesse ac^ quise parle point matériel lorsqu'il a parcouru un espace donné sur l'axe du tube.
Soient r le rayon du tube, e Tépaisseur des parois, p leur densité, x la distance du mobile à Textrémité de Taxe et fji l'attraction de Tunité de masse à Tunité de distance.
Le volume de la petite portion des parois qui est comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe et dont les dislances au mobile sont 5 et i -H ^, a pour expression
2nrtdsi
l'attraction que cette portion du tube exerce sur le mobile
37^ MÉCA9IQUE EATIOVICELLB.
suivant Taxe est
Q-K^tprals-
Par conséquent,
rf»jr /•* sels
Multipliant par a j- et int^rant,
ç^ = 4ff'fAprf log (x H- y'ar=» -f- h) -|- const.
On détermine la constante par la condition que u soit nul en même temps que Xy et il vient
6. Une bille pesante est lancée d^une hauteur de 20 mètres contre un plan horizontal ^ elle rebondit Je lo mètres g retombe de nouveau et rebondit de 4 mètres, Troui^er Vélasticité de la bille et la vitesse ayec laquelle elle a été lancée.
Soient a la vitesse imprimée au mobile, i^ la vitesse qu'il possède à la fin de sa première chute et e son élasticité.
Nous avons
Au commencement du premier bond, la vitesse du mobile sera ev^ et puisque cette vitesse ne devient nulle qu'après une ascension de lo mètres,
An commencement du deuxième bond, la vitesse sera 0*1^, et puisqu'elle n'est détruite que par une ascension de 4 mètres,
Ces trois équations nous donnent e = l/g' « = v^iog- ou à pe^ près g^^^go par seconde.
7. Un point matériel se meut en ligne droite sous V action d^une force attractiî^e dirigée vers un centre fixe et proportionnelle à la 71'^'"' puissance de la dis^ tance; on connaît la vitesse |3 que le mobile acquiert en arrii^ant à la distance a du centre^ Trou%^er à quelle distance du centre le mouvement a commencé.
Soient fi l'attraction à l'unité de distance et z la distance cherchée.
On trouve
EuLEE, Mechan*^ t. I, p. 109.
8. Vn point matériel tombe sur un centre fixe qui V attire en raison ini^erse du cube do la distance; on connaît la distance initiale a, et Von demande la durée de la chute T.
Si l'on représente par /x l'attraction à l'unité de distance, on trouve
9. Un point matériel arrive d^une distance infinie vers un centre fixe qui V attire en raison inverse tlu carré de la distance» Déterminer la vitesse que possède le mo» bile à une distance donnée du centre.
