I. 1'^ ÉDIT. l
2IO MÉCANIQUE RATIOJNMELLE .
le plan même ^ tous ces points sont situés sur l'intersection de deux positions consécutives du plan. Nous appellerons cette droite la caractéristique du plan, suivant une expression employée par Monge dans la théorie des surfaces développables.
9. Si plusieurs plans sont liés invariablement au même corps solide, et que celui-ci reçoive un mouvement infiniment petit, les foyers a, (3 de deux plans se trouvent sur l'intersection A des plans normaux aux trajectoires de deux points a, b pris à volonté sur l'intersection D de ces deux plans. Par conséquent, lorsque plusieurs plans liés invariablement au même corps passent par une même droite T), leurs foyers sont sur une deuxième droite A.
Dans le même déplacement infiniment petit du mobile, deux plans menés par la droite A et liés à ce corps ont leurs foyers sur l'intersection des plans normaux aux trajectoires des deux points a, j3 pris sur la droite A. Ces plans normaux sont précisément les deux plans considérés en premier lieu 5 leur intersection est la droite D. Donc, réciproquement, plusieurs plans menés par la droite A et liés au même mobile ont leurs foyers sur la droite D5 de sorte que ces deux droites jouissent de propriétés réciproques. Nous appellerons ces deux droites D, A, droites conjuguées .
10. Il résulte de la définition même du foyer que, quand plusieurs plans passent par un même point, leurs foyers sont tous sur un même plan, qui a son foyer en ce point, puisque le plan est perpendiculaire à la trajectoire du point.
1 1 . Si nous supposons dans le théorème 9 que la droite D soit située à l'infini, nous aurons des plans parallèles
CINÉMATIQUE. 21 î
dont les foyers seront sur une même droite A 5 ci comme cette droite a sa conjuguée située à l'infini, il en résulte qu'elle se meut parallèlement à elle-même; d'ailleurs, il est clair que toutes les droites qui se meuvent parallèlement à elles-mêmes sont parallèles entre elles. Donc, quand plusieurs plans sont parallèles entre eux, leurs foyers sont sur une droite qui est toujours parallèle à un même axe^ quelle que soit la direction commune des plans.
12. Si tous les plans parallèles sont perpendiculaires à la direction de cet axe, leurs foyers seront sur une certaine droite X, qui glissera sur elle-même pendant le mouvement du corps.
Pendant ce glissement de la droite X sur elle-même, le corps ne pourra que tourner autour d'elle. Cette droite est l'axe instantané de rotation et de glissement dont l'existence a été démontrée plus haut (théorèmes 5 et 6).
13. Reportons-nous au théorème 9. Dans le mouvement infiniment petit du corps, les points a, (3 restent à la même distance de la droite D, puisque, étant les foyers de deux plans qui passent par cette droite^ ils ont leurs trajectoires perpendiculaires à ces plans. Il en résulte que nous pouvons amener ces deux points et la droite A à leur position finale par une rotation du corps autour de la droite D. Par une même raison, en vertu de la réciprocité des droites D et A, nous pouvons amener la droite D à sa position finale par une rotation du corps autour de la droite A. Ces deux mouvements successifs ou simultanés amèneront le mobile à la position qu'il occupe à la fin du déplacement considéré •, c'est-à-dire que les deux droites conjuguées D e£ A sont deux axes de rotations simultanées qu'on peut imprimer au corps pour effectuer son déplacement.
44. Il résulte du théorème 9 que la caractéristique d^un plan a pour conjuguée la tangente à la trajectoire dufojer de ce plan.
15. D'après les deux théorèmes précédents, on voit que la caractéristique d'un plan ne peut que tourner autour du foyer de ce plan, considéré comme un point fixe. Or, pendant ce mouvement, le plan ne peut que tourner autour de sa caractéristique. On peut donc dire, en général, que ZouA déplacement infiniment petit d'' une figure plane dans V espace se réduit à une rotation du plan de la figure autour d\ine droite de ce plan, pendant que cette droite tourne elle-même autour dun point fixe, sans sortir de la position primitive du plan.
46. Soient a un point du corps, et à' la position que ce point occupe dans l'espace après un mouvement infiniment petit. Considérons la droite aa', invariablement liée au corps. Après le mouvement infiniment petit,, elle passe encore au point a' 5 par conséquent, les deux positions de cette droite sont dans un même plan. Si nous considérons ce plan comme invariablement lié au corps, sa caractéristique sera la droite aa' (théorème 8). Cette droite, dans sa première position, est tangente à la trajectoire du point a.
De là résulte ce théorème : La tangente à la trajectoire d'un point jouit de la propriété d'être la caractéristique d\in plan-.! et réciproquement, il est clair que la caractéristique d'un plan est tangente à la trajectoire d'urt de ses points, savoir^ le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la caractéristique (théorème 4S).
47. Soit D une droite normale à la trajectoire d'un de ses points a. Si nous projetons cette droite sur un pian fixe qui lui soit parallèle, la projection de la droite, avant
cmÉMATlQUE. 2l3
et après le mouvement infiniment petite sera perpendiculaire à la projection de la trajectoire du point a 5 d'où il résulte (théorème 1) que la projection de la droite tourne autour de l'un de ses points b qui est fixe. Le plan normal à la trajectoire du point de la droite D qui se projette en b passe par cette droite. Le plan normal à la trajectoire du point a passe également par la droite D; donc (tliéorème 9) la droite D est elle-même sa conjuguée A, et elle est normale aux trajectoires de tous ses autres points.
J8. Il suit de là que, quand une droite de longueur constante se meut dans l'espace, de manière à être toujours normale à la courbe décrite par l'une de ses extrémités, elle est normale aussi à la courbe décrite par son autre extrémité. Ç)uand, sur une surjace engendrée par une ligne droite^ on trace deux courbe^ qui coupent à angle droit toutes les génératrices, les segments de ces droites compris entre les deux courbes sont tous égaux entre eux.
19. Une droite qui s'appuie sur deux droites conjuguées D, A est normale aux trajectoires de l'un quelconque de ses points d'appui (théorèmes 9 et 13); par conséquent, cette droite est normale aux trajectoires de tous ses points.
20. Lorsqu'une droite D' s'appuie sur une autre droite D, et jouit de la propriété d'être normale aux trajectoires de tous ses points, elle s'appuie sur la droite conjuguée A, car les droites D' et A sont situées dans le plan perpendiculaire à la trajectoire du premier point d'appui (théorèmes 9 et 13).
On voit, par les deux théorèmes précédents, que deux droites conjuguées D, A, et deux autres droites conju-
2l4 MÉCANIQUE KATIOWWELLE.
giiées quelconques D', A', sont toujours quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe^ c'est-à-dire que toute droite qui s'appuiera sur trois de ces lignes rencontrera nécessairement la quairièm e.
21. Lorsqu'une droite rencontre l'axe de rotation X et lui est perpendiculaire, tous les points de cette droite décrivent des trajectoires normales à cette droite même (théorème 12).
Il en résulte, eu égard au théorème précédent, que tout plan perpendiculaire à l'axe de rotation X rencontre deux droites conjuguées quelconques D, A et l'axe lui-même en trois points qui sont en ligne droite : ou, en d'autres termes, par deux droites conjugées D, A, et par l'axe de rotation, on peut faire passer un paraboloïde hjperbolique dont les génératrices soient perpendiculaires à cet axe.
22. Dans un paraboloïde hyperbolique, trois génératrices d'un même système X, D, A sont parallèles à un même plan 5 donc la génératrice de l'autre système, qui est perpendiculaire à X et à D, est aussi perpendiculaire à A.
Ainsi, la droite par laquelle se mesure la plus courte distance de deux droites conjuguées D, A lencontre V axe de rotation et lui est perpendiculaire.
23. Ce dernier théorème permet de trouver V axe de rotation X, quand on connaît en direction les trajectoires de trois points du corps. En effet, soient «, è, c ces trois points. Les plans menés par a et b perpendiculairement aux trajectoires de ces points se couperont suivant une droite aj3 qui sera la conjuguée de la droite ab. On cherchera la droite qui mesure la plus courte distance des deux droites «/?, a|3 ; elle s'ayjpuiera sur l'axe cherché X,
CINÉMATIQUE 2 15
et lui sera perpendiculaire. On déterminera de même, avec les deux points a^ c ou b, c une autre droite jouissant des mêmes propriétés; l'axe X sera donc déterminé.
24. Quand plusieurs droites D, D', . . . passent par un même point j leurs conjuguées A, A',... sont dans un même plan qui est normal à la trajectoire de ce point (théorème 9). Réciproquement, quand plusieurs droites sont dans un même plan, leurs conjuguées passent toutes par un même point qui est le foyer de ce plan (théorèmes 7 et 9).
25. Nous pouvons considérer un système de droites parallèles comme les intersections de deux systèmes de plans parallèles. D'après cela et en vertu du théorème 11 , quand plusieurs droites sont parallèles entre elles, leurs conjuguées sont dans un plan parallèle à V axe de rotation.
26. Lorsqu'une droite D est située dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation, toute droite menée dans ce plan par l'axe de rotation rencontre la droite conjuguée A (théorème 20)-, d'ailleurs, deux droites conjuguées ne sauraient être dans un même plan (théorème 9), à moins qu'elles ne coïncident. Donc, quand une droite est située dans un plan perpendiculaire à Vaxe de rotation, sa conjuguée passe par le point oii le plan rencontre cet axe. Réciproquement, si une droite rencontre Vaxe de rotation en un point, sa conjuguée est située dans le plan mené par ce point perpendiculairement à Vaxe.
27. Quand une droite est tangente à la trajectoire de l'un de ses points a, sa conjuguée est située dans un plan perpendiculaire à la première, savoir, le plan dont le point a est foyer. Si l'on rapproche cette remarque du
2l6 MÉCAWIQTJE RATIOMJJELLE.
théorème 16, on conclura que, quand une droite est tangente à la trajectoire d'un de ses points, sa conjuguée est aussi tangente à la trajectoire d'un de ses points. Ces deux droites sont à angle droit, et la droite qui mesure leur plus courte distance est celle qui joint les deux points aux trajectoires desquels elles sont tangentes.
En d'autres ternies, quand une droite est la caractéristique d^un plan., sa conjuguée est aussi la caractéristique dhm autre plan. Ces deux plans sont à angle droit; le foyer du premier est sur la deuxième droite ^ et le foyer du second sur la première droite. La droite qui joint ces deux foyers est celle qui mesure la plus courte distance des deux caractéristiques .
Il résulte de là et des théorèmes 16 et 22 que la perpendiculaire abaissée du foyer d'un plan sur la caractéristique rencontre l'axe de rotation X, et lui est perpendiculaire.
28. Considérons une droite qui s'appuie sur deux droites conjuguées, et un plan perpendiculaire à cette droite. Le pied de la droite sur le plan se meut perpendiculairement à la droite (théorème 19) ; sa trajectoire est donc située dans le plan même, c'est-à-dire qu'elle appartient à la caractéristique du plan (théorème 8).
En d'autres termes, deux droites conjuguées quelconques étant projetées orthogonalement sur un plan quelconque, leurs projections se coupent en un point situé sur la caractéristique du plan.
29. Considérons un plan, et sur ce plan les traces de deux droites conjuguées. Si, par le foyer du plan, on mène une droite à l'une des deux traces, cette droite passera par la seconde trace (théorèmes 17 et 20) ^ par conséquent, deux droites conjuguées rencontrent un plan
CINÉMATIQUE. 21 7
quelconque en deux points qui sont toujours en ligne droite avec le fojer du plan.
30. Étudions maintenant les relations de grandeur qui existent entre les divers éléments dont nous venons de considérer les situations relatives.
Soient V la rotation du corps autour de l'axe X;
e la translation de cet axe dans sa propre direction, c'est-à-dire l'espace décrit par chacun de ses points-,
O et 12 les rotations autour de deux droites conjuguées DetA;
(D, X), (A,X), {D, A) les angles que font entre elles les droites D, X ; A, X 5 D, A-,
r la plus courte distance de la droite D à Taxe X -,
p la plus courte distance de la droite A au même axe.
/-h |0 sera la plus courte distance des droites D et A (théorème 22).
Portons sur les axes D, A, X des lignes proportionnelles aux rotations qui ont lieu autour de ces axes, et regardons ces droites comme nous représentant les rotations respectives. On sait que nous pouvons composer ces lignes comme si elles représentaient des forces 5 on sait aussi qu'un couple de rotations est équivalent à une translation proportionnelle au moment de ce couple, et perpendiculaire à son plan.
Ceci posé, transportons les deux rotations O, iî au point où la droite qui mesure la plus courte distance entre les axes D, A rencontre l'axe X. Alors nous avons en ce point trois rotations O, 11, v dont la dernière est la résultante des deux autres ( théorème 13)*, par conséquent
^^' sin (A, Xj ~ sin (D, X) ~ sin{D, A)"
Nous avons fait naître, par ce transport, deux couples
2l8 MÉCANIQUE RATIONKELLE.
de rotations dont les moments sont Or eiClp, Projetons les translations que produisent ces couples, d'abord sur l'axe X, puis sur un plan perpendiculaire à cet axe; il vient
(2) Orsin(D, X) -4-fipsin(A, X) — e,
(3) 0/'cos(D, X) — ilpcos(A, X) = o.
Ces deux dernières équations nous donnent
sin(A, X)cos(D, X)n
=f=Or sin(D,
cos(A, X) J
et, si l'on remplace O par sa valeur en fonction de v tirée des équations (i),
D, A)L ^ ' ' cos(A,X) J
sin (A sin (
D'ailleurs,
(DA) = (DX) +(AX); par conséquent,
(4) ^ = rtang(A, X).
On trouverait de même
(5) î=ptang(D, X).
De ces formules nous tirons cette conséquence (théorème 10), que, lin preinier axe de rotation D étant pris à 'Volonté, r inclinaison du deuxième axe A surVaxe instantané de rotation et de glissemejit X ne dépendra que de la distance du premier axe à ce dernier.
Si la droite D est dirigée suivant la trajectoire d'un de ses points, la droite A sera dans le plan normal à cette trajectoire (théorème 9), et l'on aura
tang (A, X) tang (D, X) = i ;
CINÉMATIQUE. 219
d'où l'on tire, en faisant le produit des équations (4) et (5),
rp ^=^ — ^=- const.
31. Si nous nous servons des équations (i) pour éliminer 11 de l'équation (2), il vient
0(r+ p)sin(D, X) = ê, ou encore, d'après les équations (1),
Ofl (r + p) sin(D, A) = sy.
Le premier membre de cette équation est égal à six fois le volume du tétraèdre qui a pour arêtes opposées les deux lignes O, O., prises sur les axes D et A -, par conséquent, qu'on porte sur deux droites D, A, deux segments proportionnels aux rotations du corps autour de ces droites, le tétraèdre construit sur ces deux segments comme arêtes opposées aura son 'volume constant (*).
32. Projetons sur une droite D les trajectoires de ses différents points-, les projections seront égales entre elles et ne dépendront que de la rotation autour de l'axe simultané A. Soit p l'une de ces projections. Sa valeur sera
/; = il(r+ p) sin(D, A);
en sorte que l'équation du théorème précédent nous donne la relation
Op =3 £y.
On en conclut que la rotation du corps autour dhtne droite quelcojique est en raison inverse du mouvement de cette droite estimé dans sa propre direction.
Soient Q l'angle que la droite D fait avec la trajectoire
(*) Voir p. 81.
220 MÉCANIQUE RATIOINJNELLE.
d'un de ses points a, et q la longueur de cette trajectoire iufiniraent petite. On aura
p ^= q cos 6 , —
et, par conséquent,
O^cosô = su.
Si, par le même point «, on fait passer plusieurs droites D, D', etc., on aura
Ocosô = O'cose' =. . .= — ■
Il s'ensuit que plusieurs droites étant menées par un même point, si l'on porte sur ces droites, à partir de ce point, des segments proportionnels aux rotations du corps autour de ces droites, les extrémités de ces segments seront sur un plan perpendiculaire à la trajectoire du point ^ la rotation minimum aura lieu autour de la trajectoire du même point ^ et cette rotation, multipliée par lo. trajectoire du même point, forme un pioduit constant, quel que soit le point.
33. Considérons un plan V faisant partie du corps en mouvement.
Soient
r la distance du foyer à l'axe instantané X 5 p la distance de la caractéristique à cet axe 5 O la rotation du plan autour de son foyer ; H sa rotation autour de sa caractéristique 5 vs l'angle que le plan fait avec un plan perpendiculaire à l'axe X.
Abaissons du foyer une perpendiculaire sur la caractéristique. On a vu (théorème 27) que cette droite rencontre l'axe X et lui est perpendiculaire. Les extrémités de celte droite sont animées de deux mouvements rectan-
CINÉMATIQUE. 221
gulaires : l'un, parallèle à l'axe de roialion, est égal à e ; l'autre, perpendiculaire à cet axe, est égal à urpour l'extrémité qui est au foyer, et à vp pour l'extrémité qui est sur la caractéristique. Ces deux mouvements se composent en un seul, qui est perpendiculaire au plan P pour la première extrémité, et qui est situé dans ce plan pour la seconde extrémité. On a donc
r=-tang::T, p
u tangCT
d'où l'on tire
rp =: — =: const. ,
- = tanc'cy.
Quand deux plans P et P' sont perpendiculaires, on a, pour ces plans,
tangcT tangcr' = I,
et, par conséquent.
On en conclut que les distances de leurs foyers à Vaxe de rotation ont leur produit constant, et que les distances de leurs caractéristiques à Vaxe de rotation ont aussi leur produit constant.
34. Les deux rotations du plan autour de son foyer, et autour de sa caractéristique, ont pour résultante la rotation V autour de l'axe X ; on a
O = u ces CT , £i = u sin CT .
Dans le plan P menons une droite quelconque D, et nommons (G, D) l'angle que cette droite fait avec la caractéristique. Le trièdre dont les arêtes sont parallèles à
222 MÉCANIQUE RATIOMNELLE.
l'axe X, à la caractéristique et à la droite D, est rectangle le long de l'arête parallèle à la caractéristique (théorème 27 ) . On a donc
cos(D, X) = sincrcos (C, D),
et, si l'on a égard à l'équation précédente,
iicos(C, D) = ucos(D, X);
de sorte que, pour chaque plan mené par une même droite D, on a
ii cos (C , D) = const .
Nous proposerons comme exercice de démontrer par l'analyse quelqu'une des propositions qui précèdent.
CINÉMATIQUE. -223
