Deux points pesants réunis par une tige rigide et
sans poids peuvent se mouvoir sur deux droites fixes situées dans un même plan vertical. Déterminer la durée des petites oscillations que le système exécute lorsquort "vient à l'écarter légèrement de sa position d^équilibre.
Soient :
P et P' les deux points mobiles ;
c leur distance mutuelle -,
m et m' leurs masses respectives;
X et x' leurs distances au point de concours A des droites fixes; '
a et a' \es valeurs de ces distances qui correspondent à la position d'équilibre;
cû et 33' les angles que la droite PP' fait avec les deux droites fixes;
i l'inclinaison mutuelle de ces deux droites;
a et a' les angles qu'elles font avec la verticale;
T l'action mutuelle des deux points qui est transmise par la tige PP'.
Les équations du mouvement sont les suivantes :
dtd^x'
ïcos
dt'
m' g ces a' — T ces t^';
d'où l'on tire, par l'élimination de T,
m coscp' '- — m' cos'j ■ = wsi cosa cos©' — m'gcos'x' ci^S'o.
^ dt' ' dt- * .0
Pour exprimer ç et cj-' en fonction de x et a:',la Géométrie nous donne les deux relations
c cosçp = jt'cos/ — X,
C ces tf'z=X CCS / — x' y
qui nous permettent d'écrire l'équation précédente sous la forme
— m[x — X ces i ) -\~ m (X — x cos /
^ ' dt' ' cW
:= — mg cosûc (x' — X ces/) -I- m' g cosa' [x — x' cosi).
Remplaçons dans cette formule x, x' par a-h-z, a' -h z', et observons que le second membre est nul lorsqu'on y fait X =a, x' = a', car ces valeurs sont celles qui correspondent à l'équilibre. Il vient, en négligeant les secondes] puissances des petits écarts z^ z' et de leuis dérivées,
( , > •^ ^^'2 ^, , ,.cUz' \ — m [a —a ces i \- m ■ a — a cos i ]
(i) ,' ^ ^ dt- ^ ■ dt'
\ = — mg cosot. [z' — z ces/) H- m' gcosot.' [z — ::;' ces/).
Or on peut exprimer z' en fonction de z, car on a Véquation
c= = a- H- a'- — 2.aa' cosi
= {a-hzy-h{a' + z')=— 2(« + z) (a' +z')cos/,
laquelle devient, en négligeant les secondes puissances de z et de z',
(2) (« — a' cosi) z -\- [a' — acosi) z' =1 o.
On pourrait maintenant éliminer z' de l'équation (i)^ puis intégrer, et le problème serait résolu.
Cherchons la longueur / du pendule simple qui oscille dans le même temps que chacun des deux points de notre système.
362 MÉCA&IQXJE RATIONNELLE.
Soient li, Je', h des constantes. La théorie du pendule nous donne pour z et z' des valeurs de la forme
z = /- sin ( ^ 4 / -y H- /i I , z' z= k' smi t i/ j -{- /i ] .
Si nous substituons ces valeurs dans les équations (i)
et ('i), et que nous éliminions du résultat le rapport — »
nous obtenons
^ ^ m {a' — a cosiy -h m' [a — a' ces/)'
[ma cos ex. -h m'a' cos a ) sïn-i '
en sorte que la durée d'une oscillation tt i /- est connue.
La longueur l est susceptible d'une construction simple. En effet, supposons les points P et P' dans leur position d'équilibre; par chacun de ces points, élevons une perpendiculaire sur la droite qui dirige son mouvement. Soit O l'intersection de ces deux perpendiculaires. Projetons le contourPAP'OPsur chacune des droites AP, AP'5 il vient
OP' sin/ =z a — a' cos/,
OP sin/ = a' — a cos /.
D'un autre côté, si nous nommons h la distance du centre de gravité des poids P et P', dans leur position d'équilibre, à la droite horizontale qui passe au point A, nous avons
[m -h m' ) h:= ma cosa -+ m' a' cosa'.
Ces valeurs, substituées dans l'expression de /, nous donnent
mOP -h m'OP'
Il est aisé de construire cette valeur par les méthodes de la Géométrie élémentaire.
3. IJji point matériel, assujetti à rester sur une droite donnée j, est sollicité par une force dirigée 'vers un centre fixe et fonction de la distance à ce centre. Trouver la durée des petites oscillations que le mobile exécute, lorsqu'on vient à V écarter légèrement de sa position d'équilibre^
Soient :
a la distance de la droite au centre des forces; r la distance du mobile à ce centre ; X la distance du mobile au pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la droite; f{r) la force correspondante à la distance /'.
Prenons pour unité de masse celle du point mobile. Le mouvement sera représenté par l'équation
(i) __ — 2 / /( r) dr + const.
Si nous négligeons les quantités du troisième ordre en x, dans la valeur de -7^ •> f [r) =f[\/a'^ -{- x^) doit être remplacé par/" [a) sous le signe 1 ? et par conséquent
dx^
— r= — 2 r /" ( « ) -+- const.
dt' '' ^ '
Nommant e la valeur initiale de x, cette équation peut s'écrire
On en tire
de= — i ~^
dx
y Aa)^-7~^^-
X = 2 cos U Sj'^—- ) '■> en sorte que la durée d'une oscillation est
Si, par exemple, la force est une attraction proportionnelle à la distance, on a
[i. étant l'attraction à l'unité de distance. C'est un résultat donné dans la Mécanique d'Euler, t. II, p. 91.
Les formules générales qui précèdent supposent que f{a) n'est pas nul. Si cette condition n'était point remplie, il faudrait, dans la valeur de — — > conserver des ^ ' ' df
puissances de x supérieures à la seconde, et les résultais seraient cliangés.
Ce cas se présente, en particulier, lorsque la force centrale est le ressort d'un fil élastique lié d'une part au point mobile, d'autre part au centre fixe.
Soient T la tension du fil et X son coefficient d'allongement (*) 5 supposons que la longueur naturelle du fil soit égale à la dislance du centre à la droite.
(*) Voir p. 167.
jNous avons
/(>)=:ï, r = fl(i + ^T); d'où
d'ailleurs,
i~z . X clx
Substituant ces valeurs dans l'équation (i), il vient Si l'on néglige les quatrièmes puissances de x.
il s ensuit
dt^ Ka' J 4). «3 ^ -"
7 !i — dx
it=i — la \J\a
Posons
X z=2 s CCS ç.
Alors,
, o.a \J\a dw a /— —
^ V I + cos'^ 2
^/i--sin=a>
sin'cp
L'intégrale définie est une fonction elliptique de première espèce dont le module est — ^•
4. Deux points A e£ B étant donnés sur une même droite horizontale, trouver, dans le plan 'vertical mené par ces deux points^ le lieu dhin troisième point P tel, que la somme des temps nécessaires à un point pesant pour parcourir les droites AP et BP, lorsquon le pose successivement en A. et ^ sans vitesse initiale, soit égale à une quantité donnée k.
Prenons l'origine des coordonnées sur la droite AB, à égale distance des extrémités, et dirigeons l'axe àesj dans le sens de la pesanteur. Soient x, j les coordonnées du point P et 2 a la distance AB.
Les formules du mouvement sur un plan incliné nous donnent de suite l'équaiion
Élevons deux fois au carré pour rendre l'équation rationnelle, et posons
Il vient, après des réductions faciles,
r^ — cy -\~ u- ^ a} — cy
Cette courbe se compose en général de deux branches, l'une tangente à l'origine à l'axe des x et asymptotique à
la droite r = — ) l'autre située au delà de cette dernière
droite et formant une sorte d'ovale. Cette seconde branche
seule convient à notre problème ; pour qu'elle existe, il faut que c soit plus grand que 2a. La première branche est le lieu des points P tels, que la différence des temps employés à parcourir les droites AP, BP est égale à la constante k. En effet, si l'on rend rationnelle l'équation
on arrive encore à la formule (E).
Fuss, Mém. de l'Acad. de Saint-Pétersbourg^ 18 19.
5. Déterminer la courbe sur laquelle doit glisser un point pesant, pour quil descende de hauteurs égales dans des temps égaux.
On supposera que la tangente à Vorigine des arcs parcourus est verticale.
Prenons l'origine au point où le mouvement commence, et l'axe des j" vertical dirigé de haut en bas. Soit |3 la hauteur verticale que le mobile parcourt dans l'unité de temps.
ds^
— - ^=-xgy -\- const.,
dt- ^
ou
ds- df- l dx^\ dr"^
dy de- \ df- j dt^ °-'
ds Or, à l'origine du mouvement, — = [3, d'où il suit que la
constante est égale à |S^ 5 d'ailleurs, par hypothèse, on a toujours
dy
368 MÉCAIVIQUE RATIONKELLE.
par conséquent.
P'-ir. = ^S'
dx
dy
dx ^ s/^ Jdy p ^
La courbe est une parabole de degré - -, son axe est l'axe
des j", et son point de rebroussement est à Torigine. Ou l'a nommée isochrone.
Leibniiz défia les disciples de Descartes de résoudre ce problème par les méthodes de leur maître, sans employer le calcul difTérentiel. En effet, ils ne purent y an i ver. Alors Huygliens (*), Leibnitz (**) et Jacques Bernoulli (**■♦') publièrent différentes solutions, les premières synthétiques, la dernière analytique.
6. Un point matériel se meut sur une courbe avec une vitesse constante. Quelle doit être la courbe pour que la ■vitesse estimée suivant une droite donnée croisse d'une manière uniforme?
Soient j3 la vitesse du mobile sur la courbe, c l'accroissement de la vitesse dans l'unité de temps suivant la droite donnée. Prenons cette droite pour axe des a:, et le point où elle rencontre la courbe pour origine des coordonnées.
Nous avons
dx'' dv'
dr- dt' '^ '
(*) Nouvelles de la République des Lettres, octobre 1CS7. (**) Acta erud,, Lips., 1689, p. 196 et suiv. (*=<*) Ib., 1690, p. 217.
et
dt' —"'
d'où l'on lire, par intégration,
dx^
— — z=i ICX.
de
Eliminons dt entre cette dernière équation et la première. Il vient
et, en posant j--=^ a^
dy^ dx
la —
y = a arc cos \- sjiax — x^.
C'est l'équation d'une cjcloïde dont le cercle générateur a pour rayon a, et roule sur la droite x = Q.a.
Cette propriété de la cycloïde résulte d'un travail d'Euler, qui fait partie des Mémoires de l' Académie de Saint-Pétersbourg, t. X, p. 7. On trouvera des détails historiques sur cette question dans les Bulletins de V Académie des Sciences de Bruxelles ^ t. IX.
