Nous n'aurons nullement besoin

de l'équation de la courbe décrite ; il nous suffira de connaître les rayons de courbure r et r' des courbes S' et S". Pendant la rotation infiniment petite que la courbe S^' effectue autour de son point de contact comme centre instantané de rotation, nous pouvons substituer aux deux courbes S'', S' leurs cercles osculateurs au point de contact, et supposer que le premier de ces cercles roule sur l'autre en entraînant le point m-^ l'élément de la courbe décrite ne sera pas altéré.

i j. Soient donc n le point de contact entre les courbes S', S''^ O, O'ies centres des cercles osculateurs à ces courbes au point n.

CIWÉMATIQUE. 22^

Faisons rouler le cercle O' d'une quantité infiniment petite. Soient n' le nouveau point de contact, et m' la nouvelle position du point m. Les droites mn, m'n' sont deux normales infiniment voisines de la courbe décrite par le point m, leur intersection c est le centre de courbure. Supposons que l'arc infiniment petit un' soit égal à re; alors la droite mn a décrit autour du point n un

angle égal à la somme ] des rotations simultanées

autour des centres O, O'; en sorte que l'élément mm'

perpendiculaire à mn est égal à nm s ^ — D'ailleurs,

si Ton nomme a et jS les angles O'nm et O'mn^ la projection un" de un' sur une parallèle à mm' a pour valeur re cos a. On a donc

nie mm' [r -\- r') nm 'ne nn" rr' cos a

, > me

,ic r cos a sin ^

De cette équation on tire, en observant que m.n=}nc — iic^

— (7- + /^')sin(«-|- B)

me z=z . — — '— mn .

r' SU! (a + Bj +7-smacosp

Telle est la valeur du rayon de courbure.

Si le point m se trouve sur le contour du cei'cîe mobile, aloi's ,6 =: a et

C'est la valeur du rayon de courbure dans une épicycloïde. Lorsque les deux cercles O, O' ont leurs centres d'un

même côté de la tangente commune, le signe de r seul est changé.

6. A l'aide des mêmes principes on peut encore résoudre aisément plusieurs questions particulières. Nous n'en traiterons ici qu'une seule, que nous aurons l'occasion de rappeler plus tard.

Trouver la développée d'une épicjcloïde.

Considérons une épicycloïde extérieure mm^ ; tous nos

raisonnements s'appliqueront sans difficulté à une épicycloïde intérieure. Soient O le centre du cercle fixe, r son rayon, r' celui du cercle mobile, m le point décrivant, ii le point de contact, et np le diamètre qui passe à ce point. Puisque mn est normale à l'épicycloïde, nip est tangente, c'est-à-dire que la tangente à une épicycloïde extérieure est la droite qui passe au point de contact du cercle mobile avec le cercle, enveloppe extérieure du cercle mobile dans ses positions successives. De là il suit que la droite tnn est tangente à toute épicycloïde extérieure pf^i, où le cercle r joue le rôle de cercle enveloppe, pourvu que le point décrivant f/. se trouve sur la droite mn, lorsque le cercle mobile de cette épicycloïde touche son enveloppe au point n.

Ceci posé, faisons rouler les cercles mobiles des deux épicycloïdes mirii, [x^j-u de manière que ces deux cercles restent toujours en contact. Soient n' le nouveau point de contact, m^ la nouvelle position du point m, p.i la nouvelle position du point [/., a l'angle nOn' et p, p' les rayons du cercle fixe et du cercle mobile dans la nouvelle

CINÉMATIQUE.

épicycloïde. On a

arc /7;,/2 = arc mn — ra., arc p., n' = arc u.n ■ — pa,

ou bien, considérant les angles au centre sous-tendus par ces arcs dans les cercles auxquels ils appartiennent,

angle m, «' -^^ angle mn ■ -a.,

angle p.,/?' = ancîle p.« — • -7 =«•

Or, puisque le point pi est, par hypothèse, sur la droite m«,

angle mn = angle p.«;

d'où l'on voit, eu égard aux équations précédentes, que le point [J-i sera sur la droite m.^n' ^ si Ton a

Cette condition étant satisfaite, la seconde épicycloïde est la développée de la première. On en conclut que la développée d'une épicycloïde est une épicycloïde semblable.

7. Nous compléterons ces applications par l'étude et le tracé de quelques machines usuelles.

Bielle. — Soit une bielle AB qui transmet le mouvement d'un balancier OA à une manivelle O'B, O et O' étant les deux centres de rotation. Prolongeons OA et O'B jusqu'à leur rencontre en C. Le point C est le centre instantané de rotation relatif à la bielle-, par conséquent, les différents points de ce corps tournent autour du