Polygone funiculaire . — Soient

MoMjMa... M„i M„ un polygone funiculaire en équilibre 5

Pi, Po,..., P„i les forces appliquées aux sommets Mj,

Ti,T2,...,T„ les tensions des cordons MoMi, MjMa,..., M„iM„.

On peut supposer le polygone solidifié, et l'équilibre ne cessera pas d'avoir lieu. Or l'équilibre d^un corps solide exige que les projections des forces sur une direction quelconque fassent une somme nulle 5 donc les projections des forces P et des tensions extrêmes Tj, T„ sur une direction quelconque font une somme nulle. Par suite, si l'on trace, à partir d'un point arbitraire, des droites consécutives parallèles et proportionnelles aux forces Ti, Pi, P2,..., P„i, T„, ces droites formeront un polygone ferçtié.

Ce que nous disons pour le polygone funiculaire entier s'applique à une portion quelconque de ce polygone. Il en résulte que les diagonales du polygone des forces qui joignent le sommet (Tj, T„) aux sommets successifs {Pi, P2), (P2, P3),..., (P„2, P»~i), sont parallèles aux cordons M1M2, M2M3,. . -, M„2M„i et proportionnelles à leurs tensions T2, T3, . . . , T„i.

6. Ponts suspendus . — Appliquons ce théorème au polygone formé par chacune des chaînes d'un pont suspendu. Considérons la portion de la chaîne qui est com-

(*) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, i73i, p. 6g.

STATIQUE. l3l

prise entre deux sommets M,,, M„, situés à la même Fig. 24. tauteur, mais d'ailleurs

quelconques, et faisons abstraction du poids de la chaîne. Les forces P sont toutes verticales ; par suite, le polygone est plan 5 ces forces agissent à égales distances-, de plus, elles sont égales entre elles, sinon le tablier tendrait à se courber.

D'après cela, portons sur une droite veHicale MqA„ des longueurs égales Mo A^, Aj A2, eîc, eji même nombre que les côtés du poljgone considéré ; des extrémités Mq, A„ de r ensemble de ces longueurs, menons deux parallèles aux côtés extrêmes, et joignojis Fintersection M^ de ces deux lignes aux points de division Aj, A2, etc. Les lignes MqMi, Ai JMj, A2M1, etc., seront parallèles aux chaînons successifs^ proportionnelles à leurs ten^ siens, et aussi proportionnelles à leurs longueurs i*).

Quand on se propose de construire un pont suspendu, on ne se donne pas à pj'iori l'angle de l'un des chaînons MqMi avec la verticale; mais plutôt on choisit convenablement la hauteur de l'extrémité M^ au-dessus du chaînon horizontal M3M4. Dans ce cas, pour trouver la direction du chaînon MoMj, on observe que ce chaînon et le chaînon horizontal supportent en définitive la moitié d'une portion du tablier dont les extrémités dépassent de quantités égales les projections des sommets Mi, M3 ; d'où il suit que les directions M^ M^, M4M3 doivent se couper sur la verticale du centre de gravité de cette portion du

(*) Lamé et Clapeyuon, Journal des voies de communication ; Saint-Pétersbourg, 1827, n° 6.

l32 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

tablier, c'est-à-dire à égale distance des verticales des sommets Ml, M3. Dès lors, ces verticales étant connues, on a deux points de la direction cherchée MqMi. Pour tracer le polygone, il ne reste plus qu'à placer bout à bout, à la suite de la ligne M^Mi, des droites égales et parallèles aux obliques AjMi, AgMi, etc.

Soient a la longueur d'un chaînon en projection horizontale, h la longueur M^ Aj ou la différence entre les projections verticales de deux chaînons consécutifs, et O le milieu du chaînon horizontal. Prenons la verticale OX pour axe des x et l'horizontale 0A„ pour axe des j^.

Les coordonnées du point M3 sont

celles du point Ma sont

.rrzr ô, r = — \- a; celles du point Mj,

celles du point M,,,

et généralement celles du n'^'"* sommet à partir du chaînon horizontal sont

Éliminant n entre ces deux équations, il vient

C'est l'équation d'une parabole.

STATIQUE. ï33

Les sommets du polygone formé par les chaînes sont donc sur une même parabole dont l'axe est vertical et

dont le paramètre est égal à y

On peut observer que tous les chaînons sont tangents en leur point milieu à une même parabole égale à la première. [Foirchap. V, sect. ii, prob. 10.)

7. Quatre barres AB, BC, CBi, BjAj sont articulées entre elles aux points B, C, Bj situés dans le plan vertical de la figure. De plus, elles sont reliées par les tirants AC, BBi , CAj 5 et tout le système repose par les extrémités A, Aj sur un plan horizontal. Les pièces AB et BC ont respectivement les poids P ef Q également répartis sur leur longueur ; tout est symétrique de part et d'autre de la 'verticale CD; on néglige le poids des tirants.

Calculer les tensions m, n des tirants AC, BBj et les pressions p et q qui s exercent aux articulations B et C.

Soit BG une perpendiculaire sur AC, et x l'inclinaison de la pression p sur Thorizontale.

On trouve