Déterminer le centre de gravité de la portion du cône
qui est comprise entre les plans des zx, des xy et un troisième plan parallèle à celui des yz.
Soit a la dislance de ce troisième plan à l'origine. Nous avons
I X sj^'x- — j' dx dy I .r . y 77 [i- x^ dx
pa pi3x ^ T'' I
/ I V^p^JC- — j'' ilxdf I jTp'.r-dx
i/o Jo iJ o "^
1 ft. , 4
ta rt iix
j I y\/^'^x:'—j'dxdr / -^^x^d.r
'o i o Jo
\/ S' x'^ — J ^ d.r dy — t: p' a^
l6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
On trouve pareillement
2. Sur une même base circulaire on place une demisphère et un paraholoïde de révolution dont le paramètre est égal au rayon de la sphère; déterminer le centre de grai^ité du solide compris entre la sphère, le paraholoïde et un plan mené par Vaxe de cette surface.
Soient
et
jr =0
les équations de la sphère, du paraholoïde et du plan. Si l'on pose
et
on a
/a rtj' r>z r>a n>y' pz
I I jdxdjdz I I j 2c?a:^jc?j;
-ado J s' — J — aJo *J z'
^ pa r>y' r> z r* a ç-J /t z
j i l dxdjdz j II dxdydz
J — aJo J z' J — aJo J z'
et
Or
f dxdydz— I j {z~z')da:dr
/ / jd.vdjdz z=z j y[z — z') dxdy
i- — a J o J z' tJ — a t- O
iÔtt — 16 ,
r f j zd.T dy dz = - f r (z^ — z'^) dx dy et , d'après ces calculs ,
— I o TT — 16 - I
'20 rr 2
3. Soient trois axes rectangulaires OX, OY, OZ. On trace dans le plan ZX une droite AC, et dans le plan XY une parallèle BD à l'axe des x\ une droite QR glisse sur AG et BD en restant toujours parallèle au plan YZ. Trouver le centre de gravité du solide compris entre les I. 2" ÉDiT. 2
l8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
trois plans XY, YZ, ZX et la surface engendrée par la
droite mobile.
Fig. I.
Soient 0A = t7, OB =: Z», OC = c, et o-, j, z les coordonnées d'un point P de la droite mobile E.Q. On voit aisément que
PN = z = c
dès 1
ors
I X [a — ^){b — y)tlxdj 1 ^3 0 ^''o (Si
x) [b — y) (ix dy
et, d'après la symétrie de la figure, j^ = - ^
- ^S {a-xY{b-y^
dxdy
-aK~b^ c 3 3 2C
Jo t/O
4. Trouver le centre de gravité du solide compris entre la sphère
et les trois plans coordonnés .
On trouve
5. Trouver le centre de gravité du solide compris entre le paraboloïde
r' H- z^ = ipx
et les plans x ■= a^j ^ o, z = o.
Si l'on représente par b le rayon du cercle suivant lequel le paraboloïde est coupé par le plan x = a, on
trouve
6. Trouver le centre de gravité du solide compris entre le paraboloïde
z" = XJ,
les plans coordonnés et les plans x-=a^y ^= b.
On trouve
