I. 2«toiT
274 MÉGÀNIQUB BATJOMXÎELLB.
Soient a la distance donnée, î^ la vitesse cherdiée et fi l'altraetion à l'unité de distance.
On trouve
10. Un point matériel est placé en un lieu connu sur la droite qui joint les centres de deux forces attractiy^eSj égales et proportionnelles à la distance. Déterminer la position du mobile à une époque donnée^ ainsi que la durée des oscillations qu^il exécute autour de sa position d^équiUbre.
Soient a la distance initiale du mobile au point milieu de la ligne des centres, x la distance du mobile au même point à Tépoque donnée t, et |x Taltraclion de chacun des centres a Tunité de distance.
On trouve
X = flcos {i v^fi),
et la durée d'une oscillation est
tr
11 . Un point matériel est placé en un lieu connu sur la droite qui joint les centres de deux forces attractives ini>ersement proportionnelles au carré de la distance^ on lance ce corps vers Vun des deux centres , d arrive au point où les attractions sont égales et y reste en repos. Déterminer la vitesse ai^ec laquelle il a été lancé.
Soient [jL et fi' les attractions des deux centres à runiié de distance, a a et a a' les distances initiales du mobile i ces deux centres, et Y la vitesse avec laquelle le mobile est lancé vers le second centre.
DYNAMIQUE* ZjS
On trouTe
i2. Vn point matériel cuise meut suix^ant une ligne droite est attiré par une force proportionnelle à la dis-tance, vers un centre d^ action gui se meut suivant la même droite avec une vitesse constante^ on connaît les positions initiales du centre d'' action et du point maté' rielj ainsi que la vitesse constante du premier j3 et la vitesse initiale du second j3'. Trouver la position du point matériel à une époque donnée.
Soient a et a' les distances initiales du centre d*action et du point matériel à une origine fixe prise sur le pror longement de la droite qui va du premier point au second, X la distance du point matériel à cette origine a l'époque t et II l'attraction à Tunité de distance.
On trouve
j: = fl 4- pf 4- BJZJ sin {t\f^) -+■ {a' — a) ces {t v^). Vf* RiccÀTi, Bonon» Institut,^ t. YI^ p. i38; 1873.
13. Les données restent les mêmes que dans le pro^ blême précédent, à V exception de la force qui est répulsive. Trouver la position du point matériel à une époque donnée.
On trouve
2 Vf»
2 Vf*
RiGGATI, Ib.f t. VI, p. l5l.
dy6 MÉCAniQtJB RàTIOlINELLE.
14. On suppose que dans le problème 12 la vitesse du centre d^ action soit uniformément accélérée, au Heu d^ être constante. Troui^er la position du point matériel à une époque donnée.
Si Ton nomme /3 la vitesse initiale du centre d'action et/ l'accroissement de cette vitesse pendant Tunité de temps, on trouve
:r = fl — - -f- p/ -f- i//«-h P-^ $in(/ v>) f* ^ Vf*
-f- ( il' — ff -f- - I co$ {t V^).
RiccATi, Ib.j p. i68.
15. Les données restent les mêmes que dans le problème précédent j à V exception de la force qui est répulsii^e. Déterminer la position du point matériel à une époque donnée.
On trouve
Ér-'V.«
2 Vf* RiccATi, Ib.^ p. 182.
16. Un point matériel est abandonné en un Heu connu à r attraction d*une plaque mince et indéfinie en tous sens, dont chaque point Vattire en raison int^erse du carré de la distance. Déterminer le temps nécessaire au mobile pour arriv^er sur la plaque.
Soient e Tépaisseur de la plaque, p sa densité, a la dis* tance initiale du mobile à la pjaque, et [i l'attraction de runiié de masse dé la plaque à Tunité de distance.
Le temps cherche est
17. Un point matériel est placé dans le plan d'un anneau mince et tout près du centre; la densité de Van-' neau et sa section normale sont partout les mêmes, la matière dont il se compose est douée d'un pouvoir repulsif inversement proportionnel au carré de la dis^ tance. Déterminer la position du point matériel à une époque donnée, et trouver la durée des petites oscilla^' tiens quil exécute autour de sa position d'équilibre.
Soient a le rayon de Tanneau, k Taire de sa section normale, p sa densité, / la distance initiale du point matériel au centre, x la distance des deux mêmes points i Tépoque t^ et fx la répulsion de Tunité de masse de Tanneau à Tunité de distance.
On trouve
a: =: / cos ( - V^ ^* Pf* ) ' et la durée d'une oscillation est
18. Un point matériel est abandonné à V attraction d'un disque mince et homogène, dont toutes les mole" cules sont douées d^ un. pouvoir attractif inversement proportionnel au carré de la distance; la position initiale du point matériel est connue, et se trouve sur la per^ pendiculaire au plan du disque qui passe par le centre de ce corps. Déterminer la vitesse acquise par le mobile lorsquil arrive à la surface du disque.
Soient p la densité du disque, e son épaisseur, a son
978 MÉCANIQUE RàTlOlfNBLLE.
rayon, b sa distance initiale au point matériel, et y. Tat* traction de Tunité de masse du disque à l'unité de distance.
La vitesse cherchée Y est donnée par la formule
19. Une bille dont on connaît l'élasticité tombe d^une hauteur donnée sur un plan horizontal. Trouver tout r espace que la bille doit parcourir aidant d^ arriver au repos.
Soient e l'élasticité de la bille et a sa hauteur initiale au-dessus du plan.
L'espace cherché est égal à
20. Deux billes parfaitement élastiques sont placées à des hauteurs différentes sur une même verticale; au même instant on les abandonne à leurs poids, elles tombent sur un plan incliné de 45 degrés à Vhorizon, et continuent aussitôt leur route sur un plan horizontal parfaitement poli qui fait suite au plan incliné. Déterminer la distance que les deux billes doivent parcourir sur le plan horizontal avant de se rencontrer.
Si l'on nomme a et a' les distances initiales des deux billes au-dessus du plan horizontal, la distance cherchée sera
21 . Deux points pesants sont situés à des hauteurs différentes sur la même verticale; au même instant on abandonne le point supérieur à son poids, et on Idnce le point inférieur de bas en haut avec une vitesse donnée |3. Déterminer V époque et le lieu de la rencontre des deux points.
DYKAMIQOE. 379
Soient a la distance initiale des deux mobiles, x la distance de leur point de rencontre à la position initiale du mobile supérieur et t Fépoque de la rencontre, comptée à partir de l'instant où le mouvement commence.
On trouve
KuaDWANOwsKiy Mém. de l'Jcad. des Sciences de Berlin^ i755, p. 394*
22. Un mobile part du point A, sans vitesse initiale, sollicité par une force accélératrice constante a dans la direction X. Au même instant un second mobile part du point B^ sans vitesse initiale, sous l'action de la forcq b qui agit dans la direction Y. On demande de déterminer l'instant oà la distance des deux mobiles est un minimum y et la grandeur de cette plus petite distance.
Les droites X. et Y ne sont pas nécessairement dans un même plan.
Soient A' le pied de la perpendiculaire abaissée du point B sur la droite X ; BMe pied de la perpendiculaire abaissée de A surY^ F la force résultante des forces a et b transportées parallèlement à elles-mêmes en un même point.
La distance des deux mobiles est un minimum après un temps égal à la racine carrée de
cette plus petite distance est la racine carrée de
AB — ^ =r -'
a8o mAcahiqub RATiomrELLE.
Soient 11^ la perpendiculaire eomnmnè aux deux droites X et Y, et 6 l'angle compris entre deux parallMcs à ces droites.
Le carré de la plus petite distance des mobiles pourra s'exprimer ainsi
23. Si Ton se pose le même problème pour deux mobiles animés de vitesses constantes a, &, on trouve, en nommant F la résultante de deux vitesses parallèles à a et by que la dislance des mobiles est un minimum à l'époque
/îTÂ? -h bÏÏB' '-■■ ÏF
et que cette plus courte dislance a la même expression que dans le problème précédent.
Dans le cas où les deux mobiles parcourent des droita situées dans le même plan, comme feraient deux vaisseaux^ la plus courte distance est
SECTION II
mouvemeut dass un milieu résistaut.
Lorsqu'un point matériel traverse un milieu résistant, la force retardatrice est une fonction de la vitesse du mobile et de la densité du milieu. La nature de cette fonction ne peut être déterminée que par rexpérience. Dans les recherches mathématiques, pour simplifier les calculs et à titre d'approximation probable, on prend une fonction de la forme kpHj où p représente la densité du milieu,
DYSAMIQVB. ^l
SI une certaine fopclion de la Titosse du point, et k un coefficient constant qui dépend^ pour chaqne milieu, de Tadhérence et du frottement des molécules.
Newton et Wallis nous ont donné les premiers travaux mathématiques sur le mouvement des corps dans les milieux résistants. Les profondes recherches de Newton furent publiées en Tannée 1687 dans le second livre des Principes. La même année, Wallis, qui de son côté était arrivé a des résultats précieux sur cette matière, communiqua ses réflexions à la Société Royale de Londres, et les fit insérer dans les Transactions philosophiques. Deux ans plus tard, parut dans les jâcta eruditorum un Mémoire de Leibnitz, où cet illustre géomètre développe ses opinions sur la résistance des milieux, et déclare les avoir présentées à TAcadémie royale des Sciences Tannée même des découvertes de Newton. Huyghens aussi s'est occupé de cette question a la fin de son Discours sur la cause de la pesanteur (i6go). Tous ces travaux et d'autres encore ont été soumis à Tanaiyse et discutés avec soin par Varignon, dans une série de Mémoires qui font partie des Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour les années 1707, 1708, 170^1, 1 710 et 171 1. On trouve encore dans le même recueil pour Tannée 1731 un beau travail de Bouguer sur le mouvement d'un point matériel dans un milieu qui est lui-même en mouvement.
De toutes ces recherches il résulte que dans le cas des petites vitesses la résistance leur est sensiblement proportionnelle, et que pour les grandes vitesses elle croit plus rapidement que leur carré.
1 . Un corps est attiré en raison inverse du cube de ,la distance^ vers un centre fixe entouré lui-même dlune atmosphère dont la densité est inversement proportion'' nelle au cube de la distance à ce centre^ et dont la ré-
a8a ICÉCAHIQUB &atioiiiiellb.
sistance varie comme le carré de la vitesse. Déterminer
la vitesse du corps à une distance quelconque du centre.
Soient a la distance du mobile au centre à l'instant où le mouvement commence, x cette distance à Tépocpie t, h la résistance du milieu pour l'unité de vitesse a Funilé de distance, et fA Fattraction à l'unité de distance.
On a
di" ^ j:» "^ X» «//» '
ou
dx d^x 2 fi </r 2 ^ dx*
\€//' J"^ di \x»; dt* di \x')'
Si Ton pose
il vient
dp^-h Av^dzz=iidZf
équation qui a pour intégrale
On détermine la constante C par la condition que i^ soit nul lorsque x = a^ alors on trouve
2. Une bille pesante, parfaitement élastique, tombe d^une hauteur connue sur un plan horizontal, et rebondit plusieurs fois de suite dans un milieu lioniogène^ dont la résistance est proportionnelle au carré de la
DTKAIIIQVB. a83
vitesse. Déterminer la hauteur à laquelle la bille s'élè-vera après un nombre donné de réflexions.
On prendra en considération le poids du milieu déplacé par la bille.
Soient Ux la hauteur initiale d'où tombe la bille, et généralement a^i la hauteur à laquelle elle s'élève après n réflexions. Nommons 6 le volume de la bille, p la densité de ce corps, p' celle du milieu et k la résistance du milieu pour une vitesse égale à l'unité.
Le poids d*un corps dans un milieu pesant est égal au poids de ce corps dans le vide moins le poids du milieu déplacé^ par conséquent, si nous considérons la bille dans sa descente, et que nous prenions le point le plus élevé d'où elle descend pour origine de la distance x, nous aurons
dx Bp
OU, posant gli — ^-]=g',
= dx»
Intégrons, en observant que veix sont nuls à Finstant où la chute commence*, il vient
log
Ainsi la vitesse (^. du mobile â l'instant de son r»'^"^ choc vérifie l'équation
Considérons actuellement l'ascension qui suit ce /»'^"*' choc, et désignons par x la hauteur du mobile au-dessus
984 MÉCAlflQIIB EàTlOHaELLB.
du plan. Nous avons
dx ^
OU
vdv
t= — </jr,
équation qui a pour intégrale
Si Ton considère en particulier Finstant où l'ascension
commence, on aura Posons, pour abréger,
Alors les équations (i) et (2) nous donnent I I
d'où Ton voit que est le n**"" terme d'une progres-
sion arithmétique dont le premier terme est >- et dont ia
raison est l'unité.
Il s'ensuit
tt/.+i = ; — »
DYHAMIQITB. SlSS
et si l'on remplace Ui, i<„^.t par leurs ^ears,
2Xr ^ na^ka
— if-t-I
Telle est la hauteur du n'*"" bond.
Quand on suppose que la bille arrive d'une distance infinie, Aj est infini, et la valeur précédente se réduit à celle-ci
EuLUy Mechan.j 1. 1, p. 19a.
3. Un centre d'attraction est entouré d^un milieu dont la densité varie auec la distance suivant une loi connue, et dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Déterminer quelle doit être FattraC' tion de ce centre pour quun point matériel abandonné à son action emploie toujours le même temps pour l'at-^ teindre^ quel que soit le point de départ.
Soient a la distance du centre au point matériel à Tinstant où le mouvement commence, x cette distance à. Tépoque £, F la force d'attraction et p la densité du mi-» lieu, laquelle est une fonction de x.
L'équation du mouvement est ici
ou, multipliant par ao""-'^*'',
«-«/*>«'* p»= a Çe—*fp''Fdx + coDtl.
S86 MÉCÂHIQCB mATIOHHELLE.
On détermine la constante par la condition que v soil nul lorsque x = a; alors, si Ton pose, pour abré£;er,
Jo Jo
il vient
di^
Posons encore
nous aurons
dt=z
djt
Pv/— X et la durée de ]a chute du corps sera donnée par la formule
/*A dH
Puisque le second membre doit être indépendant de la distance initiale, ou, ce qui est la même chose, indépendant de A, il faut que la quantité comprise sous le signe/ soit du degré o en A, X et ^X. Pour qu'il en soit ainsi,
P doit être une fonction homogène et du degré - par rapport à X et A', mais, d'après Téquation (i), P est indépendant de A, donc la seule valeur qui puisse convenir à cette quantité est
P désignant une constante.
Ceci posé) Téqualion (x) nous donne
sfyL et comme X et x sont nuls en même temps,
Jo .
Elevons au carré, puis reniplaçons X par sa valeur^ nous trouvons
De la différentielle de cette équation,
8p'e-^fp^Fdx = tie''ff'^' C e-fP^'dx, on tire la valeur cherchée,
Lorsque p = o, ce qui est le cas du vide parfait,
Lorsque p est une constante, ce qui est le cas d'un milieu homogène,
EuLER, Mechan,, 1. 1, p. 220.
4. Un centre de forces C est animé d*un mouvement uniforme suivant la direction OPCA; 1/ repousse en raison directe de la distance un point matériel P qui se
a88 MÉCAHIQVB AITÎONHELLE.
meut saillant la même droite^ dans un milieu homogène et dont la résistance est proportionnelle à la vitesse. Détei^niner la position du point matériel à une époque donnée.
Soient a et a' les distances initiales du centre C et du point P à l'origine fixe O , |3 et p' les vitesses initiales de ces mêmes points, jx la force répulsive à Tunité de disunce, k la résistance du milieu pour Funité de vitesse et X la distance qui sépare le point P de Torigine O a l'époque t.
Si nous convenons de considérer comme positives les vitesses et les distances comptées dans la direction OPCA, et comme négatives les vitesses et les distances comptées dans la direction contraire, le mouvement sera toujours représenté par l'équation
dt* r\ r I fff
qui, si Ton pose
* — û— i- pr=t
peut s'écrire,
Nous intégrerons cette équation par la méthode commune des équations linéaires*
Substituons la valeur ^=: Âe^, dans laquelle A et p désignent des constantes qu'il s'agit de déterminer. H vient
équation qui a pour racines
DTKAMIQUB. làSg
par conséquent, Tintégrale générale sera c'est*â-^re
Lorsque £ est nul, «n doit avoir
*de là il suit que les constantes C et C sont déterminées par les deux équations
On trouvera ce problème et plusieurs autres du même genre dans les Mémoires du jésuite Y. Riccati, De motu rectilineo corporis attracti aut repulsi à centra mobili^ Dîsquisitîo guarta. Comment. Bonon., t. VI, p. 2125
5. Dh -point matériel reçoit une mtesse donnée j3 dans un milieu homogène, dont la résistance est pmportion^ nelle à la racine carrée de la vitesse. Déterminer Vé" poque à laquelle le point s'arrêtera.
Si Ton nomme k la résistance du milieu pour Tunité de ¥itess« et T Tépoque cherchée, comptée i partir de Tinstant où le mouvement commence, on trouve
6. Un point pesant est placé dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Soient t le temps nécessaire à ce point pour acquérir en tombant une vitesse v^ et r le temps qui lui serait nécessaire pour.perdre cette même vitesse si on le
