Trouver le centre de gravité d'un segment de sphère
Soient a le rayon de la sphère, c la distance de la base du segment au centre de la sphère, et prenons ce centre pour origine des coordonnées.
Nous avons
/ x{cr—x-'-)d.x l^^a'—c-"-)
Lucas Valerius, De centro gravitatis solidorum^ lib. II, prop. 33, et lib. III, prop. 3i.
2. Déternnner le centre de gravité du solide engendré par la révolution d'un secteur de cercle autour de Vun de ses rayons extrêmes.
Soient a le rayon du cercle et |3 l'angle du secteur. Prenons le centre de cercle pour origine des coordon-
nées 5 alors
/ / r^sinQcosÔf/ec/r -7 «< 1 -sin29c?9
Jo Je. 4 Jo 2
1 r'sinQdedr -a' / sinSû?9
- « ( I + ces s 1 = V a cos^ - S. 8 ^ q- 2
- «3(1 — cosp)
Wallis, Ojjera, t. I, p. 728.
STATIQUE. ï3
3. Déterminer le centre de gravité du solide engendré par la i^éuolution de Faire comprise entre une parabole, son axe et une ordonnée perpendiculaire , autour de la tangente au sommet.
Soient
x'' = ipy
réquation de la parabole, h l'ordonnée extrême et a l'abscisse correspondante.
On a
{n'' — y^)xdx j (^a"- — y"") dj
X = = Sjip
[a'-j')dx j in
'l '—y' dy
^ \Jo.p r r = — sjo-pa = — b.
Ce problème est un cas particulier d'un problème plus général résolu par Cakré , Mesure des surfaces, p. pS.
4. Déterminer le centre de gravité dhine tranche de paraboloïde de révolution.
Soient «, h les rayons des deux bases et h leur distance. La distance du centre de gravité à la petite base, dont le rayon est «, est donnée par la formule
6. Déterminer le centre de gravité de la portion d''lryperholoïde qui est engendrée par la révolution de l hyperbole
•^'= ^ (j;'H- '2-ax)
l4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
autour de Vaxe des x, et qui esL comprise entre les deux plans X = (), X =^ c.
On trouve
- 8 flc H- 3 c^
CAaRÉ, Mesure, des surfaces, p. 97.
6. Déterminer le centre de grai'ité d'un solide cngc^ndré par Taire comprise entre une parabole, son axe et une ordonnée perpendiculaire, quand V aire tourne autour de cette ordonnée.
Si l'on représente l'ordonnée extrême pai' h^ on trouve
que la distance du centre de gravité à l'axe est égale h —^h.
CarfvÉ, Mesure des surfaces, p. go.
7. Dètcrniincr le centre de gravité de la partie d'un hjperholoïde a une nappe de révolution qui est com- ])rise entre deux plans perpendiculaires à Vaxe, dont Vun passe au centre et Vautre à V extrémité de V axe imaginaire.
Soient ih l'axe imaginaire de l'hyperbole génératrice, et x la distance du centre de gravité au centre de la courbe.
Ou
Carré, Mesure des surfaces, p. 97.
8. Déterminer le centre de gravité du solide terminé à la surface qu'engendrent les deux paraboles
en tournant autour de Vaxe des x.
On trouve
STATIQUE. l5
SECTION IV
