Démontrer la proposition suivante
Si l'on admet que l'attraction de la matière ne dépend que de la distance^ la seule loi d^ attraction , suivant laquelle une couche sphérique homogène n'exerce aucune action sur un point intérieur,' est celle de l'attraction en raison inverse du carré de la distance ; mais si Von suppose que V attraction dépend à la fois de la distance et du rayon de la couche sphérique, il est une infinité de lois diaprés lesquelles la couche n'exerce aucune action sur le point intérieur.
Soient r le rayon intérieur de la couche;
dr l'épaisseur infiniment petite de cette couche;
a la distance d'un élément E de cette couche au point attiré M;
c la distance du centre O au point M;
Q l'angle que le rayon OE fait avec la direction OM;
(ç l'angle que la droite ME fait avec la même direction:
et jf («,/■) l'attraction de l'unité de volume située sur la couche à la distance u du point attiré.
La direction de l'attraction résultante coïncide évidemment avec la droite MO, et la valeur de cette résultante est
R ■= 27r r'' dr j cos(fsm9f[u, r) d9.
Or
on a
sin9
sm©
sin (9
sin(j)
dilïérentiant ces équations par rapport à w, c et cp, il
vient
du COSçp == --J
de
et si l'on observe que
du, de'
car rest une constante, on verra aisément que l'attraction résultante peut se mettre sous la forme
R = 27ir'dr~- j \s\nQ /{il, r)du\dQ.
Nous pouvons exprimer la variable 6 en fonction de la variable u : ces variables sont unies parla relation
u- = c- -{- r- — 2 er ces 9 ; d'où
smB dO = —du.
cr
Posons, pour abréger, (i) ff{u,r)du=zF{a,r),
(2) j uF{u,7-)duzr=I^[u,r),
et observons qu'aux limites 6=0, 6 = 7: correspondent les limites u = r — c, z* = r + c ; alors il vient
[3) R =: l'Krdr. —
de
■F[r-\-e,r)-F[r-e,ry.
Pour que l'attraction R. soit nulle, il faut que la quantité
soit indépendante de c 5 nous pourrons donc poser
F[r-^ c, r) — F{r — c, r) = cy [r),
STATIQUE. 5q
cf (r) étant une quantité indépendante de c. On en conclut, par une double différenliation relative à c,
Maintenant, il nous faut distinguer deux hypothèses. Admettons d'abord que la loi dePattraction soit indépendante du rayon delà couche; alors ^"(«5 r) se réduit à J^{u), et l'équation précédente devient
Ici r et c sont quelconques ; il en est de même de leur somme r-h c et de leur dilï'crence r — c; d'ailleurs
F:{r-c)=F:.LA'--c]i
par conséquent, la dérivée seconde i^" (if) est indépendante de n, et la dérivée troisième F'" [u) est nulle. Or, d'après l'équation (2), on a
F' (u) = hF(«),
(5) i^"(«) = F(M) + «¥'(«), F"'{u)=:^¥'[u)-i-uF"{u),
et, si l'on a égard à l'équation (i),
Ainsi la fonction /"(«), qui représente la loi de l'attraction., doit vérifier l'équation
U''/' («) 4- 2.llf[u) =: O,
laquelle donne, par intégration,
ll^fi^u) r= CODSt :=: A,
c'est la loi de la nature.
6o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
7. Passons à la seconde hypothèse, où l'on suppose que la loi de rattraction dépend du rayon de la couche.
Dans l'équation (4), le rayon r ne peut être considéi^é comme une quantité arbitraire*, par conséquent, on ne peut se donner à volonté qu'une seule des quantités ;'+ c, ;■ — c. Nous prendrons
r -\- c = u, d'où 7-— c=^2r — u, Alors l'équation (4) nous donne
ou, d'après la formule (5), jointe à l'équation (i),
F (//, 7-) + ii/(u, r) — F (2r — a, r] — (a r — u)f[^r— a, r)z=o.
Difïérentions par rapport à m, il vient
Cette équation nous montre que la fonction y(u, r) est assujettie à cette seule condition, que la quantité
change de signe et non de valeur, lorsque l'on y change u en 2 7' — w, cela revient à dire que la quantité dont il s'agit est l'ordonnée correspondante à l'abscisse u, dans une courbe qui a pour centre le point de l'axe des abscisses correspondant k ii= r.
Soit
l'ordonnée d'une courbe qui jouit de cette propriété. On pourra poser
2u/{u, r) H- «=/; {u,r)=: K(p [u, r) ; alors
STATIQtE. 6l
représentera une loi d'altraclion pour laquelle une couche sphérique de rayon ;■ n'exercera aucune attraction sur un point intérieur.
Prenons, par exemple,
j = «(/• — «), a désignant une constante.
Nous aurons
f[ii,r)z= a ( 7/' — ô"
La première partie du théorème qui précède est de Laplace [Mécanique céleste^ liv. II, chap. 11) 5 la seconde partie, relative à une loi d'attraction qui dépend du rayon de la couche, a été remarquée par M. Bertrand dans son Cours au Collège de France.
8. Trouver toutes les lois (V attraction qui ne dépendent que de la distance, et suii^ant lesquelles une couche sphérique homogène attire un point extérieur comme si elle était tout entière condensée en son centre.
Si nous conservons la notation du théorème précédentl'équation (3) de ce théorème nous donne, dans le cas actuel ,
iT.rdr
de
d'où l'on tire
■.[^T.r^-drf[c),
F[c H- r) — F[c — r) =:: irc l / [c) de -!- co [r),
(p (/•) étant une quantité indépendante de c.
Dans cette dernière équation, les dérivées secondes du premier membre par rapport à c et par rapport à /• sont évidemment égales-, nous pouvons donc égaler entre elles
62 MÉCANIQUE RATIOK WELLE
les dérivées secondes du deuxième membre ; il vient alors
c de 2r dr"^
Le premier membre de cette équation est indépendant de 7", le second est indépendant de c\ il faut donc que chacun des deux membres soit une constante : nous nommerons celte constante 3 A; en sorte que
-xfic) df{c]
de
Intégrons, et nommons B une nouvelle constante 5 il viendra, en remplaçant c par u,
Telle est la forme des lois d'attraction suivant lesquelles une couche sphérique attire un point extérieur comme si elle était condensée en son centre. On voit que, parmi les lois d'attraction cpii jouissent de cette propriété, la loi de la nature est la seule d'après laquelle l'attraction soit peu considérable à de grandes distances.
Laplace, Mécanique céleste, liv. II, chap. 11.
9. Un fil très-mince AOB, soutenu par ses deux extrémités, porte par V intermédiaire d'un anneau O un poids précisément égal à la plus grande tension que le fil puisse supporter sans se rompre. On demande quelle est la limite que V angle AOB ne peut dépasser quand on ou^re de plus en plus cet angle en écartant les extrémités du fil. On lîégligera le poids du fil et celui de l'anneau.
il est aisé de reconnaître que le fil se brisera dès que l'angle AOB dépassera 120 degrés 5 car la tension du fil atteint sa limite quand le triangle formé par des parai-
lèles aux trois forces qui sollicitent le point O devient équilatéral.
10. TJn poids P est maintenu en équilibre sur un Fig.7 . plan incliné BA par V action
p de trois forces égales à -1 et
dirigées, Vune en sens con^ traire de la pesanteur^ Vautre dans la direction AB, la troisième suivant Fliorizontale AC. Quelle est l'inclinaison du plan B A sur V horizon P
Cette inclinaison est é^ale à aarctanq--
il. Deux forces domiées F, F', respectii^ement parallèles à la base et à la longueur dhin plan incliné, sollicitent alternativement une même molécule pesante posée sur ce plan. Quel doit être le poids P de cette molécule pour qu elle reste en repos?
On trouve
