Deux sphèi^es inégales sont suspendues aux deux
extrémités d'un fil très-mince, engagé dans un petit anneau. On conçoit que les deux sphères puissent être en équilibre, si elles se touchent, et que le centre de la plus légère soit plus bas que celui de la plus pesante. Prouver que dans cet état d^ équilibre les distances des centres des sphères à Vanneau de suspension sont en liaison irn^erse des poids de celles-ci. On néglige le poids du fil, son frottement sur V anneau, et le frottement des sphères entre elles.
SECTION IL
ÉQUILIBRE AVEC FROTTEMENT
1. On place une sphère pesante et homogène dans r intérieur d\in angle dièdre, dont V arête est horizontale, et qui est formé par deux lames égales et rectangulaires, libres de tourner autour de V arête commune. Les bords extrêmes des deux lames sont réunis par un fil dont 07i augmente graduellement la tension. Déterminer la 'valeur qua cette tension lorsque la sphère commence à prendre un mouvement ascendant.
Admettons, pour plus de simplicité^, que les deux lames soient homogènes -, nommons Q le poids de cliacune d'elles, la. leur inclinaison mutuelle, ia la longueur de leurs côtés inclinés, R, R' et F, F' les pressions normales et les frottements qu'elles exercent sur la sphère, [i, p.' les coefficients de frottement, P le poids de la sphère, r son rayon, et T la tension du fil.
Lorsque le système est en équilibre, son centre de gravité est situé dans le plan vertical qui contient Farete fixe-, d'où il suit que les deux lames font des angles égaux avec l'horizon. De plus, la symétrie du système montre
que l'on a
R' = R et F' = F.
lUO MÉCANIQUE UATIONKELLE.
Ceci posé, projetons sur la verticale les forces qui sollicitent la sphère, et prenons autour de l'arête fixe les moments des forces qui sollicitent la première lame. Il
vient
2 F ces a -+- P = 2Rsina,
Rrcota + QasinK=2T« ces a .
La sphère ne peut prendre un mouvem.ent ascendant sans glisser sur l'une des lames; par conséquent, elle commencera à monter lorsque le frottement F sera devenu égal à la plus petite des quantités p.R, p/R', Supposons que [j. soit inférieur à p/ -, alors la sphère commencera par glisser sur la première lame, à laquelle se rapporte le coefficient p., et elle roulera sur l'autre face du dièdre. A cet instant on aura, d'après les équations précédentes,
2 (sma — /y- cosaj
Vr I
Qtanga,
4«:sina(sin« — (xcosa) 2 ou, si l'on pose p. = tange ,
P cosï „ Preoss I ^
R=:— r— :, T^j : ^. ^.+-QUnga.
2sm(a — £j l[.a su\xs\n[cc — s) 2
2. Deux roues égales O, O', situées dans un même plan "Vertical, sont posées sur un plan incliné^ leurs axes sont réunis par une barre homogène, qui porte en son milieu un poids Q 5 V une des roues O est enrayée^ Vautre est libre. Quelle est la plus grande inclinaison du plan qui soit compatible avec V équilibre du chariot?
Soient rie rayon des roues, P leur poids, aa la longueur de la barre qui unit les axes, q le poids de cette barre, X et Y les composantes de la réaction de la roue libre sur la barre estimées suivant une parallèle et suivant
une perpendiculaire au plan incliné, E. et R' les réactions normales du plan sur les deux roues O et O', <p 1 inclinaison du plan, (j. le coefficient de frottement entre le plan et la roue O .
Considérons l'ensemble de la barre et de la roue enrayée, comme ne formant qu'un seul corps •, et supposons que ce corps soit sur le point de glisser. Si nous projetons les forces qui le sollicitent, d'abord sur une perpendiculaire au plan incliné, puis sur une parallèle, et que nous prenions leurs moments par rapport à l'axe de la roue, il vient
R + Y = (P + Q + <7)coscp, -fAR— X = (P-^ Q + -7)sin(f, (xRrH-2aY = (Q-l-^) acoso.
Prenons maintenant les moments des forces qui sollicitent la roue libre, par rapport à son point de contact avec le plan , Nous trouvons
X/- := P/"sincp.
L'élimination des quantités X, Y, R, entre les quatre équations qui précèdent, nous donne la tangente de l'inclinaison cliercbée
tangcp
3. Deux harres égales AC, BC sont réunies en C par une charnière sans frottement,, et leurs extrémités inférieures reposent sur un plan horizontal. On connaît par observation la plus grande valeur (3 de V angle ACB qui soit compatible avec V équilibre., et Von 'veut avoir le coefficient de frottement entre les extrémités injérieures et le plan .
Ce coefficient de frottement est égal à - tang -•
122 MÉCANIQUE RÂTIOjNKELLE.
4. L' ar causeur- cale , imaginé par M. Blotin pour empêcher le recul des voitures, se compose d'une tige en fer OM mobile autour d'un are horizontal O, qui est solidement implanté dans le châssis de la ^voiture, audessus de la roue. V extrémité M de la tige est pliée horizontalement en forme de crochet.
Quand on 'veut se servir de cet appareil, on laisse tomber la tige en arnere de la roue^ le crochet s arrête contre la jante un peu plus bas que V essieu, et la presse par V effet de la pesanteur, à la manière d'un léger frein .
^ quelle condition doit satisfaire cet appareil pour que le frottement du crochet sur la jante s'' oppose à tout moui^ement rétrograde de la roue?
Soient C le centre de la roue, OA une perpendiculaire à MC, p. le coefficient de frottement au départ entre la roue et le crocbet, R la pression normale de la roue sur le crochet.
Supposons la roue immobile, et imaginons qu'on exerce sur elle un effort tendant à la faire rétrograder dans le sens de la flèche. La tige reste en équilibre sous l'action de son poids, de la pression R dirigée dans le sens du rayon CM, et d'une résistance au frottement dirigée suivant la tangente au cercle dans la direction MF.
Nous représenterons par Pa le moment du poids de la tige relatif à l'axe O, et par jui'R la résistance au frottement, p.' sera une quantité positive, croissant avec l'effort exercé, toujours inférieure ou égale à fz. L'équation des moments relatifs au point O est
Pfl + p/R.MÂ — R.ÔÂ = o.
On en tire
OA — p.' MA
D'après cette formule on voit que la pression R augmente en même temps que [x' avec l'effort exercé pour imprimer à la roue un mouvement rétrograde, et devient infinie quand
