XXXIX, XL, XLI

C^**) Phoronomia, lib. I, cap. m, et Appendice, § V. (*"«*) Opéra, t. IV, p. 234.

STATIQUE. l3y

que nous désignerons par t, et en p une force représentée par t -+- d t. Ces forces sont les tensions du fil aux points considérés.

La première tension a pour composantes suivant les

axes

dx dy dz

ds ds ds

et les composantes de la seconde sont

dx d. ( dx\ ^ dr d. [ dyX ^

ds ds \ ds I ds ds \ ds

dz d. f dz^, ^

t-T ^ -^ t—] SS.

ds ds \ ds

Soient X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la force rapportée à l'unité de masse, qui est directement appliquée à la molécule P. Nommons m la masse du fil au point P rapportée à l'unité de longueur, ou, ce qui est la même chose, le produit de la section du fil en P par la densité qui existe en ce point.

Les composantes des forces directement appliquées à Pélément Vp seront

"S-rnSs, YmSs, Zm3s.

Dès lors nous aurons trois équations d'équilibre, si nous écrivons que la somme des projections sur chaque axe de toutes les forces qui sollicitent l'élément P^ est nulle. 11 vient

d. ( dx

ds \ ds

-I- ffîX = o,

l38 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Si l'on élimine f, ou trouve

dx \ inY ds ^^ dj j m'S.ds,

dy \ mTjds ^ dz \ mYds,

dz I rn^ds z=z d.c j mZds.

Deux quelconques de ces dernières équations représentent la courbe décrite par le fil.

Corollaire I. — Intégrons les équations [a) par rapport à 5, et ajoutons les carrés des résultats, en ayant égard à la relation

<f.r^ dj- dz-

nous trouvons

t-=z( I mXds 1 -f-

( jmXdsy-h ( jmYdsy^ ( f mZdsX .

Cette formule nous fait connaître la tension.

On peut encore obtenir la tension sous une autre forme. En effet, multiplions les équations [a) respectivement par dx^ dy, dz^ et ajoutons les produits, en observant que l'équation [h) nous donne par différentiation

d.T d^ X dy d^y dz d^ z ds ds'^ ds ds^ ds ds^

il vient

t=z — I m['^dx -^ Y dy -[-Z dz)^ const.

Ces deux formules ont été données pour la première fois par Fuss dans les Mémoires de Saint-Pétersbourg (1794» p. i5o, i5i).

Corollaire II. — Quand le fil entier sera situé dans un

STATIQUE. iSg

même plan, nous prendrons ce plan pour celui des xj, et la courbe sera représentée par la seule équation

dx j mY ds = dy j rn'Kds.

SECTION II