I. 2'' ÉDIT
car le second membre se réduit bien à Y].[z)=.
c{uand on y remplace x et j par leurs valeurs en z. L'équation de la surface sera donc
z = -arc tang - H- {x^ + j- — r') ^ ( .r, j) ,
ou, remplaçant <p {x^y) par sa valeur,
J arc tanii - „ ,
Si nous supposons ^ ^ o, l'équation se réduit à
arc tang'
/■ x^ + y^ ou, posant x = u cosw et y= u sinoo,
ku-
La surface représentée par cette équation est assez remarquable : les sections horizontales sont des spirales analogues à celle d'Archimède; les sections faites par des cylindres de révolution autour de l'axe des z sont des hélices^ les sections faites par des plans passant par cet axe sont des courbes hyperboliques qui ont pour asymptotes l'axe des z et la trace du plan sécant sur le plan des xj 5 la courbe de plus grande pente est représentée par l'équation
Il y a plus : quel que soit le point de l'axe des x sur lequel on place un point pesant, la trajectoire de ce point sera une hélice. C'est ce qu'on reconnaît aisément en prouvant
DYKAMIQUE. 4^ ^
que loutes les hélices de la surface vérifient l'équalioii (i), si p» = \J ■2^z .
Catalan, Journal de M. Liouville, t. XI, p. 212 j 1846.
3. Trouver V équation générale de la courhe brachistochrone pour un point pesant assujetti à se mouvoir sur une surface quelconque. Examiner en particulier le cas d^une surface de révolution autour d'un axe vertical.
Soient Taxe des z une verticale dirigée dans le sens de la pesanteur, Zq et Zi les ordonnées du point de départ et du point d'arrivée, et
Téqualion de la surface.
Le mobile partant du repos, sa vitesse est donnée par la formule
(< = — = v/2g-(2 — zo);
par conséquent l'intégrale qu'il s'agit de rendre un minimum est
ds
y/ag-
Le problème consiste dans une simple application des formules du calcul des variations.
Nommons /? et q les dérivées partielles —•, — - que l'on
lire de l'équation de la surface, et posons
dp les dérivées étant ici des dérivées partielles.
rfV dY , r/V „ d\
d.K dp dj d(j
Pour que riiitégrale soit un minimum, il faut que les ordonnées x^ y, z d'un point quelconque de la trajectoire, outre qu'elles vérifient l'équation de la surface, vérifient encore Féquation différentielle
rfNWF /... d^'\dF
dz ) dy \ dz j dx
dans laquelle -— •> ■—— représentent des dérivées totales,
(IZ ctz
prises en considérant .r, y, ^ et ^ comme des fonctions de z.
Nous avons
d^' dz
^^ \J ï -h p' H- r/- sjlg[z — z„) d q
dz ^/, +^y-'+ ^y. yaor^- — z,)
en sorte que l'équation différentielle est
d¥ dx dF , dy
^y ds^:Lg[z — s„ ) ((•'^ d.s sJq. gjz — z~)
On pourra éliminer une des coordonnées x,j h. l'aide de l'équation de la surface: alors on aura une équation différentielle du second ordre entre deux variables. L'intégrale de cette équation contiendra deux constantes arbitraires dont on disposera de manière que la courbe passe au point de départ et au point d'arrivée.
Dans le cas d'une surface de révolution autour de Taxe des s, on a
dF __ dF __
dx ' dy
par suite l'équation (i) devient
dx dy
jd' ■ — xd'
ds sj z — Zo ds \jz
Jj'intégrale première est
(2 ) ydx — xdy = ds s/z — Zo X consî.
Si l'on substitue à x et à j les coordonnées polaires r et 9, liées par les relations
il vient d'ailleurs,
ydx — xdy = r^ dB ;
ç . v'dt
par conséquent Téquation (2) peut s'écrire
C étant une constante.
Sous cette forme elle nous montre que l'aire décrite à chaque instant par la projection du rayon vecteur sur un plan horizontal est proportionnelle au carré de la vitesse du mobile.
La même équation nous fait voir que le rapport de v
à — augmente indéfiniment à mesure que \^ diminue ou
que l'on considère un point plus rapproché du point de départ. Il en résulte que toute brachistochrone sur une surface de résolution est tangente au méridien du jjoint de départ.
On a, pour toute époque,
rfôzzrC / —dt
454 MÉCANIQUE HATIOKNELLE.
Or, si le point d'arrivée est sur le méridien du point de départ, le premier membre de celte équation est nul r, d'ailleurs l'intégrale qui figure au second membre ne peut jamais être nulle, vu que tous ses éléments sont positifs; donc, dans ce cas, C = o. On en conclut que, quand le point de départ et le point d'arrivée sont situés sur un même méridien, la brachistochrone entre ces deux points n'est pas autre chose que le méridien lui-même.
L'intégrale de l'équation (2) peut toujours se ramener à une quadrature. En effet cette équation peut s'écrire
or, ci l'on pose ■"
d'où
ds= )/dz' + dr'-h- r'dQ' = \/[i -h/' (zY]dz' -h/iz}' dô\
on pourra facilement la résoudre par rapport à dO, et en tirer l'intégrale
J(Z — -So
Lorsque la surface est un cylindre, la réaction qu'elle exerce sur le mobile, étant horizontale, n'a aucune influence sur la vitesse. Il en résulte que, si l'on développe le cylindre sur un plan vertical;, la brachistochrone sur le cylindre restera brachistochrone sur le plan. Ainsi la première courbe a pour transformée une cycloïde.
Roger, Journal de M. Liouville^ t. XIII, p. 4^ j i84^-
4. Déterminer le mouvemenl cVun point pesant lancé le long d'une surface qui est de révolution autour d'un axe vertical.
Conservons la notation du problème précédent, et sui-
vons de point en point la méthode générale indiquée au commencement de cette section. Nous arriverons aux deux intégrales premières
r-'M = Cdt.
■oh
Cette dernière intégrale pouvait se prévoir ; car le mobile, considéré comme un point libre, est sollicité seulement par deux forces, l'une verticale et constante, l'autre dirigée constamment vers l'axe de révolution. Or cette dernière force, en projection horizontale, est dirigée vers un point fixe et fonction de la distance; par conséquent la projection horizontale du mobile est assujettie aux mêmes lois qu'un corps sollicité par une force centrale.
Ces intégrales, jointes à l'équation de la surface et à la
relation
dz' + dr- + r^rfô'^
''= -drr '
nous donnent une relation entre 6 et z qui détermine la trajectoire,
dz .
Il sera maintenant facile d'obtenir z, r et 9 exprimés en fonction de t par des quadratures,
EuLER, Mec/i., t. II, p. 488,
