MOUVEMENT DANS XJN MILIEU RÉSISTANT
1. Un point pesant est lancé avec une vitesse connue t^o fii sous une inclinaison donnée a, dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle à la vitesse. Déterminer le temps T nécessaire au mobile pour atteindre sa plus grande hauteur.
Prenons l'axe des j' vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur 5 nommons /c le rapport de la résistance à la vitesse.
L'équation du mouvement qui doit seule nous occuper est la suivante,
IF- ^ dt'
elle a pour intégrale
log I g- -h A — I = — /?Y -+- const.
Si l'on détermine la constante par les données initiales, il vient
log dT^^''
Lorsque le mobile est à sa plus grande hauteur, on a
dy
dt '
T = - loir 1+ - ('o sina ^- \ g
2. Déterminer le moui^ement d\in projectile pesant, lancé dans un milieu dont la résistance est exprimée par a~\-b^'", a, b désignant des constantes et ^ la vitesse.
Si l'on prend l'axe des y vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur, les équations du mouvement
seront
(("^x , ^ ^ dx
-— = — « + è(." —, dt' ^ ' ds
cl^ ')'* cly
di' ^ ' ds ^
Multiplions la première équation par d^j et la seconde par d'^x^ puis retranchons les produits. Il vient
[a -\- bi)") [dx d'^Y — dj d^x) z=g dsd^x-,
d'où l'on tire, en posant
dx = ds ces co , dy z=^ ds sin w
et divisant par dt,
d'^ X v[a + bu")dM z=. g [coS(ùdv — v sinw dtù) =. g——-,
ou
(i) §• cos &)('—("+') i/(> — ((2 H- g-siiiw) f^^c^w = 6c/w.
Telle est l'équation qu'il s'agit d'intégrer.
Soit K le facteur par lequel il faut multiplier le premier membre pour le rendre une différentielle exacte. Ce facteur doit être indépendant de ^', car le second membre ne contient pas Jv»; par conséquent, la quantité dont le premier membre sera la différentielle est de la forme Q.v~"y lî ne contenant point v.
Egalons la différentielle de fî p»"" au produit du premier membre par le facteur K; il vient les deux relations
g cosw et
du siaoi du na da
D. COSW g COSM
ou
do. "^ , , /tt
— = — nd. log CCS » -} d. log tang I j
na
il =-. cos~" W . tang ^ ( 7 .
Il résulte de là que l'intégrale de l'équation (i) est
^bUdoi
ii i>-"
n ri
Cette formule subsiste encore lorsque b est une fonction quelconque de w. Si a était une fonction de w, il suffirait
na n fadu
de changer tang^ ( ^ + - | en e^'^ '^'"*'^-
Ainsi la détermination de la vitesse est réduite à une simple quadrature.
Pour rendre les formules plus commodes, posons
tang(^^ + -
d'où
2r . r^ — I d(o dr
cosw = 5 smw = 7 = — «
r^ + 1 ^ r^ + I cosw r
Il vient
nb r "("-0 ,
; dr
2" il (>-»=— — \r \^ ^{r'^+iY—-
Toutes les fois que n est un nombre entier positif, l'intégrale peut s'obtenir sous forme finie.
Supposons, par exemple, - = -■> la formule devient alors
^2 (/-^ 4- i)" v-" = ^ : (/■= -t- i)"-^' + const.
Maintenant que v est déterminé en fonction de r, il nous est facile de donner les expressions de f, a:, j en fonction de la même quantité au moyen des seules quadratures. En effet, nous avons déjà trouvé les équations
f/-.r , , , dx
dt- ^ ' ds
d'ix
via + hv'^\ doi z= £• — — - , dx = ds ces w ; ^ ' ° dl
on en
tire aisément
dt-
d-'x ds—— dt
vdsdu) (>doi vdr
dx (a -{- bv"
gdx gcostù gr
ds d-x
ds
dx —
dt dt
lit
c'du) IV- dr
a + hv" ~
dy^
= {c' dt- — dx^)'
Is'r^ S'{r^-^lY}
v'^[r'^ — \) dr
gr[r^+i)
Pour avoir les valeurs de /, x^ j, il suffit de substituer dans ces formules la valeur de \^ en fonction de r et d'intégrer.
Si l'on pose
a = o et 72 = 2,
on a les formules que Ton donne dans tous les Traités de Mécanique.
35o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
La réduction aux quadratures réussit encore lorsque la résistance est exprimée par la formule
a 4- bXoQ^v.
Au reste, cette liypotlièse peut se déduire des formules
précédentes, en écrivant a et - au lieu de a et Z>, et
faisant ensuite it = o. C'est ce que l'on reconnaît facilement, si l'on observe que la vraie valeur de la fraction
pour n=2 o est loe v.
Jean Bernoulli fut provoqué par Keill à déterminer le mouvement d'un projectile dans un milieu homogène, lorsque la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Il entreprit de résoudre le problème plus général où la résistance est proportionnelle à une puissance quelconque de la vitesse*, bientôt il réduisit la solution à des quadratures, et eut la satisfaction de constater que Keill ne savait point résoudre la question qu'il proposait. Ses recherches furent publiées, conjointement avec celles de son neveu Nicolas Bernoulli, dans \e?, Acta eraditorwn, Lips., 1719, p. 2i6 (*). Plus tard, Legendre (^) apprit à ramener aux quadratures la détermination du mouvement d'un projectile, quand la résistance est égale à une constante plus un terme proportionnel au carré de la vitesse. On peut encore consulter, sur le problème balistique, Euler (2), Borda (*), Templehoff(=*) et Moreau [').
Jacobi, Journal de Crelle, t. XXIV, p. 26; 1842.
(' ) Voir aussi J. Beun., Opéra, t. II, p. SgS.
(-) Mém. de VAcad. de Berlin, 1782.
(«) Ih., 1753.
(') Ih., 1769.
(") Ih., 1788- 1789.
(") Journal de V École Polytechnique, XI^ cahier, p. 204.
3. Un point matériel se meut dans un milieu résistant sous faction d?une force qui agit toujours dans une même direction. Déterminer la loi de la résistance du milieu, lorsquon connaît la trajectoire', et réciproquement, déterminer la trajectoire , lorsqiHon connaît la résistance.
Prenons l'axe des y parallèle à la force et dirigé dans le même sens ; nommons x, y les coordonnées du mobile à l'époque ?, s l'axe qu'il a parcouru, Y la force qui le sollicite et R la résistance du milieu.
Les équations des composantes tangentielles et normales que nous avons rappelées au commencement de ce chapitre nous donnent
dv , dy
as as
p^ dx
p as
(Is^ d^ y OU, si l'on remplace p par sa valeur — : -y-^^
,^ ds^ d^r
dx^ dx''
DifFérentions cette équation par rapport à x^ en observant que — = i-j- — ; il vient
di> ,dy I ds^ d / Y \
dx dx 2 dx'' dx I d^y j
Xd^J
dv ^ dy \ds d^ / Y \ ds dx o. dx dx [ d' y \
352 MÉCAKIQUE RATIONJSELLE.
et, d'après la première équation,
Cette formule résout le double problème que nous nous sommes proposé.
Corollaire I. — Si l'on suppose en particulier que ]a résistance soit proportionnelle au carré de la vitesse et à la densité D du milieu, on aura, en nommant y. une constante.
R=:fiDc'=r aDp —Y,
^ as
et par conséquent,
R dx'^ I dx dx' d
p. Y ds^ i]j. ds Y dx
dx^
I dx d 2 p. ds dx
Cette formule fait connaître la densité en un point quelconque du milieu, lorsque l'on donne la trajectoire; et réciproquement, elle fait connaître la trajectoire, lorsque l'on donne la densité.
Corollaire II. — Il est aisé de voir que -p -r- est la
demi-corde du cercle de courbure menée par le point {x,j) parallèlement à l'axe desj^; en sorte que, si l'on nomme q cette corde, on aura
Celte formule nous montre que la vitesse du mobile est égale, en chaque point, à celle qu'il gagnerait en tombant dans le vide d'une hauteur égale au quart de la corde de courbure, sous l'influence d'une foi^ce égale à celle qui le sollicite au point considéré.
La question qui nous occupe a été résolue d'une manière fautive par INewton, dans la première édition du livre des Principes^ pour le cas d'une résistance proportionnelle au carré de la vitesse; l'erreur a été corrigée plus tard sur les indications de Jean Bernoulli.
Newton, Principia, lib. II, prop. lo.
Jean Bernoulli, Jeta erud., Lips., 17 13; Opéra, t. I, p. 5i5.
4. Un point matériel se meut dans un milieu résistant sous Vattraction d\in centre fixe. Déterminer la loi de la résistance y lorsque Von connaît la trajectoire ; et réciproquement, déterminer la trajectoire, lorsque Von connaît la résistance.
Prenons le centre d'attraction pour origine des coordonnées polaires r el 0; nommons P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente à la trajectoire, R la résistance du milieu et F la force d'attraction.
INous avons les équations
ch „ dr
ds ds
D'après la relation p =z r -—^ la seconde équation peut s'écrire
