OU /? = — I

l'équation peut encore s'intégrer en quantités finies, tuais elle ne répond pas au problème, car la valeur « = — i est exclue de notre première intégration.

Enfin, si l'on admet que m ait une valeur fractionnaire-5 l'équation de la courbe s'obtiendra sous forme

finie toutes les fois que - sera un nombre entier, ou un P

nombre entier augmenté de -• Posant, par exemple,

- = -) ou n := -•, p "2. à

nous obtenons la courbe

Toutes ces courbes sont tangentes à la droite fixe prise

pour axe des y, elles coupent à angle droit la ligne

0?= ^"' et ne s'étendent pas au delà.

13. Considérons une série de courbes semblables et semblablement placées, qui passent toutes par un même point A, et proposons-nous de troui^ev le lieu des extrémités des arcs qui seraient parcourus dans un même temps, par un point pesant posé sans vitesse initiale au sommet commun A, et assujetti à décrire successivement les dii^erses courbes.

, Le lieu géométrique ainsi défini porte le nom de courbe synchrone ipa.r rapport à la série des courbes semblables. Soient pris le sommet A pour origine des coordonnées et la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur pour axe des x. Nommons t le temps que le mobile emploie pour atteindre la courbe synchrone^ s l'arc qu'il décrit dans ce mouvement et x l'ordonnée de l'extrémité de cet arc.

On

ds

ou

dx.

Dans cette formule, on remplacera -f- par sa valeur en x

^ dx ^

tirée de l'équation commune aux courbes semblables, laquelle contient un paramètre arbitraire a\ on intégrera, puis on éliminera le paramètre a entre le résultat obtenu et l'équation des courbes semblables -, l'équation résultante représentera la courbe synchrone.

Le plus souvent l'intégration dont on vient de parler ne pourra s'effectuer en quantités finies \ alors il convient dé modifier la méthode.

L'équation commune aux courbes semblables est de la forme

admettons, pour plus de clarté, qu'on l'ait résolue par

rapport a — ? et soit

DYNAMIQUE. OOJ

Si l'on pose

— sera une fonction de z indépendante de «, et l'on aura

= \" i A /1 + -7-, ci.y-

—dz.

— ±;rf=

O-SZ

d'où

ou

Jo V 2 gz

Dans ces formules on donnera successivement à z différentes valeurs, et l'on calculera par les quadratures les coordonnées x, y des points correspondants de la courbe synchrone.

Le problème de la courbe synchrone est dû à Jean Bernoulli (*) -, Euler l'a discuté dans sa Méchanique (t. II, P-47)-

44. Un point matériel, assujetti à rester sur une courbe plane, est sollicité par des forces situées dans le

(*) Acta erud., Lips., 1697, p. 206.