TJnjil ACB inextensible et sans poids, de longueur
donnée, est attaché par ses extrémités à deux points jixes A, B. Un autre fil inextensible et --y^ sans poids est attaché au point B , passe dans un très-petit anneau pesant C, qui est lui-même enfilé dans le premier fil ACB, et porte à son extrémité inférieure un poids P.
Déterminer la position d'équilibre d'un tel système.
Soient A, B, C les angles et a, &, c les côtés du triangle ABC, ip son périmètre, a l'angle que fait AB au-dessus de l'horizontale, [i le poids de l'anneau C.
D'après les formules bien connues qui donnent les angles d'un triansrle en fonction de ses côtés, on a
tane — tang -
STATIQUE, 5l
Pour exprimer que les forces appliquées au point C se font équilibre, il suffit d'écrire que leurs projections horizontales et verticales se détruisent séparément. Il vient, en nommant t la tension du fil ACB,
et
(P + c')cos(a + B) =: ,'cos(A — a)
(P -V- r)sin(a + B) H- rsin(A — a) = P -{- p..
De la première de ces équations on tire la valeur de Z, on la reporte dans la seconde-, alors celte dernière, en ayant égard à la relation (i), peut se mettre sous la forme
taniT - — t ne; — *= 2 *= 2
Pc— 'v^
ifP
yj (P -4- p.) cos a
On connaît le produit et la différence de tang— et tang -j
on sait trouver ces quantités à l'aide d'une équation du deuxième degré.
Quand on néglige le poids p. de l'anneau, on trouve
A p — c i -\r sin a
tang — = — 5
2 p cos K
taniî —
î — sin a
-i. Toutes les molécules d'une demi- sphère solide et Fig. 5. homogène sont douées d'un pouvoir at-
tractij en raison inverse du carré de la distance. En quel lien de Vaxe de ce corps jaut-il placer un point matériel pour qu'il reste en équilibre sous V action des forces attractives ?
Soient CA l'axe de la demi-sphère, DCD' im diamètre de la base, O la position cherchée du point matériel, DAD' l'intersection de la surface de la demi-sphère par le plan des droites CA,
DCD'; traçons la droite BOB' perpendiculaire à CA. D'un point M pris sur l'arc BA abaissons la perpendiculaire MP sur l'axe, et d'un point m pris sur l'arc BD abaissons de même la perpendiculaire inp. Posons
CA = « = CD, CO = c, 0B = 6, OJ}:^b', OM = /■, OP = X, MP = r, Om — r', Ojj=z x' , mp = r';
nommons p. l'attraction de l'unité de masse à l'unité de distance, et o la densité de la sphère.
Ceci posé, l'attraction exercée sur le point O par une tranche MPM' perpendiculaire à l'axe et d'épaisseur dx est dirigée suivant OA, et a pour expression
S.T^iJ-pdx j — '■ z= 0,7: upxdx s ■ ■ dj-
= 2 TTpp ( I — — \ dx;
par conséquent, l'attraction X du segment de sphère OBAB' est dirigée suivant OA, et est égale à
1 Tï^p ï f I \ dx^=. 7. Tzy.p ia — c — j - dx ) '
De même, l'attraction X' de la tranche CDBOB'D' est dirigée suivant OC, et a pour valeur
27rpp/c— j '^^^^'j-
Or la Géométrie nous donne la relation
r-z=x^-\-{n-\-.T-\-c)(a — ,r — c) = b- — 2 ex,
dr;
d'où l'on tire
cdx = — rdr,
ou
xdx b^—r^
r ic'^
par conséquent,
X ^ 2 7r|/p fl — c -i I [b- — 7'^)dr \'
On trouve pareillement
r'*^ ù- + 2C".r', x'dx' b'~r"
dr'
OU, ce qui est la même cliose,
X'=2:rfzpj^c+^^y {b^-r-)dr •
La condition d'équilibre
X=X' peut donc s'écrire
a — 2c= — ■ / ib' — r')dr
= ~ b^b'+c -a)-{- ~[(a—cY—b''].
ic' oc- " ^
Eliminant b et b' par les relations
b'^^a^-^c'^ et b'-=^ a- -T- c'"-,
il vient d'abord
(i) a^ — 4^' = (^^ — ■2c-)\Ja''-h C;
puis, en élevant au carré,
I2C' — 8fl'c + Sfl!'' = O.
Cette équation détermine c. Elle n'a que deux racines
54 MÉCANIQUE EATIOK?<ELLE.
réelles, toutes deux positives. L'une d'elles est à peu près
égale à -a. Celte racine est étrangère au problème, elle
a été introduite en élevant au carré l'équation (i) -, car si on la reporte dans cette équation, elle ne la vérifie qu'à la condition c^u'on prendra le radical , c'est-à-dire b', avec le signe — . L'autre racine est approximativement
c'est elle qui résout le problème.
Diarian Repository, p. &'}.^.
5. La plus grande attraction quiine masse homogène de figure quelconque puisse exercer, suiua?it la loi de la grqvitalioTi universelle, sur un point placé comme l on "Voudra^ est à V attraction que la même masse, réduite en sphère homogène et de même volume, exercerait sur un point placé à sa surface, dans le rapport deZ à y 23.
Le corps de plus grande attraction, sous une masse et un volume donnés, jouit de cette propriété, c|ue les molécules situées à sa surface exercent des attractions égales suivant la direction do la résultante. En eflet, considérons un corps homogène dont toutes les molécules situées à la surface exercent des attractions égales. Si nous déplaçons une de ses molécules, ce ne peut être qu'une molécule de la surface, autrement nous changerions la densité; et cette molécule ne peut être placée qu'à l'extérieur. Or je dis que toute molécule située à l'extérieur attire moins qu'une molécule placée sur la surface primitive.
Prenons le point attiré pour origine de coordonnées polaires, dont l'axe coïncidera avec la direction de l'attraction résultante, et nommons A une constante. La sur-
face d'égale altraclioii aura son équation de la forme
(r\ cos9 I
et il est clair que pour tout point extérieur ou aura
CCS 9 I
c'est-à-dire que l'attraction sera moindre que pour un point de la surface.
De là il résulte que nous pouvons prendre l'équation (C) pour représenter la surface du corps de plus grande attraction, sous une masse et un volume donnés. Nous supposerons la densité du corps égale à l'unité, et nous prendrons pour unité de force l'attraction de l'unité de masse à l'unité de distance.
D'après cela, le volume du corps est
iTv j I r-sïn9d0dr =1^ TV i /"sinô Jo t/O ^ Jo
dB
^ Jo et l'attraction qu'il exerce a pour valeur
sin9cos9<^9f7/--Tn; o.ttA f cos^9sin9r/9 =: -r; tt A.
Le rayon R de la sphère, qui a même volume et même masse, doit vérifier l'équation
57rR3=-^7rA^'; 3 i5
d'où
5t> MÉCANIQUE RATIOK3SELLE.
On eu conclut que l'attraction de cette splière sur un point placé à sa surface est égale à
par conséquent, le rapport de l'attraction du premier corps à celle de la sphère a pour expression
4!lA J/25 3 ^5
Ce rapport diffère peu de l'unité. Il s'ensuit que l'attraction newtonienne ne suffit pas pour expliquer l'adhérence des molécules dans un corps solide. Il faut nécessairement admettre des forces moléculaires qui agissent avec une intensité beaucoup plus grande à de petites distances.
Le solide qui à égalité de volume exerce la plus grande attraction sur un point matériel est à peu près semblable à un œuf, dont le sommet le plus allongé serait au point attiré. La longueur de l'axe étant A, la plus grande ordonnée de la courbe méridienne est
son abscisse ou sa distance au sommet est
v'ïay/J^
Marquis de Saint- Jacques , Mémoires des Savants étrangers, t. I, p. lyS; l'jSo.
Gauss, Principia generalia theoriœ figurce fliùdorum in statu œquilibrii; Gœttingue, i83o.
