Déterminer le centre de gravité d'un segment de cercle
Conservons la notation du problème précédent. Nous avons
r^ ces ^ d^ dr
cos a.
cos Q
ri
rdBdr
cos a
cos g
I , / cosV. , ^ ,^
TT «M I cos 9 ^9
3 V cos' e
X' " I / cos-a\ ,^
- rtM sin 9 — ces' a tang 9
- aM 9 — cos^ a tang 9
3 2 sin' a
i7^(a — sin a cos a) a a — sin a cos a
Les intégrations seront peut-être plus rapides si l'on prend les coordonnées rectilignes.
Alors
(*"■ , Ti lia
I x^a- — x'' dx — ô (^' — ^')
- ^acosa L'^ JacosK
I sja- — x"^ dx — .rya- — j:^ + fl^arcsin —
JacOSry. 2 L «JacOSK
2 sin^'a (corde)"
3 a — sinacosa 6 (rayon. arc — apothème. corde) GuLDiN, Centrobaryca, lib. l, cap. ix, p. icy.
On peut arriver à ce résultat par une simple composition de forces parallèles, en considérant le secteur dont on connaît le centre de gravité [Prob. 2) comme la somme d'un triangle et d'un segment.
4. Déterminer le centre de gravité de V aire comprise entre un arc de parabole et sa corde.
Si l'on nomme a la longueur d'une parallèle à l'axe de la parabole menée par le milieu de la corde et terminée à la courbe, on a
Archimède, 'ETTiT^i^m . . ., lib. II, prop. 8.
5. Déterminer le centre de gravité de V aire comprise entre la parabole
et une double ordonnée
Si l'on désigne par x l'abscisse qui correspond à l'ordonnée extrême, on a
m -h l[n 6. Déterminer le centre de gravité de V aire circonscrite par la courbe
G MÉCAKIQUE RATIOÎNKELLE.
On irouve
7. iJétenniner le centre de grcwilé de Vaire comprise entre une branche entière de cjcloïde et sa hase.
Si Ton prend la tangente au sommet pour axe des y, et l'axe de la courbe pour axe des x, que l'on nomme a le rayon du cercle générateur et OJ l'angle dont tourne le cercle quand il décrit l'arc compris entre l'origiiie et le point xj, la courbe est représentée par les équations
ce :=-- a{\ — cos&j),
r ^ « (w H- sin w) ;
et l'on trouve
8. Déterminer le centre de gravité de Vaire comprise entre une ellipse et Vun de ses diamètres .
Si Ton prend le diamètre donné pour axe des j-, le diamètre conjugué pour axe des .r, et qu'on représente par ia\a. longueur de ce second diamètre, on trouve
GuLuiN, Ccntrobaryca, lib. I, cap. ix, p. Ii5.
9. Déterminer le centre de gravité dUnie boucle de la lemniscate de Jacques Bernoulli.
La courbe étant représentée par l'équation
