I. 2" ÉDIT
386 MÉCANIQUE RATIOWKELLE.
même plan et données à "volonté. D été nniner quelle doit être la forme de la courhe^ pour que le temps emplojé par le mobde à parcourir la distance qui sépare deux points donnés soit un minimum relativement au temps qui lui serait nécessaire sur toute autre courbe.
La courbe ainsi définie se nomme brachistochrone relativement au système de forces.
Soient x., y lés coordonnées du mobile, s l'arc qu'il a parcouru à l'époque /, et a, jS les valeurs àe x correspondantes aux deux points donnés.
On a
dt = —:,
par suite, si l'on pose
dy
la durée du mouvement entre les deux points donnés sera
Il faut déterminer la relation qui doit exister entre les coordonnées x et y, pour que cette intégrale soit un minimum *, cette relation sera l'équation de la brachistoclirone.
Nous résoudrons ce problème par le calcul des variations.
Soit
Concevons que dans V la vitesse w soit exprimée en fonction de x et de /, et nommons M et N les dérivées partielles de V par rapport a j el p. La méthode des va-
riations nous donne la formule
dans laquelle — - i^eprésente la différentielle totale de N
par rapport à x.
Pour exprimer cette formule en fonction des coordonnées X, y, nous avons d'abord
d'ailleurs, si nous représentons par X et Y les composantes des forces suivant les axes, nous avons
(2) çdv = lLdx-+-Ydf;
en sorte que la dérivée partielle — est égale à — • Il en résulte
(3) M = -ls^7^^ = -I^.
c v^ ax
Nous avons encore
f/ N I di> dy I d I dy
dx <>■ dx (is V dx \ ds
ou, puisque la différentielle totale — est égale à
dx
V \ dx
en vertu de l'équation (2),
(4) îE=ifx+T*:')* + il('*:V
dx v^ \ dx j ds V dx \ ds ]
388 MÉCANIQUE RATIOMPJELLE.
Substituant dans la formule (i) les valeurs données par les équations (3) et (4)5 il vient
£ [cljr\ ^f^ Y— .
dx \ ds I ds ds '
ou, ce qui est la même chose,
dx''
dr
Cette équation différentielle du second ordre représente la brachistochrone. Les deux constantes qu'introduira l'intégration permettront de faire passer cette courbe aux deux points donnés j alors le problème sera complètement résolu.
Quand on écrit l'équation (5) de manière que les deux membres soient positifs, le premier membre est égal à
la force centrifuge -5 p désignant le rayon de courbure,
et le second membre est égal à la somme des forces appliquées, estimées suivant la direction de la force centrifuge. L'égalité de ces deux quantités constitue une propriété remarquable des bracbistocbrones découverte par Euler (*). Elle nous servira dans la question suivante.
La recherche de la brachistochrone pour un point pesant fut mise au concours par Jean Bernoulli (**), au
(* Mechan., t. H, prop. 43-
( **) Acta erud.y Lips., 1696, p. 269; 1697, P- 207. — Mémoires de l'Acad. des Sciences de Paris, 1718, p. i36. — Opéra, t. II, p. 266.
mois de juin de Tannée 1696-, six mois étaient accordés pour résoudre le problème. Leibnilz (*) le résolut presque aussitôt, et communiqua sa découverte à Bernoulli. Comme aucune autre solution ne parvint au temps fixé, le délai fut prolongé jusqu'à Pâques; alors parurent les solutions de Jacques Bernoulli (**), de l'Hôpital (^***'j et une solution 'anonyme de Newton (****).
45. TrouK>er la brachistochrone pour une force dirigée "Vers un centre fixe et proportionnelle à la distance.
Soient :
/' la distance du mobile au centre d'attraction \ (p l'angle que le rayon vecteur fait avec la tangente à la courbe 5
p le rayon de courbure 5
P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente ^
^ l'attraction à l'unité de distance 5
a la valeur initiale de r.
L'attraction estimée suivant la normale est
fA/-sin^, ou pP;
D'ailleurs, la vitesse initiale étant nulle, on a
rdr = p («'
en outre, la force étant attractive, la courbe doit tourner
(*) Commercium epistolicum Leih, et Bern., epist. xxviil. — Acta erudil., Lips., 1697, p. 2o3.
(**) Acta erud., Lips., 1697, P- 212.
(***) Ib., p. 217.
(****) Philos. Transact., 1697, n^ 224, P- SSg.
3gO ' MÉCANIQUE RATIONNELLE.
sa convexité vers le centre des forces ; nous avons donc avec le signe convenable la i^elation géométrique
dr ^ dP
Substituant ces valeurs dans la première équation, il vient
dp __ rdr
d'où
logP = — log («^ — /•-) + const.
P2 = C=(fl2 r=).
C est une constante.
Comme on l'a vu (p. 378), cette équation représente une épicjcloïde que l'on peut décrire en faisant rouler un cercle mobile dans l'intérieur d'un cercle fixe décrit du centre des forces comme centre avec un rayon égal à a.
Si la force centrale était répulsive, on arriverait à l'équation
qui représente une épicjcloïde dont le cercle générateur roule extérieurement sur le cercle fixe.
Au reste, si l'on veut obtenir l'équation de la bracliistochrone dans le système des coordonnées polaires r et 0, il suffit de remplacer P par sa valeur
d'intégrer et de déterminer les deux constantes par la condition que la courbe passe aux deux points donnés. EuLER, Médian., t. II, p. 191.
Le problème suivant se ramène au mouvement d'un point matériel sur une courbe fixe.
16. Un point matériel est attaché à V extrémité dhin fil sans masse, situé dans un plan horizontal et parfaitement uni. Déterminer le mouuement du point lorsque Vautre extrémité du fil est entraînée sur une courbe donnée^ avec une vitesse connue, et que le fil reste toujours tendu.
Pour résoudre ce problème, nous allons d'abord déterminer le mouvement du point relativement à l'extrémité du fil 5 ce sera le mouvement d'un point matériel sur un cercle fixe. Ensuite il nous sera facile de passer au mouvement absolu par les formules de la transformation des coordonnées.
D'après le principe du mouvement relatif, nous devons considérer le point comme sollicité par une force accélératrice F, égale et contraire à celle qui serait capable de produire le mouvement réel de l'extrémité considérée comme fixe, si cette extrémité était un point matériel libre.
Premieu cas. — L'extrémité du fil décrit une ligne droite d'un mouvement uniforme.
Ici F = o -, par suite le point matériel tourne d'un mouvement uniforme autour de l'extrémité du fil.
Soient / la longueur du fil, o) sa vitesse angulaire et u la vitesse de l'extrémité qui parcourt une ligne droite.
Si u =: /w, le point matériel décrit une cjcloïde dans son mouvement absolu; le rayon du cercle générateur est /, ce cercle roule uniformément sur la directrice.
Si u 5 le point matériel décrit dans son raouve-
ment absolu une cjcloïde allongée; c'est-à-dire que sa trajectoire est celle d'un point pris sur le prolongement du rayon d'un cercle qui roule sur une droite. Ici la distance
392 MÉCANIQUE RATIOJSNELLE.
du point décrivant au centre du cercle est /, le rayon est /', et le cercle roule d'un mouvement uniforme.
bi II •) le point matériel décrit dans son mouve-
ment absolu une cycloïde raccourcie ^ c'est-à-dire que sa trajectoire est celle d'un point pris sur la longueur du rayon d'un cercle qui roule sur une droite. Les autres circonstances du mouvement sont les mêmes que dans l'hypothèse précédente, si ce n'est que r est plus grand que /.
Deuxième cas. — V extrémité du Jîl décrit une ligne droite d^un mouvement uniformément accéléré.
Ici la force est constante en grandeur et en direction ; par conséquent le mouvement relatif du point matériel sera de même nature que celui du pendule simple.
Troisiè:me CAS. — L'extrémité du fil décrit une circonférence d'un mouvement uniforme.
Soient p le rayon de cette circonférence, a la vitesse angulaire avec laquelle elle est décrite, et Q l'angle que la direction du fil fait avec le rayon p. Nous regarderons l'angle B comme positif lorsqu'il sera décrit dans le sens de la vitesse a.
Ici la force F est parallèle au rayon de la circonférence décrite par l'extrémité du fil; son intensité est ol^ p\ sa projection sur la tangente à l'arc décrit par le mobile dans son mouvement relatif est — a^p sin9; l'arc décrit à l'époque t est /(ai -\- B — ^0)5 ^0 désignant la valeur initiale
d'' s de B. Si l'on porte ces valeurs dans la formule -7^ = 'S
(p. 358), il vient
/ - — • = — a^ p sm 9 .
C'est l'équation qui représente le mouvement du pen-
DYNAMIQUE. SpS
dule simple quand on suppose que la gravité est égale à a^p. Le mouvement relatif au rayon de la circonférence décrite par l'extrémité du fil sera donc de même nature que celui du pendule.
L'équation admet la solution particulière
6 = const. = 9„.
Ainsi, quand la vitesse angulaire initiale du point matériel est égale à celle de l'autre extrémité du fil, ce point décrit un cercle d'un mouvement uniforme dans son mouvement relatif et aussi dans son mouvement absolu. Le rayon de ce dernier cercle est
Toutefois ceci suppose que la résultante des deux forces centrifuges qui naissent du mouvement i^elatif et du mouvement absolu tend à éloigner le point matériel de l'autre extrémité du fil. Celte condition serait inutile si le fil était remplacé par une tige rigide et sans poids.
Le premier cas que nous avons examiné fut le sujet d'une controverse entre Fontaine et Ciairault. Fontaine admettait que le fil devait être constamment dirigé suivant la tangente à la trajectoire; Clairaut rejetait cette hypothèse. En réalité, elle suppose que la force d'inertie est détruite à chaque instant; cela aurait lieu si le mouvement du point matériel était produit par une suite de chocs dirigés dans le sens du fil, et que la vitesse acquise fût détruite à chaque instant par le frottement contre le plan. La courbe décrite dans l'hypothèse de Fontaine se nomme tractoire. Sa recherche est une question de Géométrie.
Clairault, Mém. de V Acad. des Se. de Pa?-ls, lySô, p. i.
EuLER, Nova Acta Acad. Peti'op.^ ^784.
