ÉQUILIBRE D'UN FIL FLEXIBLE

Galilée (*) chercha le premier à déLerminer la forme qu'affecte un fil flexible et pesant, lorsqu'il est soutenu par ses extrém.ités. Il crut pouvoir annoncer que la courbe est une parabole; c'est qu'en effet, dans le voisinage du point le plus bas, la courbure du fil ressemble à celle d'une parabole. La méprise de Galilée ne tarda pas à être signalée. Joacbim Jungius [**) fit d'abord des expériences qui mirent en relief l'erreur du célèbre physicien; puis Jacques Bernoulli (***) traita la question par l'analyse avec un entier succès. Ce dernier porta le défi aux géomètres de son temps de résoudre le problème de la chaînette^ c'est ainsi qu'il nommait la courbe décrite par le fil. Trois des concurrents trouvèrent la solution : ce furent Jean Bernoulli, Leibnitz et Huyghens ; Jacques Bernoulli prouva de son côté qu'il avait lui-même résolu la question. Ces solutions furent données sans calculs dans les Acta eradito- /•U7n pour l'année 1691 (juin, p. 2^3-282). La première démonstration ne parut que six ans plus tard dans les Philosophical Transactions; elle est de David Gregory.

Après avoir discuté la forme de la chaînette décrite par un fil homogène et d'épaisseur constante, Jacques Bernoulli (*■*'■''*) dirigea ses efforts sur des cas plus compli-

ce) Mechanica, dialogo II, p. jji, ,

(**) Geonieirica enipirica.

(***) Acta eruditorum ; Lips., 1690; mai, p. 217. — Opéra, t. I, p. 424-

C****) Acta eruditorum, Lips., i6gi ; juin, p. 28g. — Opéra, t. I, p. 449»

l36 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

qués. Il se donna à volonté la loi suivant laquelle varie l'épaisseur d'un fil, et détermina la courbe décrite par ce fil ; réciproquement, il se donna la courLe, et chercha la loi suivant laquelle varie l'épaisseur; puis il considéra un fil pesant et extensible, en admettant la loi expérimentale de Hooke (*), savoir, que la dilatation linéaire d'un fil est proportionnelle à sa tension. Toutefois Jacques Bernoulli ne publia pas les démonstrations des résultats auxquels il parvint; son frère Jean (**) dut y suppléer.

Quant aux conditions générales de l'équilibre d'un fil flexible, Herman (■'''*'■'') fut le premier à s'en occuper; mais ses travaux ne sont point exempts d'erreurs. Plus tard, Jean Bernoulli (■''■*'**) traita celte question avec sa supériorité habituelle; il s'attacha principalement à considérer un fil soumis à des forces qui sont dirigées vers un centre fixe.

SECTION I

CONDITIONS GÉNÉRALES DE l'ÉQUILIBRE d'uN FIL FLEXIBLE ET INEXTENSIBLE.

Soient AP/?B un fil parfaitement flexible, a% y, z les coordonnées du point P, x -\- àx^ j + §y, z -h àz \es coordonnées du point infiniment rapproché p, s la longueur du fil AP comptée à partir d'un point fixe A, ds la longueur de l'élément Pp.

Concevons que l'on isole l'élément Pp, en supprimant les portions de fil AP, Bp. Alors, pour maintenir l'élément Pyy en équilibre, il faudra appliquer en P une force

(*) De polcntia restitutiva.

("*) Lecliones mathemat. in usum Hospitalii. Opéra, t. III, lect. xxxviii,