I -{- - >.T j + t7?ga sina -i: T [ I + - ).T

D'ailleurs, 5 et a — s désignant les longueurs naturelles des parties de fil BC et AB, on a

T = mgs, T = riig [.V H- ( rt — s) sin a].

Ces valeurs, substituées dans la dernière équation, donnent

— lmg[a — s)['2s -\- (a — 5)sina]=:.y.

De cette équation du second degré on tirera la valeur de s, et la reportant dans l'expression

^ f iH — Inis ]•)

on aura la longueur effective de la partie de fil qui pend au-dessous du plan.

3. TJnJil élastique et rectiligne réunit deux poids qui reposent sur deux plans inclinés et parfaitement polis.

Trouverla position d'équilibre du système^ en négligeant le poids du fil.

Soient P et Q les deux poids, AC et BC les plans sur lesquels ils reposent, a, ^ les inclinaisons de ces plans sur l'horizon, 0 l'inclinaison de la direction PQ sur la direction horizontale AB, a la longueur naturelle du fil, a' sa longueur effective dans l'état d'équilibre et T sa tension.

Considérons isolément l'équilibre du poids P, puis celui du poids Q. Il vient

Psinai= Tcos(a— 6), Qsin(5 = Tcos(p -f-9);

d'où

Psina QsinS

cosfx — 9) cos(p + 9)

P cet B — 0 cota '""8»= i^MJ

Cette équation détermine l'angle 0.

La longueur du fil est donnée par les équations

.a[\ H-IT) =a

P sin

na "1

4. Déteiininer la courbe qu affecte une corde élastique et pesante, lorsquon la suspend par ses deux extrémités. On suppose que la corde est homogène et que., dans son état naturel., elle est partout dégale épaisseur.

Soient m la masse de la corde rapportée à l'unité de longueur dans l'état naturel, t la tension et s l'arc compté à partir du point le plus bas.

Prenons l'axe des^ vertical et dirigé de bas en haut.

ini MÉCANIQUE RATIONNELLE.

On a, comme au problème I de la section II,

d f dx\ d [ dy\ ms

ds \ ds j ds\ ds j \ -4- ), t

La première équation nous donne

dx ds

en désignant par T la tension au point le plus bas.

Si l'on reporte la valeur de t dans la seconde équation,

et que l on pose, pour abréger, —-= p^ il vient

Nous allons ici substituer successivement à la variable s les variables x et j^. Nous pourrons intégrer uîie première fois-, alors nous aurons deux relations finies entre p, x et J'", et l'élimination de p nous donnera l'équation de la courbe.

Remplaçons ds par sa valeur S i-Y- p^dx'^ il vient

(2) mgdx= T . + y.T ] dp,

ce qui donne, en intégrant,

wgx = T [log (/? H- V I + p* ) + '^'^Pji

Multiplions l'équation (2) par;?, et remplaçons pdx par sa valeur dy 5 nous trouvons

wgdf = t( + Irp ] dp.

L'iutégrale est

(4) mgy = r\/i-^p'-^-lr'j}

nous n'ajoutons pas de constante, parce que nous admet-

tons que l'ordonnée du point le plus bas est égale à — •

On peut tirer facilement de celte équation la valeur de p en fonction de y^ si l'on porte cette valeur dans l'équation (3), on aura l'équation de la courbe, laquelle est assez compliquée.

Il est cependant facile d'assigner la position d'un point donné à volonté sur la corde dans son état naturel. En effet, prenons l'équation (i), dans laquelle les variables sont 5 et /?,

(5) - r^rdp.

1 H- At y I + p^

Le premier membre représente le poids de l'élément ds\, si donc nous appelons P le poids de l'arc s compté à partir du point le plus bas, nous aurons

Soit A un point donné sur la corde. On connaît le poids P de la partie de la corde qui est comprise entre le point milieu et le point A 5 par conséquent, si T est connu, on connaît aussi la valeur de p correspondante au point A, dans la courbe que la corde décrit lorsqu'on la suspend par ses extrémités. Substituant cette valeur de p dans les équations (3) et (4), on aura les coordonnées du point considéré. Si maintenant nous supposons que A soit l'une des extrémités de la corde^ les valeurs de a: et de P relatives à cette extrémité étant fournies par les données, les équations (3) et (6) nous feront connaître T.

L'équalion (5) nous fait connaître la longueur de l'arc qui se termine au point A; car, si l'on intègre cette équation, on trouve

~\ p -\~~rpJi -+-P' +^Tlog(/'H- v'h-zjO mg L 2 2 J

L'équation (2) nous donne le rayon de courbure p correspondant au même point A.

dp dx

[x -h Xt y/l -hp-')'

On voit qu'au point le plus bas le rayon de courbure est égal à

mg FiNCR et BoBiLLiER, AriTiales de Gergonne, t. XVII, p. 65.

5. Deux poids égaux sont réunis par un fil élastique et sans pesanteur dont la longueur naturelle est connue. Déterminer, dans un plan vertical, deux courbes telles, que si Von dépose les deux poids sur ces courbes à la même hauteur et partout oii l'on "voudra^ ils restent en équilibre.

Soient P l'un des poids et a la longueur naturelle du fîl. Prenons l'axe desy vertical, dirigé de haut en bas età égale distance des deux poids-, plaçons l'origine de telle sorte que la tension du fil soit nulle en même temps que l'ordonnée des poids.

Les courbes cherchées sont deux demi-paraboles représentées par la double équation

x'z^-\ =ka P j .

6. Autour d'un cône vertical et parfaitement poli, on place un anneau élastique, dont on connaît le rajon naturel a et le poids P. Déterminer la position d'équilibre pour cet anneau.

Soit a rinclinaison des génératrices du cône sur l'axe. Le rayon de l'anneau dans sa position d'équilibre est

« I I H- / — cota :

cette valeur détermine la position d'équilibre, car l'anneau doit rester horizontal.

l'jS MÉCANIQUE RATIONNELLE.