ÉQUILIBRE
1 . Un point matériel P éprouve de la part de deux centres fixes A ei B des attractions constantes a et |3. Déterminer sa position d^équilibre.
Soient
AP = /-, BPizz/-', AB=.«.
Prenonsi le point A pour origine des coordonnées, et la droite AB pour axe des x.
Ecartons un peu le point P de sa position d'équilibre 5 et soient dr'^ dr les variations des distances /', 7'.
Nous devons avoir
(/.dr A- pdr' = o,
où
x dx H- y dy
r = y^^-- + J% dr = "' = y/(« — x)--hj\ dr
\Jx- + y- — [a — x) dx -h ydy
sl[a—xY^y'
Substituant ces valeurs, il vient
xdx + ydy — [a — x)dx-^ ydy
SJx'^+y- \l[a — xY -\- y'^
Ici dx et dj sont arbitraires, comme le déplacement imprimé; par conséquent, leurs coefficients doivent être
l8o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
séparément nuls,
La dernière équation donne j- = o, et la première exige que |S soit égal à a.
Ainsi réquilibre n'est possible qu'autant que les attractions sont égales \ et, dans ce cas, le point attiré peut être placé partout où l'on voudra sur la ligne qui joint les centres d'attraction.
EuLER, Mém. de l'Àcad. de Berlin, 1761, p. i84-
2. Une tige rigide et sans poids AOB appuie son pj 2 extrémité inférieure A contre une rai-
B nure verticale, porte sur un clou horizontal O, et soutient un poids connu P ^ Ù à son extrémité supérieure. Détermi-
ner la position d'équilibre^ ainsi que les pressions exercées sur le clou et sur la rainure.
Soient a la longueur de la tige AB 5 b la distance horizontale du clou à la rainure; X la longueur de la partie AO ;
j la distance de l'extrémité B à l'horizontale du support O ;
E. la pression supportée par la rainure; S la pression supportée par le clou.
La pression R est horizontale et la pression S est perpendiculaire à la lige.
Supposons que l'extrémité A glisse un peu le long de la rainure sans que la tige abandonne le clou 5 alors le mo-
STATIQUE. l8l
ment virtuel de la force R est nul, celui de la force S est un infiniment petit du second ordre, et l'on a simplement
Or
a — X I — ab'^ — x^
y= slx^—b', dyz= dx,
^ X- sjx' — 0-'
donc
ab'- — .r^ = o, x:=z^iib^-
Cette valeur de x détermine la position d'équilibre.
Déterminons les pressions : pour cela, faisons glisser la tige le long de la rainure, de manière qu'elle reste parallèle à elle-même. Soit a le chemin parcouru. Il vient
— Pa + S-ai=o;
d'où
S=Pt=P
Nous obtiendrons la pression R, si nous déplaçons la tige dans le sens de sa longueur. Soit (3 le chemin parcouru. Nous avons
R-p — Pp
d'où
ou
EuLER, Mém. de V Jcad. de Berlin, ly^i, p. 196.
3. Trois points mobiles A, B, C sojit assujettis à cette seule condition, que le triangle formé par ces points comme sommets reste constamment semblable à luimême. On demande quelles sont les conditions d'équi-
l82 ' MÉCANIQUE RATIONNELLE.
libre de trois forces appliquées à ces trois points dans le plan du triangle.
Quand le point C reste immobile, deux mouvements sont possibles : ou le triangle tourne sans se déformer autour du point C, o\x bien le côté AB se met seul parallèlement à lui-même.
Nommons a et b les côtés du triangle opposés aux sommets A et B, a et |3 les forces appliquées à ces sommets, m et n les angles qu'elles font respectivement avec CA etCB.
Le premier mouvement virtuel nous donne
b a sin w -t- a ji sin « = o ;
le second donne
b a ces /;/ + « p ces n z= o.
Ces deux relations équivalent aux deux suivantes : a (i
La première exprime que les forces sont proportionnelles aux côtés du triangle opposés à leurs points d'application. La seconde exprime que les directions des forces a, jS se coupent sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Les conditions d'équilibre sont donc que les directions des trois forces se coupent en un même point de la circonférence menée par les trois points donnés A, B, C, et que leurs intensités soient proportionnelles aux sinus des angles du triangle ABC, dont les sommets sont aux points d'application des forces.
Cette seconde condition d'équilibre, eu égard à la première, revient à la condition générale d'équilibi^e entre trois forces concourantes, à savoir, que chacune d'elles
STATIQUE. ' l83
soit proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres.
MoEBius, Nouvelles Annales de Math., i855, p. 85.
4. JJjx point pesant, placé sur un plan incliné^ est sollicité par une force F de direction connue. Déterminer, dans le cas d'équilibre, l'intensité de la force F et la pression exercée par le plan.
Soient P le poids du point, a. l'inclinaison du plan sur l'horizon, a + e celle de la force F, et R la pression exercée par le plan sur le point.
Déplaçons le point sur le plan incliné et nommons [3 le chemin parcouru. Il vient
F [3 cos £ — P p sin a = o ;
d'où
sin a
Déplaçons le point horizontalement d'une quantité ^. Il
vient
Pi^sina — F(?cos(a H- s) = o;
d'où
R p ^Qs(a + c-) p cos(a + £) sin a cos £
EutER, Mém. de l'Acad. de Berlin, lySi, p. 191.
5. Une tige rigide et sans poids AOB peut tourner librement dans un plajz vertical autour de son extrémité A, gui est fixe, et porte un poids P à son extrémité inférieure B. La tige est soutenue au point O par un ressort disposé suivant un arc de cercle décrit de A comme centre, et dont la force de contraction est proportionnelle à r inclinaison de la tige sur l'horizon. Déterminer la position d^ équilibre.
Soient a la longueur de la tige, b la distance AO de
l84 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
l'extrémité fixe au point d'application du ressort, cf l'inclinaison de la tige sur l'horizon, E la force de contraction du ressort lorsque l'angle ^ a la valeur a. La force de contraction correspondante à un angle quelconque ©
Eq)
sera —^• oc
Faisons tourner la tige d'un angle très-petit autour de
son extrémité fixe. Il vient
E? , , Va cosoda — — bam=:o; a
d'où
COSœ Eè
Telle est l'équation qui détermine l'angle (p, dans l'état d'équilibre.
EuLER, Mém. de VJcad. de Berlin, lySi, p. 196.
6. Une harre pesan te A A'A" B pose son extrémité infé- Pig 28. rieure A sur un plan horizontal,
et s\ippuie en A', A" sur deux chevilles horizontales perpendiculaires à sa longueur j la première cheville A! est au-dessus de la harre, la seconde est au-dessous. Déterminer les pressions R, R', R" exercées par le plan et les deux chevilles A', A".
Soient a l'inclinaison de la barre sur l'horizon, P son poids, G son centre de gravité, A'G = «, AA'=b, A'A"=c.
Faisons glisser la barre dans le sens de sa longueur et d'une quantité quelconque jS. Il vient
R P sin a — P p sin a = o, R = P.
STATIQUE. l85
Pour trouver la pression R', faisons glisser la barre sur le plan d'une quantité très-petite, en même temps qu'elle tourne autour de la cheville A" et s'éloigne de la cheville A'. Ce mouvement peut se décomposer en deux autres : l'un de glissement dans le sens de la longueur de la barre, l'autre de rotation autour de A". Le premier mouvement a déjà été considéré, et le second nous donne
— R(6 H- c)cos c/.da. -t- R'cJa + P(c — «) cosac?a r=: o;
d'où
, a -ir- h
R' = P ces a.
Nous obtiendrons R" si nous faisons glisser légèrement la barre le long du plan, en même temps qu'elle tourne autour de A' et s'éloigne de h" . Il vient
— Rè ces 7.dc/. — Pfl cosac?a -|- R'Wa = o;
R''=llLi:pcosa = R'.
7. TJnjil de longueur donnée, situé dans un plan verticaly passe sur une très-petite poulie Jîxe A, et porte à ses extrémités deux poids P et V qui reposent sur deux courbes S et S'. La première courbe est connue, et V équilibre du système subsiste, quel que soit le point de cette courbe sur lequel on place le poids P. On demande de déterminer la seconde courbe S'. Le poids dujîl peut être négligé.
Soient / la longueur du fil PAP', p et p' les longueurs des parties AP et AP', cp et ce' les inclinaisons de ces fils sur la verticale, ei J'[p, çp) = o l'équation de la courbe donnée.
Faisons glisser légèrement le poids P sur sa courbe;
l86' MÉCANIQUE RATIONNELLE.
nous aurons
P^.p COScp -+- V d . p' COS (f' r=: O.
Cette relation subsiste en tout point des courbes S et S' 5 on peut donc l'intégrer, et il vient
|Pp CCS <f -f- P'p' cos çp' = const. = C ;
d'ailleurs
p-hp' = l.
Si l'on élimine les quantités p et cp entre ces deux relations et l'équation
l'équation finale
représentera la courbe cherchée.
Jean Bernoulli, yàcta erudit., 1695, febr. , p. 5g.
Leibnitz, ibid., apr., p. 184.
L'HospiTAL, ib., Suppl., t. II, sect. vi, p. 28g.
