APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE, AUX SYSTÈMES ARTICULÉS ET AUX ENGRENAGES

1. Lorsqu'une courbe plane se meut dans un plan, et que l'on connaît, pour l'une de ses positions, les tangentes aux trajectoires de deux de ses points a et b^ il est aisé, pour cette position, de résoudre les problèmes suivants :

Mener la normale et la tangente à la courbe décrite par un point m lié à la courbe mobile.

Déterminer le rapport des vitesses de deux points liés à la courbe mobile.

Trouver le point de contact de la coubre mobile as^ec son enveloppe.

La solution de ces problèmes découle immédiatement des propositions placées sous les n"^ 1 et 2 dans le chapitre précédent. En effet, connaissant les tangentes aux trajectoires des points a et ô, on peut tracer les normales à ces trajectoires -, leur intersection sera le centre instantané de rotation pour la courbe mobile. Ce centre étant connu, il suffira de le joindre au point décrivant m pour avoir la normale et, par suite, la tangente à la courbe décrite par ce point. Les vitesses des différents points de la figure mobile seront entre elles comme les distances de ces points au centre instantané. La normale abaissée du même centre sur la courbe mobile la rencontrera au point de contact avec son enveloppe.

Si l'on connaît les trajectoires de deux points a et b de

la figure mobile, on pourra construire la courbe S' décrite par le centre instantané sur le plan fixe du mouvement, et aussi la courbe S" décrite par le même centre sur le plan mobile de la première figure ; dès lors, si l'on fait rouler la courbe S'' sur la courbe S' en entraînant le point m, celui-ci décrira la même courbe que dans le premier mouvement. Ainsi l'on aura un nouveau mode de génération pour la courbe décrite par le point m.

Enfin, quand ce nouveau mode de génération est seul donné, on peut encore résoudre les mêmes problèmes ; car le point de contact entre les courbes S' et S'' est à chaque instant le centre instantané de rotation par rapport à toute figure liée à la courbe S".

Magnus, Journal de Crelle, i832, t. VIII, p. 5i, et t. IX, p. i35.

Appliquons ceci à quelques exemples.

2. On donne deux courbes fixes S', S", une courbe mobile S assujettie à rester tangente aux deux premières, et un point m lié avec la courbe S.

Pour mener la tangente à la courbe décrite par le point 7n, il suffit d'élever deux normales sur la courbe mobile à ses deux points de contact, et de joindre l'intersection de ces normales au point m ; cette droite de jonction sera la normale, la perpendiculaire sera la tangente.

La courbe S peut se réduire à deux droites qui se coupent sous un angle donné ; cliacune des courbes S', S" peut se réduire à un point fixe par lequel devra passer la courbe S 5 alors on a autant de cas particuliers qui embrassent un grand nombre de courbes auxquelles nous savons mener les tangentes. Supposons, par exemple, que S' soit une hyperbole équilatère, S" le centre de cette hyperbole, S l'ensemble de deux droites rectangulaires ; l'intersection de ces droites décrira une lemniscate de

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Jacques BernoviUi. On sait donc mener la tangente à la lemniscate.

3. On donne deux courbes fixes S', S'', une courbe mobile S, et deux points a, m liés avec cette courbe ; le point a est assujetti à rester sur la courbe S'^ et la courbe S doit constamment toucher la courbe S'^ Pour trouver la tangente à la courbe décrite par le point m, il suffit d'élever une normale à la courbe S' au point a^ et de tracer la normale commune aux deux courbes S, S'^'; la ligne qui joint rintersection de ces deux normales au point m est normale à la courbe décrite par ce point, la perpendiculaire est la tangente. Supposons, par exemple, que S' soit une droite, S'' un point et S la droite am ; alors le point m décrit une conchoïde. Ainsi l'on sait construire la tangente à la conchoïde.

4. On donne deux axes rectangulaires OX, OY, une droite mobile ainb de longueur constante et un point m

Fig. 33. pris sur cette droite. Si l'on promène

en même temps les deux extrémités a et b de la droite sur les deux axes OX, OY, le point m décrit une ellipse.

Dès lors, il nous est facile de construire la tangente à l'ellipse. En efFet, sur Oa el Ob construisons le '^ rectangle aO^O'; O' sera le centre instantané de rotation, et, par conséquent, O' ni sera la normale à l'ellipse, une perpendiculaire sera la tangente. Dans le rectangle construit, la diagonale 00' est égale à l'autre diagonale «5, laquelle est constante 5 de là il résulte que le lieu du centre instantané est un cercle C décrit de O comme centre avec un rayon égal à ab. D'un autre côté, le triangle rectangle aO' b a son hypoténuse constante; donc la courbe décrite par le centre instan-