I. 2* ÉDIT
égalons les coefficients des mêmes puissances de E dans les deux membres; il vient
d'où
lia ^ 099
Ainsi nous avons
Quand on pousse les développements jusqu'à la neuvième puissance, on trouve
^ II , 599 ^ 17219 , 2o32363 „
Les astronomes se servent de cette dernière formule pour corriger l'excentricité par l'observation de la plus ' grande équation du centre.
10. Tandis quune comète décrit une orhite parabolique, on imagine un cercle 'variable qui passe constamm.ent par le Soleil, la comète et le sommet de la parabole. Démontrer que le centre du cercle se meut dhin mou^^ement uniforme.
Newton, Principia, lib. I, prop. 3o.
11. Un point matériel décrit une lemniscate de Jacques Bernoulli sous V action d^un centre de forces placé au point double de la trajectoire» Déterminer la loi de
DYNAMIQUE. 33q
la force et le temps employé à décrire une boucle de la leniniscate.
Soient :
r* =i a^ COS2 0 l'équation de la trajectoire^ pi l'attraction à l'unité de distance; F la force d'attraction à la distance r\ C le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps,
et T le temps employé à décrire une boucle.
On trouve
12. TJn point matériel décrit une hyperbole équilatere sous V action dhine force dirigée 'vers le centre de la courbe. Trouver la loi de la force et déterminer la position du mobile à une épocjue donnée.
Soient
CCS 2 9
î'équation de l'hyperbole rapportée à son centre; p, F, C les mêmes quantités que dans le problème précédent, ci / le temps compté à partir de l'instant où le mobile est au sommet de l'hyperbole.
On ti'ouve
w = -1 sin2 0 = ■'• ? F=:rji/-:
d'où l'on voit que la force est répulsive.
13. TJn point matériel décrit une cissoïde de Diodes sous V action d^une force dirigée vers le sommet de la courbe. Déterminer la loi de celte force.
34o MÉCANIQUE HATIONKELLE.
Si l'on représente la trajectoire par l'équation
sin=9
on trouve que la force cherchée est une attraction proportionnelle à
coséc^ 0 \Ja^ H- r^
l^. Un point matéi'iel décrit, une circonférence sous r action d^un centre de forces placé sur la courbe. Déterminer la force et la vitesse en un point (Quelconque de la trajectoire.
Si l'on nomme /• la distance du mobile au centre de forces, [j. l'attraction à l'unité de distance et F la force cherchée, on trouve
Newtox, Principia, lib. I, prop. "j.
15. Plus généralement : Un point matériel décrit une circonférence sous V action d^un centre fixe situé dans Vintérieur du cercle, le rayon vecteur décrit des aires égales dans des temps égaux. Trouver V expression de la force.
Si Ton nomme a le rayon du cercle, b la distance de la circonférence au centre d'attraction mesurée perpendiculairement au diamètre qui passe à ce point, et C le double de l'aire décrite dans l'unité de temps, on trouve
16. Un point matériel^ sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, se meut avec une vitesse inverse-
ment proportionnelle à sa distance au centre. Déterminer la trajectoire.
On trouve que la trajectoire est une spirale logarithmique dont le centre des forces occupe le pôle.
RiccATi, Comment. Bonon.^ t. IV, p. i84-
17. Un point matériel est attiré vers un centre fixe par une force F telle, que, si Von représente par r la distance du point matériel au centre et par a, h deux constantes, on a
Déterminer la nature de la trajectoire , et examiner en particulier le cas oit le point matériel serait lancé d\ine
distance a, ai^ec une vitesse é&ale à — \] i^ dans une di-
rection inclinée de 45 degrés sur le rayon vecteur.
Admettons que l'angle polaire Q soit nul en même temps que la distance au centre, et nommons C le double de Faire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps.
L'équation générale de la trajectoire est
ah . \/C' =::= sm
dans le cas particulier que nous devons examiner^ cette courbe se réduit à là spirale d'Archimède
r = aQ.
18. Vn point matériel décrit une circonférence sous Faction d\ine force attractive, inversement proportionnelle au carré de la distance et dirigée vers le centre de la courhe, lorsque le mobile est arrivé en un certain point de la trajectoire, V attraction rapportée à V unité
342 MÉCANIQUE HATIOKNELLE.
de distance croît subitement dans le rapport de m à r unité; lorsque le mobile repasse au même point, V attraction croît encore dans le même rapport. Déterminer la trajectoire que le mobile décrit après ce second accroissement.
Cette trajectoire est une ellipse qui a pour excentricité
19. Uji point matériel est attiré vers un centre fixe par une force proportionnelle à la distance. Déterminer la trajectoire et le mouvement du point.
Le mobile décrit une ellipse, dont le centre coïncide avec le centre d'attraction. Son mouvement est celui de la projection d'un point qui parcourrait d'un mouvement uniforme et dans le même temps la circonférence dont l'ellipse est la projection orthogonale.
Ce résultat se prévoit sans calcul, si l'on observe que la force accélératrice peut être considérée com.nie la projection de la force accélératrice constante qui produirait le mouvement circulaire.
On voit, en se reportant à la proposition 11 de la page 189, c^nun point matériel, attiré proportionnellement à la distance et à la masse par autant de points matériels Jixes que Von voudra, décrit une ellipse dont le centre est au centre de grai^ité des points attirants. Newton, Principia, lib. I, prop. 10, 64-
20. Un point matériel, attiré vers un centre fixe par une force proportionnelle à la distance, est lancé d'un même point et avec la même vitesse suivant différentes directions situées dans un même plan. Montrer que le lieu du mobile est un ellipsoïde, et que le point de départ du mobile est un point ombilical de la surface.
2i . Un point matériel soumis à V attraction dhin centre fixe est lancé d\ine distance a, avec une vitesse égale à {^q, dans une direction perpendiculaire à celle du rayon vecteur. Déterminer V équation de la trajectoire et la durée T de la l'évolution, dajis les deux hypothèses suivantes :
V— ^ o^ — '^^ r* àa^
On trouve, dans la première hypothèse,
I in'K'^a^
r = ac.os'-9, T= ^
2 62.it.
et dans la seconde hypothèse,
La première courbe est une épicycloïde engendrée par un cercle de rayon j qui roule extérieurement sur un
cercle égal.
La seconde courbe est une lemniscate de Jacques Ber-
noulli.
Stadeb, Journal de Crelle, t. XLVIj i853.
22. Un point matériel se meut sous Inaction d^un centrejixe dont V attraction est exprimée par la formule
[j. et V étant des constantes . Trouver Véquation de la trajectoire.
Si l'on détermine convenablement les constantes intro-
344 MÉCANIQUE RATIONNELLE. i
duites par l'intégration, on arrive à l'équation
1 H- ecosA9
dans laquelle ?r, e, h sont des constantes, et
C étant le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps.
Cette équation représente la trajectoire d'un point qui parcourrait une ellipse en vertu de l'attraction du foyer, pendant que cette courbe, invariable dans sa forme, tournerait autour de son foyer avec une vitesse égale au produit de — - — par la vitesse du mobile dans cette ellipse.
Si Ton pose
cette équation représente à peu près la trajectoire de la Lune autour de laTerre supposée fixe. C'est pourquoi Clairaut, qui d'abord avait cru, par suite de calculs incomplets, que la loi d'attraction en raison inverse du carré de la distance ne suffisait pas pour expliquer le mouvement rapide du périgée de la Lune, fut conduit à supposer que, outre l'attraction dont on vient de parler, il existait une autre attraction en raison inverse du cube de la dislance et très-faible. D'après ses idées, cette attraction était insensible pour les planètes à cause de leurs grandes distances, mais elle était sensible pour la Lune vis-à-vis de la Terre, et produisait en partie le mouvement du périgée. D'Alembert était arrivé au même résultat et confirmait Clairaut dans son erreur, lorsque celui-ci reconnut luimême le défaut de ses premiers calculs, et montra que la loi de Newton seule rend compte de toute la vitesse du périgée de la Lune.
23. Un point matériel, soumis à V action d'un centre fixe qui Vattire suivant une fonction de la distance, est lancé dans une direction perpendiculaire au rajon vecieur, avec une vitesse presque égale à celle quil aurait en ce lieu si son mouvement était circulaire. Déterminer la valeur du rayon vecteur maximum ou minimum qui se présente en premier lieu après le départ.
Soient :
F := — ^ ( -| raltraction à la distance r;
a la distance initiale du mobile au centre d'attraction; a' la valeur cherchée du premier rayon vecteur maximum ou minimum 5
— le rapport de la vitesse initiale à celle qui correspond au mouvement circulaire.
On trouve »
«Pl -
24, Un corps planétaire, abandonné sans vitesse initiale à V attraction du Soleil, mettra pour tomber sur le centre de cet astre un temps égal à la demi-révolution d'une planète dont V orbite aurait un grand axe égal à la hauteur de la chute.
On trouve ainsi que la Lune mettrait en moyenne 1 1 5 heures 55 minutes pour tomber au centre de la Terre. G. Santini, Elementi di Astronomia, t. II, p. 826.
25. Soient p le périmètre d'une courbe fermée décrite par un point matériel sous V action d'une force dirigée vers un centre fixe, p le rayon de courbure, T le temps
de la révolution et C le double de Vaire décrite par le rayon vecteur dans V unité de temps. Démontrer qu entre ces quantités existe la relation
SECTION III
