I. 2* ÉDIT. O
Il4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
loiigueurs des tiges -, h, Z>', h" les longueurs des segments AB'', A'B, A"B'5 x. x', x" les pressions qui s'exercent aux points B, B', B''.
Considérons la tige AB. Au point B agit le poids P provenant de la pesanteur de la tige, le poids Q et le poids produit par la pression x" agissant sur le levier AB''B 5
ce dernier poids est égal à-.x'^ Nous avons donc
P + Q + - x" = x, et de même, par permutation circulaire,
a En posant, pour abréger,
les équations précédentes nous donnent
hh'b"\ ^ bb" , b^„
I ^-j; Kr = R + — ^, R' H- - R",
na a
bb' b" na'a" bb'b"
aa
a a a Si a=z a' ^ cJ' et Z> = Z?' = b", il vient
a R^'^R."fl/; ^- R'^»'
et, siR = R' = R",
STATIQUE. Il5
Bien des enfants savent que trois couteaux de table à laine un peu flexible peuvent en réalisant cet assemblage supporter un poids assez considérable.
2. Entre deux plans inclinés on place deux sphères liomogènes, de telle manière qa elles s^ appuient Vune contre Vautre, et que chacune d'elles touche Vun des plans. Déterminer la position d'équilibre.
On voit d'abord que l'intersection des deux plans doit être horizontale, et que la ligne des centres doit être perpendiculaire à cette intersection. Le problème sera donc résolu, si nous déterminons l'angle Q que la ligne des centres fait avec l'horizon.
Soient R la réaction mutuelle des deux sphères, P et P' les poids de ces sphères, a et aJ les angles aigus que les 'deux plans forment avec l'horizon 5 admettons que l'angle a se rapporte au plan qui touche la sphère P, dont le centre est le moins élevé. Par les points de contact entre les plans et les sphères, abaissons des perpendiculaires sur l'intersection des deux plans, et pïojetons sur ces deux droites les forces qui sollicitent chacun des deux corps. Il vient
R cos(a H- 6) :^ P sina, Rcos(a'— S) = P'sina';
d'où l'on tire, par l'élimination de R,
P' tantfa' — P taniïa
° ~ (P' H- P) tanga' tanga*
3. Trois sphères homogènes sont placées dans V intérieur d'une sphère creuse, de telle sorte que les quatre centres soient dans un même plan vertical. Déterminer la position des trois premières sphères^ lorsqu'elles sont en équilibre.
Soient C le centre de la sphère creuse, c, c', c" ceux
Il6 MÉCANIQUE RATIOKKELLE.
des trois autres sphères, P, P', P" les poids de ces sphères, d, d\ d" les distances de leurs centres à celui de la sphère creuse, 0 l'angle que Ce' forme avec l'horizon, o>. l'angle cCc', a" l'angle c"Qc' . Admettons que les lettres c', d' se rapportent à la sphère qui est touchée par les deux autres, et que la verticale du point C passe entre les points c, c' .
Nous pouvons considérer l'ensemble des trois sphères intérieures comme ne formant qu'un seul corps solide; car ce corps sera en équilibre, si chacune des trois sphères est séparément en équilibre. Prenons par rapport au point C les moments des forces qui sollicitent ce corps composé. Il vient
Prfcos(e +a) + P'J'cosG -4-P'V'cos(0— y.") = o;
d'où
P^cosa + V'cV + V"d" cosc,:'
*^°^ "" Pr/sina — P^r'sina"
Cette relation suffit pour déterminer la position d'équilibre, car toutes les quantités qui entrent dans le second membre s'expriment aisément en fonctioai des rayons des sphères, lesquels sont connus.
4. Deux barres pesantes et homogènes reposent leurs extrémités inférieures sur un même plan horizontal, et appuient leurs extrémités supérieures Vune contre Vautre. On admet que la petite surface de contact entre les deux extrémités est dans un plan 'vertical., et que les extrémités inférieures ne peuvent glisser sur le plan qui les supporte. Déterminer la position d^ équilibre.
Soient P, P' les poids des deux barres, 0, ô' leurs inclinaisons à l'horizon, et K leur réaction mutuelle, qui est horizontale.
Si l'on prend les moments des forces qui sollicitent
chaque barre, autour de rextrémité inférieure, il vient
P cos9 = 2Rsin9,
P'cos9'=:2Rsin9';
d'où
P tang9
P' ~~ tang9'*
Franchini, Memorie délia Socictà italiana,
t. XVI, part. I, p. 237; 181 3.
5. Deux cylindres sont liés Vun contre Vautre par un fil inextensible . Déterminer le rapport de la tension du fil à la réaction mutuelle des deux cylindres.
Considérons la section faite parle plan qui contient le fil et qui est perpendiculaire aux cylindr-es.
Soient ia l'angle au centre sous-tendu par l'arc que le fil recouvre sur le plus petit des cercles de section, /' et /■' les rayons de ces deux cercles, T la tension du fil, et R la réaction mutuelle des deux cylindres.
Si nous projetons sur la ligne des centres les forces qui sollicitent l'un des cylindres, il vient
R =: T / cosa^a = 2T sina;
d'ailleurs, si l'on suppose r~^ /•', la Géométrie nous donne
' rr
ces a
r-K r' par conséquent,
6. Deux fils inextensibles sont attachés en un même point fixe-, Vun supporte ujie sphère^ Vautre soutiejit un poids qui pend au-dessous de la sphère sans la
Il8 MÉCANIQUE KATIOKKELLE.
Loucher. Déterminer V angle que le premier fd fait avec la verticale.
Soient P le poids que soutient le second fil, Q — P le poids de la sphère, a le rayon de la sphère, et h la distance du centre au point de suspension.
7. Une tige rigide et sans poids ACB est liée à deux points fixes A, C, -et porte un poids P à son extrémité B. Déterminer les pressions exercées sur les deux points fixes.
Soient a la longueur de la barre, a son inclinaison sur
la verticale, h la distance AG des deux points d'attache,
F et G les pressions parallèles à la barre qui sont exercées
sur les points A et G, R et S les pressions perpendiculaires
à la barre qui sont exercées sur les mêmes points.
On trouve
FH-G = Pcosa,
S = -7 P sin a, R = — - — P sm a. b b
L'une des pressions F, G est arbitraire.
8. TJn cylindre creux y très-mince^ de rajon r', ouvsrt à ses deux extrémités, est posé debout sur un plan horizontal. On place dans l'intérieur deux sphères égales, dont on connaît le poids P, et le rayon r plus grand
r> que — • Quel doit être au inoins le poids du cylindre pour
que celui-ci reste debout après V introduction des sphères? Le poids du cylindre doit être égal ou supérieur à
