II. a*ÉDIT. I
2 MÉCANIQUE RÂTIOMlfELLE.
Solution.
» Soient A, B, C, etc., les corps qui composent le » système, et supposons qu^on leur ait imprimé les mou- » vements o^, ill), ©, etc., quMIs soient forcés, à cause de )) leur action mutuelle, de changer dans les mouvements » a, fc, c, etc. Il est clair qu^on peut regarder le mouve- » ment A> imprimé au corps A comme composé du mou- » vement a qu'il a pris et d'un autre mouvement a ; qu'on » peut de même regarder les autres mouvements lib) » G, etc., comme composés des mouvements &, (3; c, )) X, etc. \ d'où, il suit que le mouvement des corps A, » B, C, etc., entre eux aurait été le même si, au lieu de » leur donner les impulsions X, ofl», C, etc., on leur eut » donné à la fois les doubles impulsions a, a^ &, /3^ c, )) x, etc. Or, par la supposition, les corps A, B, C, etc., » ont pris d'eux-mêmes les mouvements «, i, c, etc 5 donc )) les mouvements a, j3, x, etc., doivent être tels, qu'ils » ne dérangent rien dans les mouvements a, ft, c, etc., » c'est-à-dire que si les corps n'avaient reçu que les mou- » vements a^ |3, x, etc., ces mouvements auraient dû se » détruire mutuellement, et le système demeurer en repos.
)) De là résulte le principe suivant, pour trouver le mou- » vement de plusieurs corps qui agissent les uns sur les » autres. Décomposez les mouvements X^ i)l>, C, etc,^ D imprimés à chaque corps, chacun en deux autres a^0L\ )) é, /3; c, X, etc, qui seront tels^ que, si Von n'eût im- » primé aux corps que les moui^ements a, t, c, efc, ils » eussent pu conserver ces mouvements sans se nuire ré- )) ciproquement, et que^ si on ne leur eût imprimé que » les mouvements a, |3, x, efc, le système fût demeuré » en repos i il est clair que a, b^c^etc, seront les mou- » vements que ces corps prendront en vertu de leurac- » lion. Ce qu'il fallait trouver. »
DTJIÂMIQUC. 3
U parait qu'avant d' Alembert, Fontaine avait aperça le principe qui nous occupe; car dans la Table des Mémoires de Fontaine, qui précède son Traité de Calcul différentiel et intégral (p. 3), nous trouvons qu*il avait communiqué ce principe à l'Académie en 1 739. Toutefois, les idées de Fontaine sur ce sujet ne furent publiées que longtemps après l'apparition du Traité de Dynanuque, et d^AIembert a certainement rhpnneur d'avoir montré la merveilleuse fécondité du principe. Une des plus belles applications qu'il en fit eut pour résultat la solution complète du problème de la précession des équinoxes, problème qui jusqu'à cette époque avait résisté aux efforts réunis d'un grand nombre de géomètres et de Newton luimême.
On peut encore voir l'origine de la découverte de d' Alembert dans un Mémoire de Jacques BernouUi publié en 1686 dans les jicta entditorum, sous le titre : Narratio controi^ersiœ inter Dn. Hugenium et jibbatem Catela» numagitatœ de centra oscillationis , etc, (^)« Il s'agissait du pendule composé. BernoulH commit une méprise dans la solution; néanmoins il montra comment un problème de Dynamique peut se ramener à un problème de Stati • que, ce qui est le fond de la méthode de d' Alembert (**).
(*) Jacqcis Bunoclli, Oprra, t. I, p. 377.
(**) Voici le raiftonnemeDt de Bernonlli :
Soient A, A' deux poids égaux liés à une droite rigide et libre de tourner dtns un plan vertical autour de son extrémité ; le premier de ces poids sera le plus éloigné de l'extrémité fixe. Le système étant écarté de la rerticale, on Tabandonne à loi-même. Soient r et r' les distances des poids an point de suspension, v et v' les vitesses de ces poids correspondantes à une position du système choisie à Yolonté, u et u' les Titessas qu'auraient ces deux corps aux mêmes points s'ils étaient descendus dans les mêmes circonstances ioitiales en formant chacun un pendule séparé. La liaison du système a fait acquérir au corps A la vitesse i» — u, et au corps B la vitesse négative — {u! — i^' ) ; or ces vitesses acquises doivent se faire équilibre en vertu de la liaison, laquelle constitue un levier; donc
4 MÉCANIQUE RÂTIO»I«ELLE.
On trouvera de plus amples développements sur ce point de l'histoire des sciences dans la Mécanique ana- Ijrtiquede Lagrange, IP partie, i''*' section, et dans VHistoire des Mathématiques de Montucla, IV" partie, vu* livre, § 3, et V* partie, m* livre, § 4- Dans les Traités modernes, on énonceleprincipe de d'AIembert sous Tune des formes suivantes :
Lorsqu'un système matériel est en moui^ement sous V action de forces quelconques^ les forces qui seraient capables de produire le moui^ement obsen^éy si tout le système était libre ^ font équilibre, en vertu des liaisons^ aux forces réellement appliquées prises en sens contraires,
Lorsquun système matériel est en moui^ement sous V action de forces quelconques, les forces perdues se font équilibre au moyen des liaisons.
Souvent, pour abréger, on nomme forces effectives les forces qui produiraient le mouvement observé si tout le système était libre.
SECTION I
MOUVEMENT d'uN POINT MATÉRIEL.
1 . Nous allons d'abord déterminer le mouvement à *un point matériel assujetti à rester dans l'intérieur d^ un tube qui change à chaque instant de position et même de forme.
Nous supposerons le tube assez étroit pour que le point
v — uiu'-'v'iir'rr. Telle est la relation qui détermine le mouvement du système.
Si Hernoulli eût remplacé les vitesses acquises pendant un temps fini
par les vitesses acquises pendant un temps infiniment petit, -7-9 -7-9 son
raisonnement eût été une application exacte du principe attribué à d'Alembert.
dthàhique. 5
maiéricl ne puisse pas osciller transversalement dans son intérieur, et nous négligerons le frottement. L'axe de ce tube pourra former une courbe à double courbure.
Rapportons le système à trois axes rectangulaires fixes dans Tespace. Soient :
X, y, z les coordonnées du point matériel à Tépoque <;
X -f- dx^ y 4- dy^ z -{- dz les coordonnées du même point à Tépoque infiniment voisine t-\' dt\
x-f- Jx, y-^-dy-) z -{- ^z les coordonnées d'un point du tube infiniment voisin du point (x, y, z)'y
Xy Y, Z les composantes parallèles aux axes des forces accélératrices extérieures qui sollicitent le point matériel.
Donnons au point mralériel un petit mouvement virtuel qui le fasse passer de la position (x, y y z) à la position (x ■+• Sx^y -+• $y^ Z'\-$z).Le principe de d'Alembert, combiné avec celui des vitesses virtuelles, nous fournit Téquation
Les coordonnées x,^, z sont encore assujetties à vérifier les équations du tube,
Ces trois équations pourront nousdonnerx, j , z en fonction de ty et alors le problème sera résolu.
Clairaut a traité cette question et plusieurs autres du même genre dans un Mémoire qui fait partie du Recueil de l'Académie des Sciences pour 1742.
Appliquons ces formules à quelques exemples :
2. Un tube rectiligne, situé dans un plan hon'zontalj tourne autour de l'un de ses points av^ec une vitesse an^ gulaire telle, que la tangente de V angle décrit soit pro-
6 MÉCANIQUE RATIOIfrîELLE.
portionnelle au temps. Détetminer le mous^ement d'un point matériel placé dans r intérieur de ce tube.
Nous prendrons le plan horizontal pour plan des :r^, et la position initiale du tube pour axe des x.
Soit y = litx l'équation du tube à Tépoque t] k sera une constante.
Appliquant la formule générale (Â), on n'a pas à considérer les termes en z, et l'on doit poser
Xi=Y=ro, Sjr~At$x.
Il vient
De plus, l'équation du tube donne la relation
d^r , d^x , dx
dt^ dt^ di
Eliminant -7—5 on obtient une relation entre les deux dt-
variables x et t,
d^x dx ih^t
dt^ ' dt ' 14- AU' ^' L'intégrale première est
log— -f-log(i H- ^'r')i=:const.,
ou, si l'on nomme jS la vitesse initiale du point dans le tube,
On tire de là, en nommant a la valeur initiale de x, jr 1=1 fl H- y arc taDg( Ar),
et par suite,
f = aAt -f- pr arc tang (//).
DTHAJfIQUE. 7
Prenons des coordonnées polaires r, 9, dont Torigine soit au centre de rotation, et dont l'axe soit la direction initiale du tube.
Nous aurons, d'après les valeurs précédentes,
d'où résulte Féquation de la trajectoire,
flX H- 60
