PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

Considérons un système de points matériels assujettis à des liaisons quelconques et sollicités par des forces choisies à volonté. Concevons que l'on donne aux points du système des mouvements infiniment petits et compatibles avec les liaisons, puis que l'on fasse le produit de chaque force par le petit chemin qu'a parcouru son point d'application suivant la direction de cette force, et qu'on ajoute tous ces produits. La somme obtenue sera nulle, quels que soient les mouvements imprimés, si l'équilibre subsistait avant que l'on eût dérangé le système^ et réciproquement, si la somme est nulle pour tous les mouvements compatibles avec les liaisons, l'équilibre subsistait.

Cette proposition est connue sous le nom de principe des vitesses virtuelles ^ les projections, sur les directions des forces, des petits chemins que l'on conçoit parcourus par les points d'application correspondants, se nomment vitesses virtuelles, et les produits des forces par les vitesses virtuelles correspondantes se nomment moments 'virtuels.

L'énoncé du principe tel que nous venons de le donner suppose que les liaisons peuvent s'exprimer par des équations, ou, ce qui revient au même, que les points sont assujettis à rester sur des surfaces données. S'il arrive que les points soient simplement assujettis à ne pas pénétrer dans l'intérieur des surfaces, alors, pour qu'il y ait éc|uilibre, il sufiSt que la somme des moments virtuels soit toujours nulle ounégative, et jamais positive.

STATIQUE. J'Jn

Les géomètres remarquèrent d'abord cette propriété de l'équilibre dans quelques machines particulières, puis ils furent conduits pas à pas à reconnaître que cette loi est entièrement générale. Guido Ubaldi ('•') l'observa d'abord dans l'équilibre du levier-, Galilée [**) la découvrit plus tard dans le plan incliné et dans les machines qui s'y ramènent 5 le premier il introduisit dans la science l'expression moment d'une force, pour signifier le produit d'une force par la vitesse virtuelle de son point d'application. Pour qu'une machine sollicitée par deux forces soit en équilibre, dit-il, il faut que les forces aient des moments égaux et de directions contraires.

Le principe des vitesses virtuelles fut exposé pour la première fois dans toute sa généralité par Jean Bernoulli, dans une Lettre à Varignon (*■*'*) datée de Bàle, le 26 janvier 1717. Lagrange a depuis magnifiquement développé l'étonnante fécondité de ce principe, dans la Mécanique analytique.

Le même principe des vitesses virtuelles a donné naissance à d'autres lois générales qui s'en déduisent presque immédiatement. C'est dans cette classe qu'il faut ranger la loi de Torricelli {****^^ savoir, que deux poids invariablement liés entre eux sont en équilibre lorsque le centre de gravité du système a la plus basse position qui soit compatible avec les liaisons.

Tels sont encore les principes de Maupertuis et de Courtivron. Considérons un système de points matériels liés entre eux et sollicités par des forces P, Q, R, etc., dirigées vers des centres fixes, et fonctions des distances p, <7, 7", etc. , de ces centres aux points d'application corres-

(*) Mechanicorum liber: de Librâ, de Cochleâ.

(** ) Délia Scienza mecanica ; Opéra, t. I, p. 265; Bologna, i655.

('""') Nouvelle Mécanique, t. II, sect. g,

('***'') De motu gravium naluraliter ^descendenlium ; i644'