Quatre harres homogènes AB, BC, CD, DE réunies

j-j„ 2q bout à bout par des charnières

c sont en équilibre dans un plan

j.^it'^^fp ^^^vj) vertical. Les extrémités A , E

Z^ \ sont engagées dans deux char-

A/....L AE nières fixes situées sur une

même horizontale. Les barres inférieures AB, DE sont égales entre elles; les deux barres supérieures sont pareillement égales. Déterminer la relation qui existe entre les angles que les barres inférieures et les barres supérieures forment avec Vhorizon.

Soient 2« la longueur des barres inférieures, o.b celle des barres supérieures, P le poids des premièi^es barres, Q celui des secondes, a l'inclinaison des premières sur l'horizon, |3 celle des secondes, et h la hauteur du centre de gravité du système au-dessus de l'horizontale AE.

On a

(P + Q)/i = P«sina + Q(2flsina 4- Zisin^).

Puisque l'équilibre a lieu, h est un maximum ou un minimum, et, par conséquent,

(F) o = (P +2Q)acosaf/a + Qècospc?p.

D'ailleurs, la distance AE étant invariable, sa difFérentielle est nulle, c'est-à-dire que Ton a

o ^= cl. [^a cas a. + 4^ cosfB) =: «sin a(fa + 6 sin Ê(ip.

Multiplions l'équation (F) par sina sin/3, et tirons de l'équation résultante la valeur de taug a; ayant égard à notre dernière formule, nous trouvons

Fig. 3o.

tang a = — tang p.

C'est la relation chercliée.

Si P = Q, il vient

tang a = 3 tang p (*).

9. Une barre p es aiite A^ repose tangentiellement sur une courbe dont le plan est vertical, et appuie son extrémité A contre mi plan vertical perpejidiculaire au premier; la courbe est de telle nature^ que la barre reste en équilibre, quel que soit son point de contact. On demande de trouver V équation de cette courbe.

Soient G le centre de gravité de la barre et a la distance du point G à l'extrémité A. Prenons la verticale du point A pour axe des y 5 désignons par x^ j les coordonnées du

(*) FojV p. 129, probl. k.

l88 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

point de contact sur la courbe, et par j' l'ordonnée du centre de gravité de la barre.

La Géométrie nous donne l'équation

ds \ dy dy dy

•^ -^ \ da:J ds "^ dx ds

Puisque l'équilibre a lieu, la dérivée de j' par rapport

à X est nulle,

d'^y dx^-

dx-

et puisque l'équilibre a lieu quelque soit le point de contact;, cette équation convient à tous les points de la courbe cberchée. Cette même équation se partage en deux autres : l'une,

dx^ = ^'

représente une ligne droite quelconque: l'autre, a pour intégrale

y -{- \a^ — x^ ) = const.

Si l'on prend pour axe des x la position que la barre occupe lorsqu'elle est horizontale, la constante est nulle, et l'équation de la courbe cherchée se réduit à celle-ci,

Cette courbe est l'enveloppe d'une droite de longueur constante a, dont les extrémités se meuvent sur deux droites rectangulaires.

10. Un point matériel, sollicité par plusieurs forces, est en équilibre quand il coïncide avec le centre de gravité de poids égaux , placés aux extrémités des droites qui représentent les forces.

Leibnitz, Journal des Savants , i6q3 ; Opéra, t. III, p. 283.

11. n points matériels fixes , A, B, C,. . ., attirent un point mobile P proportionyiellement à la distance. Montrer que F attraction résultante est dirigée vers le centre de gravité des points fixes, supposés de même masse, et qiCelle est proportionnelle à nfois la distance du point P à ce centre de gravité.

12. Un système de n points matériels, qui s^ attirent proportionnellement à la distance, est en équilibre. Démontrer que V équilibre continuera de subsister, de quelque manière quon déplace les points, pourvu que la somme

relative aux coordonnées de ces divers points, ne change pas de valeur.

13. Une barre AB appuie Vune de ses extrémités A contre un plan vertical, tandis que Vautre extrémité B repose sur une courbe ; la barre reste en équilibre, quel que soit le point de la courbe sur lequel elle repose. Trouver r équation de la courbe.

Soient a la longueur de la barre eL c la distance de sou centre de gravité à l'extrémité B.

Si l'on pi'end la verticale du point A pour axe desj'^, et que l'on dispose l'origine de manière que l'axe des x coïncide avec la barre, lorsque celle-ci est hoi"izontale,

igo MÉCANIQUE RATIONNELLE.

on trouve

équation d'une ellipse.

iA. Une barre homogène appuie son extrémité inférieure sur un planhoT'izontal, et son extrémité supérieure contre un plan vertical ^ à V extrémité inférieure est attaché un fil horizontal qui s^ enroule sur une très-petite poulie située sous la harre, et supporte un poids Q. Déterminer la position dJ équilibre.

Si l'on nomme P le poids de la barre et Q l'inclinaison de la barre sur l'horizon, on trouve

\ P tan" ô =: — - • '^ 2Q

Cette équation détermine la position d'équilibre.

45. Un point matériel est attiré par deux centres fixes en raison inverse du cane de la distance. Trouver l'équation de la surface sur laquelle il faut placer le point, pour quil reste en équilibre.

Soient ^j. et y.' les attractions des deux centres à l'unité de distance, r et r' les distances de ces centres à un point quelconque de la surface cherchée.

On trouve l'équation

— -\- '—- =: const.

16. Une barre homogène AB peut tourner librement autour de son extrémité A comme charnière', à Vautre extrémité est attaché un fil qui s'enroule sur une trèspetite poulie et supporte un poids Q. La poulie est située verticalement au-dessus de V extrémité fixe A, à

une distance conjiue b^ on connaît aussi la longueur du fil y l. Trouver une courhe dételle nature, qii il suffise de poser le poids Q sur cette courbe, partout oii l'on voudra, pour que le système soit en équilibre. On néglige le poids du fil.

Soient ia la longueur de la barre, P son poids, p la distance de la poulie à un point quelconque de la courbe cherchée, et ô l'angle que ce rayon fait avec la verticale.

L'équation de la courbe est en coordonnées polaires

Pp2 + 2p (26QCOS6— P/) =const.

Sauveur proposa ce problème à l'Hospital, et celui-ci en donna la solution dans les Acta erudiiorum, iSgS, febr., p. 56. Jean BernouUi fit observer que la courbe est du genre épicycloïde [ibid., p. og).

Supposons, par exemple, les données telles, que la constante arbitraire soil nulle. Alors, si nous posons, pour abréger,

l'équation de la courbe devient

p ■=: 2.1 — -Zp CCS 9.

C'est l'équation de l'épicycloïde qu'engendre un cercle de rayon /, roulant extérieurement sur un cercle égal, lorsque la distance du point décrivant au centre du cercle mobile, auquel il est invariablement lié, est égale à p.

Ce problème peut être utile pour la construction des ponts-levis.

SECTION II

STABILITÉ DE l'ÉQUILIBRE.

1. Problème des moindres distances. — Le choix des centres d'administration ou d'approvisionnement, l'éta-

Ig2 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

blissement des usines, le tracé des routes destinées à relier les grandes lignes présentent un problème qui, pris dans toute sa généralité et réduit à des ternies géométriques, peut s'énoncer ainsi : Déterminer les positions d\in certain nombre de points, de telle sorte que leurs distances mutuelles et leurs distances à des points donnés, multipliées respectivement par des coefficients con~ nus, donnent des produits dont la somme soit la plus petite possible. Ces points peuvent d^ ailleurs être assujettis à d^ autres conditions géométriques.

Dans les applications, les coefficients qui affecteront les distances seront proportionnels à la fréquence des communications, aux poids à transporter; ils seront inversement proportionnels à la vitesse, à la facilité du transport. Les conditions géométriques se réduiront le plus souvent à placer les points cherchés sur des cours d'eau, sur des routes déjà construites, en un mot, sur des lignes données.

Soient p, ^, r, etc., les distances, et X, u, v, etc., les coefficients respectifs. La condition du minimum exige que l'on ait

\dp -Y- ^dq -\- -jclr -\- . . .z^ O,

pour tous les accroissements infiniment petits des distances qui sont compatibles avec les conditions imposées. Or cette équation est précisément celle à laquelle on serait conduit, si l'on appliquait le principe des vitesses virtuelles à la recherche des positions d'équilibre, en supposant que chacun des points cherchés fût attiré vers les autres points par des forces constantes proportionnelles aux coefficients qui multiplient leurs distances. Les positions cherchées sont donc des positions d'équilibre 5 de plus, elles sont des positions d'équilibre stable, sinon la somme Ip -\- jJ-q -f- vr. . . serait un maximum, au lieu

STATIQUE. ig3

d'être un minimum. Cette observation n'avance en rien la solution analytique, souvent impraticable, mais elle conduit immédiatement à une solution pratique fort ingénieuse.

Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'un seul point à déterminer. Dans un plan vertical, on fixera des anneaux de manière que leurs distances mutuelles soient proportionnelles à celles des points donnés; par chacun de ces anneaux on fera passer un fil léger portant à l'une de ses extrémités un poids proportionnel au coefficient du point représenté par l'anneau, et Ton réunira toutes les extrémités libres de ces fils sur un même anneau mince, lequel sera libre si le point cherché n'est assujetti à aucune liaison, et, dans le cas contraire, s'engagera sur une tige rigide courbée de manière à représenter la ligne sur laquelle le point cherché doit être situé. Le système abandonné à lui-même se mettra d'abord en mouvement, mais les frottements l'amèneront bientôt à un état d'équilibre stable. Alors l'anneau mobile occupera la position du point demandé.

C'est ainsi, par exemple, cjue l'on déterminera la position la plus avantageuse à l'établissement d'une station de chemin de fer, destinée à desservir une localité dont les communications n'ont point la même importance dans les deux directions de la voie.

Si l'on a un second point à déterminer conjointement avec le premier, on doublera le système précédent, en changeant les poids et les positions des anneaux fixes, s'il y a lieu 5 puis on attachera au nouvel anneavi mobile un fil passant dans le premier anneau mobile, et portant un poids proportionnel au coefficient qui doit multiplier la distance des deux points cherchés. Les positions finales des deux anneaux mobiles seront les positions demandées. On agirait de même pour un plus grand nombre de points.