X-cosO

3. Déterminer le mouvement d ^un point pesant, placé dans r in teneur d*un tube rectiligne qui décrit un cône droit autour de la verticale, d^un moui^ment unifonne.

Soient a Tînclinaison du tube sur la verticale dirigée de bas en haut, et o) la vitesse angulaire de la projection da tube sur le plan horizontal.

Prenons Torigine au sommet du cône, Taxe des z dirigé en sens contraire de la pesantetn*, et Taxe des x dans le plan vertical qui contient le tube à Torigine du temps. La vitesse (ù sera comptée positive lorsque le mouvement en projection horizontale aura lieu de Taxe des x vers l'axe des j^.

Il nous faut poser dans la formule (A)

puis éliminer deux des coordonnées x, y^ z k Taide des équations du tube,

r Jx^ -h r'

- = UDgur, =z taDga.

Mais nous arriverons à des formules plus simples, si nous employons des coordonnées polaires, savoir les angles a, (ùtj et la distance r du sommet du cône au point matériel comptée positive de bas en haut.

8 MÉCANIQUE RÀTIONlfELLE.

Les formules de transformation sont les suivantes :

x=z rsinoLCOSoit^

^ = rsinasin«r,

z = rcosa.

On en tire

^x=:-^r, $Yz=-ir. Sz=^êr.

D'après ces valeurs, la formule (A) donne d'abord l'équation

Mais il faut remplacer ici les variables x,y, z par les variables r, a et £, à l'aide des relations (i). Afin d'abréger cette substitution, observons que si l'on différentie deux fois la relation

on aura xd-X'\-xd^y'\-zd^zz=zdr^-^ rd^ r — (dx* -\- dy^ -h dz^).

D'ailleurs la quantité dx^-i- 4>^*-H ^/^* qui figure ici représente le carré de la distance de deux points infiniment voisins situés sur la surface du cône; et le carré de cette distance peut encore se représenter par la somme €//•'-+- r'sin^a.w*^/r%

car cette distance est Thypoténuse d'un triangle rectangle infiniment petit dont les côtés sont drel rsina,(ùdt. On a donc

xd^x-\-yd^y -h zd^z =zrd^r — r'sin'a.wV^^ Substituant cette valeur, on trouve Téquation transformée

-z-ç — rw'sm^a H- g cosa = o,

dt^ \ w'sm «/

DTHAXIQUE. 9

dont Tintëgrale est

Les coDstantes C et C se déterminent par les données initiales.

Sapposons que le point matériel soit lancé du sommet da cône le long du tube avec la vitesse u.

Nous aurons

4^ = C+C, -4- = C-C'; M'sin'a usina

d'où

u — -rota «H- -cola

^COSa « MfsiDa « — wlsina

w'sin'a 2&>siDa 2&>sina

Si M >> ~ cota, r croit jusqu'à Finfini , le mobile s'éloigne indéûniment.

Si 1/ = ~ cota, rcroit sans cesse, et s'approche toujours

de la valeur , . ■ sans jamais pouvoir l'atteindre. Ainsi

le mobile se meut toujours dans le même sens, mais ne dépasse pas une certaine position.

Si M <^ - cota, alors, posant

jur

U = -cota — ^, nous avous

usina 2 usina 1^ ' J

d'où nous voyons que si la vitesse u est positive, le mobile

10 MÉGAiriQUE RATIONNELLE.

cesse de monter pour commencer à descendre à Tépoque

■ = — -' — log ( n- ^ I î 26>sina ^ \ à J

pour laquelle — s'annule. Depuis cette époque le mobile

descend indéflniment dans la partie inférieure du tube avec une vitesse toujours croissante.

Examinons maintenant le cas où le tube tournerait dans le plan horizontal.

Il faut poser a = - dans Téquation (2). Elle devient

Admettons que le point matériel parte sans vitesse initiale d'une distance au centre égale à c, et représentons par C7 l'arc décrit dans le temps t par le point du tube d'où le mobile est parti. Alors l'équation de la trajectoire pourra s'écrire.

Sous cette forme, elle représente une chaînette dont (7 serait l'abscisse et r l'ordonnée.

Ce cas particulier constitue le premier problème où l'on ait étudié le mouvement d'un point matériel assujetti à rester sur une ligne mobile. Il est dû à Jean BernouUi (*). Ampère l'a résolu dans les Annales de Gergonne, t. XX, p. 37.

4. Étudions le mou\^ement d^un point matériel assujetti à rester sur une surface qui cliange à chaque instant de position et déforme,

(*) Opéra, t. IV, p. a48.

On pourra se représenter le point matériel comme renfermé entre deux surfaces parallèles infiniment voisines. Nous ferons abstraction du frottement.

Soient :

x^jy z les coordonnées du point matériel à l'époque i ;

X H- dx^ y + dj^ z -^ dz les coordonnées du même pointa Tépoque infiniment rapprochée t -^ dt'^

X 4- 5x, j^ $j^ z -hàzles coordonnées d'un point de la surface infiniment voisin du point (x^j^z)]

Xy Y, Zles composantes parallèles aux axes des forces accélératrices extérieures qui sollicitent le point.

Le principe ded'Alembert, combiné avec celui des vitesses virtuelles, nous donne Féquation

Les variables x,j^, z, t doivent encore vérifier l'équation de la surface mobile,

Cette dernière équation nous permet d'éliminer la variation âz] car elle nous donne

^F ^ ^F , ^F ^ <£r eix dz

Il en résulte

Maintenant les variations Jx, ^j sont tout à fait arbitraires; il faut donc que leurs coefficients soient séparément nuls. Ceci nous fournit les trois équations sui-

12 MéCAHIQCE RATIONNELLE.

vantes, dont Tune est une conséquence des deux autres,

\dr ) dy \dt^ I dz'

\'dF'^^)lh-\dF~^)d^'

\de' )dx~~\dt' )dy'

Deux de ces trois équations, conjointement avec celle de la surface, détermineront x, j^ z en fonction de f , et le problème sera résolu.

5. Déterminer le moii\^ement d*un point pesant y lancé le long d^un plan qui tourne uniformément autour (Vun axe horizontal.

Prenons l'axe de rotation pour axe des x, la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur pour axe des z, et Tinstant où le plan est horizontal pour époque initiale. Nommons « la vitesse angulaire du plan comptée positive lorsque la rotation a lieu de l'axe des^ vers Taxe des z.

Nous avons d'abord

d^.T . dW ^ (dH \ ^

Au lieu d'éliminer^ par l'équation du plan, - = tangoi)^

il nous sera plus commode de remplacer les coordonnées j^, z par l'angle décrit cof et par la distance du mobile à l'axe de rotation. Soit r cette distance. Les formules de transformation

jr=zrcoS(»>t, z:r=rsinwr donnent

d^y d^r dr ^

A» dt^ dt

d'z . d^r dr

(j) — = sm6>/.- h 2WC0SW/.-; &>^sin&>r.r.

^ ' dt' di^ de

DYNAMIQUE. l3

De ces valeurs on conclut l'équation transformée

Ici lxe\ir sont à volonté ; on doit doue poser

——-=0 et -7-7 — w'r — FSin6)r=o.

di^ dt^ ^

La première équation a pour intégrale

l'intégrale de la seconde s'obtient par la méthode commune des équations linéaires ; elle est

(2) r=:zBe<"'-f-B'tf-"'— -^^sinw/.

Les quatre constantes A, A', B, B' se déterminent sans difficulté, quand ou connaît la position et la vitesse initiales.

Supposons en particulier que le mobile parte de l'origine des coordonnées sans vitesse initiale. Alors

A = A'=:o, B=:j— :> B'= — -T--; et par conséquent

^ = 0, r = -A (e*"— ^-«' — îsinwO-

Lorsque t est très-grand, le mobile décrit dans l'espace une courbe qui est à très-peu près la spirale logarithmique

l'angle Q tenant ici la place de (ùt.

Nos formules supposent que le point matériel reste sur le plan. Or, si le point matériel est simplement posé sur

l4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

le plan, il finira par Tabandonner. Déterminons Tépoque à laquelle cette séparation aura lieu.

Soit R la réaction que le plan exerce sur le mobile. Il y a constamment équilibre entre la réaction R, la pesanteur et la force accélératrice effective prise en sens contraire^ par conséquent les'projections des deux premières forces sur la verticale sont égales à la projection de la troisième. De là Téquation

— =^-Rcosa,f.

Si l'on y remplace — par sa valeur en r et «, donnée plus

haut (i), puis r et ses dérivées par les valeurs en t qui résultent de l'équation (2), il vient

R = 2g^ coswr — 2»^ (b^"' — B'tf-"' ).

Ainsi la réaction est nulle, et, par suite, le mobile abandonne le plan, à Tépoque qui vérifie Téquation

^cos«^=:Be*"'-B'6r-"^

6. Déterminer le mouuement iVun point matériel placé dans V intérieur d'un tube circulaire, qui tourne uniformément dans un plan horizontal autour de l'un des points de sa circonjérence , On supposera le point matériel placé sans vitesse initiale à V extrémité du diamètre qui passe au centre de rotation.

Soient Cl) la vitesse angulaire, et 9 l'angle au centre mesuré par l'arc que le point matériel a parcouru sur le cercle mobile.

On trouve

sin - =r

DYNAMIQUE. l5

doù Ton Yoit que le point matériel s'avance sans cesse Ters le centre de rotation, sans jamais pouvoir Tatteîndre.

7, Déterminer le mouv^ement d'un point pesant assujetti à se mouv^oir sur un plan, qui tourne av^ec une vitesse uniforme autour d'un axe vertical situé dans ce même plan.

Soient co la vitesse angulaire du plan, r la distance du mobile à Taxe de rotation, z la dislance du même point au-dessous du plan horizontal qui contient sa position

initiale, a, a et 6 les valeurs initiales de r, — et -7- • ' ' "^ ^ dt dt

On trouve

z = lgt^-^^t.

d'où l'on tire Téquation de la courbe décrite sur le plan,

^ ft»a -I- a g

8. Un point pesant glisse sans frottement sur une courbe Lee à un axe vertical, autour duquel elle tourne uniformément^ on demande à quelle condition cette courbe doit être assujettie pour que le point glisse d'un mouvement uniforme.

Conservons la notation du problème précédent, et soient x, r, z les coordonnées d'un point de la courbe, ds la difTérentielle de Tare.

dz « • La composante langentielle de la pesanteur, g ^? doit

faire équilibre à la composante tangentielle de la force

l6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

centrifuge, w" [^•J- + J -f-j^ donc

gdz -f- w* (xda: -{-yd^y) = o, « H (x^ -f- r') := const.

Ainsi, la courbe doit être tracée sur un paraboloïde de révolution autour de Taxe de rotation^ le paramètre de la

parabole génératrice élant ^«

Question proposée au concours d^ agrégation ^ année i85o.

SECTION n.