MACHINES MISES EN MOUVEMEKT PAR LES FLUIDES

1 . Équation de la transmission du travail appliquée aux roues hydrauliques en général, — Nous nous proposons ici de calculer le travail moteur que l'eau transmet aux principales roues hydrauliques, lorsque le mouvement de la machine peut être considéré comme uniforme, et celui du liquide comme permanent. Ce calcul nous donnera des indications précieuses sur la valeur dynamique et la disposition la plus convenable de ces récepteurs. Commençons par établir Téquation générale.

Imaginons dans la colonne d^eau deux sections perpendiculaires au courant et très-voisines de la roue, Tune en amont, l'autre en aval. C'est à la masse liquide comprise entre ces denx sections, à une époque donnée, que nous allons appliquer le principe de la transmission du travail .

Soient :

y la vitesse moyenne du liquide dans la section en amont-,

%>' la vitesse moyenne dans la section en aval;

h la distance du centre de gravité de la deuxième section au plan horizontal qui passe par le centre de gravité de la première section ;

Q le volume du liquide qui traverse chacune des sections pendant Tunité de temps;

p la densité du liquide, ou le poids de l'unité de volume divisé par le nombre g ;

Tf le travail produit pendant Funité de temps par les frottements et actions mutuelles du liquide agité-,

T,„ le travail du à la pression de la roue sur le liquide pendant Tuni té de temps, lequel est égal au travail moteur transmis par le liquide à la roue.

532 MÉCANIQUE RÀTIOKMELLB.

L'accroîssemenl de force vîvc de la masse liquide^ pendant Tinslant infiniment pelit dt qui suit IVpoque cousidérée, est pQ (^'* — ^^) dt-. Le travail des forces qui agissent pendaift ]e même instant sur cette même masse liquide comprend le travail de la pesanteur gpQhdt, le travail — Tfdt et le travail — Tmdt. On a donc

et, paç suite,

(A) T«. = ^pQA-h^pQ(p^-p'^)-T/.

Quand il s'agit d^établir une roue hydraulique, les quantités données sont ordinairement la dépense Q et la hauteur de la chute, c'est-à-dire la difTérence de niveau entre deux réservoirs situés Tun en amont de la roue, l'autre en aval, dans lesquels la vitesse de l'eau est nulle ou très-petite.

Nous désignerons cette hauteur de chute par H.

On devra employer une partie A^ de la hauteur H à faire acquérir à la colonne liquide la vitesse ^ avec laquelle Teau doit arriver sur la roue ; l'autre partie de la hauteur de chute sera employée tout entière h faire agir l'eau sur le récepteur, autrement on n'utiliserait point toute la chute. De plus, on évitera autant que possible les pertes de force vive dans le canal d'amenée, afin de procurer la vitesse v' avec la plus petite hauteur possible h^. Admettons qu'on soit parvenu à éviter ces pertes de force vive. Alors on aura

et (A)

Cette formule nous montre que le travail utile T^ i><?

HYDRODYNAMIQUE. 533

peut jamais surpasser la quantité g^pQH, et s'en approche d'autant plus que u' et T^-sont plus petits. De là résulte cette double condition du bon rendement des roues hydrauliques, que Veau arrive sur la roue sans choc, et la quitte sans "vitesse,

La quantité gpQH, qui mesure le travail de la pesanteur dans le passage de Teau du bief supérieur au bief inférieur, est ce qu'on nomme la puissance absolue de la chute.

2. Jioue à augets, — On peut admettre, avec une approximation suflfisante, que Teau reçue dans les augets prend la vitesse de la roue, et en sort avec la même vitesse.

Fig. f)0.

L*eaa, arrivant sur la roue avec la vitesse i^, change donc rapidement cette vitesse contre la vitesse i^' de la cir«

534 MÉCANIQUE AATiOIiliELLB.

conférence extërîeare de la roue. Ce changement de vitesse accuse un travai] résistant Ty, égal à la demi-somme des forces vives due^aux vitesses perdues (voyez p. 484). Si l'on nomme w la vitesse perdue, qui n'est autre que la vitesse de Teau affluente, estimée relativement à la circonférence extérieure de la roue, on aura

«»^ = f' -h p'' — 2 w' COS ( •», p' ),

et, par conséquent,

T/ = - pQ[p^ -h p'> — 2Pp' cos (p, p')].

Si l'on pouvait admettre que les augets se vident instantanément, lorsqu'ils arrivent à l'extrémité de la roue qui touche la surface du bief inférieur, le travail de la pesanteur serait g'joQA, etTon aurait (A)

(i) T^ = ^pQ/i -h pQi>' [f cos(P, /) — p'].

Cette formule n'est applicable qu'aux roues lentes, dont les augets ne sont point remplis entièrement ^ encore, pour la faire concorder avec les résultats de l'expérience, fautil multiplier le terme gpQh par un coefficient de correction, égal à 0,78 si les augets sont remplis à moitié, égal à o,65 si les augets sont remplis aux deux tiers.

Pour construire une formule plus exacte, il est nécessaire de connaître la quantité d'eau que renferme chaque auget dans une position donnée.

Considérons une molécule M, située à la surface du liquide qui est renfermé dans l'auget. La pesanteur g et les 'forces égales et contraires aux forces accélératrices qui produiraient le mouvement de la molécule, si elle était libre, doivent se faire équilibre sur cette molécule en vertu des liaisons et, par conséquent, doivent avoir une

HYDRODY^'ÂMIQCE. 535

résultante normale à la surface du liquide. Il nous est facile de déterminer celle surface , car le mouvement réel de la molécule diflere jpeu d'un mouvement circulaire uniforme, égal à celui de la roue, en sorte que les secondes forces se réduisent à peu près à la force centrifuge.

Soient o) la vitesse angulaire de la roue, r la distance de l'axe à la molécule considérée, R la résultante de la pesanteur g et de la force centrifuge od'r, ci I le point où la direction de cette résultante rencontre le rayon vertical OI qui est situé avec la molécule M dans un même plan perpendiculaire à Taxe de la roue.

II est aisé de voir, par la considération de deux triangles semblables, que Ton a l'égalité

La position du point I déterminée par celte dernière relation étant indépendante de la distance r, il s'ensuit que les normales aux diflerents points de la surface du liquide s'appuient toutes sensiblement sur une même droite horizontale I, située avec l'axe de la roue dans un même plan vertical. La surface de Veau dans chaque auget est donc à peu près celle d^un cylindre circulaire, dont Vaxc est parallèle à Vaxe de la roue et situé dans le même plan vertical, à une hauteur au-dessus de cette

droite éeale à —^ •

D'après cela, on peut aisément déterminer la position de l'auget où le déversement commence. A cet effet, on tracera le proGl de la roue et les profils circulaires des surfaces de niveau qui passent au bord de chaque auget; on aura, par cette construction, le profil du plus grand volume d'eau que chaque auget puisse contenir; ce volume pourra se calculer approximativement par la méthode des

536 MÉCANIQrE RATIONKELLE.

quadratures. Après quelques tàtonDemeiits, on trouvera la position deTauget où ce volume est sensiblement égal au volume d'eau reçu, lequel est égal au quoiieiit du volume Q par le nombre des augets qui passent dans l'unité de temps. Cette position sera la position cherchée.

Soient A' la hauteur du bord de Tauget où le déversement commence au-dessus du niveau du bief inférieur, q le volume variable de Teau qui reste dans Tauget lorsqu'il descend au bas de la roue, et w le nombre des augets qui passent dans Puni té de temps.

Pendant que la roue tourne de l'intervalle compris entre deux augets consécutifs, Tcau contenue dans les augets qui ont commencé à se vider produit par son poids un travail égal à celui que produit Teau contenue dans un seul auget, pendant tout le temps que cet auget met à sr vider. Le travail de la pesanteur pendant Tunité de temps est donc

gpq{/i-/i')-^gpn j qdh.

L'intégrale / qdh se calculera par la formule de Thomas Simpson. On mesurera sur le proGl le volume d'eau qui reste dans i'auget pour cinq positions, correspondantes aux hauteurs du bord o, y h\ - A', 7 h'^ h' . Nom-

mant q^^ ^,, 9,, ^3, q,, ces volumes, on aura, avec une approximation suffisante,

qdh :=z — [r/, -f- 2^,-4-4(^1 -+- 73) -^ Ç*]'

Ainsi, quand on tient compte du temps que les augets mettent à se vider, la formule qui exprime le travail mo-

HYDRODYNAMIQL'E. 537

leur est

Si l'ou suppose Q, ^Q, ^1,..., exprimés en mètres cubes, h et A' en mètres, i* et i^' en mètres par seconde et T„ en kilogrammètres, la formule devient

T«=: ioooQ{A -h') -h- ^/<' [7.^-27^-^4 (71-^^3)-»- 74]

-h I02Qp' [»'cos(p, /) — c'].

Le quotient de ce nombre par y5 est le nombre de chevaux qui mesure la force de la roue.

Cette dernière formule est entièrement d'accord avec les résultats d*expériences faites dans des circonstances très-variées. Elle est due à M. Poncelct.

On voit que, toutes choses égales, le travail utile augmente a mesure que Tangle (^, ^') diminue^ mais cet angle ne sera jamais nul, sinon Feau n'entrerait pas dans les augets. Il faudra toujours donner aux augets une disposition convenable pour que Icau s'introduise facilement, sans qu'aucune partie soit rejetéc au dehors.

Si IW admet la relation i/= ^igh^^ la formule (2) peut s'écrire

T. = ^pQ iH — h') -h gon — [y. -+- 27, -f- 4(^, -h 7,) -h 74]

— -pQ[p*-f-2^*— 2«v'cosfp, •)].

Sous cette forme, on voit que le travail résistant représenté par le dernier terme décroit à mesure que les vitesses ^ et v' diminuent; de plus, â mesure que la vitesse de la roue diminue, le déversement anticipé est moins

considérable, et par conséquent la somme des deux premiers termes s'approche d'être égale à la puissance absolue de la chute. Donc il y a de l'avantage à amener Teau avec une petite vitesse et à faire tourner la roue lentement. La vitesse dun mètre à la circonférence donne eu général les meilleurs résultats.

3. Roue en dessous à aubes planes emboîtées dans un coursier. — Nous suivrons ici une marche un peu différente. Considérons la colonne liquide qui se trouve comprise, à une époque donnée, entre deux sections AB, A'B'

Fig. 91.

perpendiculaires au courant, Tune en amont de la roue, Tautre en aval.

Soient :

^ la vitesse moyenne sur la section AB;

u' la vitesse moyenne sur la section A'B';

/ la hauteur du niveau au-dessus du fond du coursier sur la section d'amont;

/' la hauteur analogue sur la section d'aval ;

Q le volume de l'eau qui traverse chaque section dans l'unité de temps;

HYDRODYNAMIQUE. 53g

F la composante des actions de la roue sur la colonne liquide en sens contraire du courant;

P la somme de toutes les autres pressions que supporte la colonne liquide, estimées dans la direction du courant;

p la densité du liquide ;

m la masse de Tune de ses molécules;

X la distance de cette molécule à un plan Cxe parallèle à l'une des sections extrêmes, cette distance étant comptée positive dans le sens du courant.

Exprimant que les composantes horizontales des forces perdues se font équilibre sur la colonne considérée, il vient

La somme "V m -— est' la dérivée de la quantité de

mouvement de la colonne liquide^ prise par rapport au temps. Puisque le mouvement est permanent, Taccroiasement de la quantité de mouvement, pendant Tinstant infiniment petit dt qui suit l'époque considérée, se réduit à la dilTérence entre les quantités- de mouvement des deux petites parties du liquide qui traversent les plans fixes A'B', AB pendant le môme instant, savoir pQdlXu^ — pQdtXi^. La dérivée est donc pQ(v^' — *'). Par suite,

La somme P comprend la pression atmosphérique, la résistance due au frottement contre les parois du coursier, et enfin les pressions exercées par le liquide adjacent aux extrémités de la colonne. Les composantes horizontales des pressions qui proviennent de l'atmosphère font évidemment une somme nulle. La résistance qui

54o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

naît da frottement est peu considérable, vu la petite longueur de la colonne; on peut la négliger. Ainsi P se réduit à la somme algébrique des pressions exercées aux extrémités de la colonne. Si Ton observe que les aires des

sections AB, A'B' sont respectivement —> -^» il vient

ou bien, puisque ZV= /i/,

La pression F mesure Teffort horizontal que supporte la roue. On peut, sans erreur considérable, supposer cette force appliquée sur la circonférence extérieure, dont la vitesse est sensiblement égale à (^, et négliger le travail utile provenant des actions verticales; alors on aura

Substituant ces valeurs dans l'équation (i), il vient

Lorsque les quantités v», Q, / sont données, la vitesse u' qui rend un maximum l'expression précédente du travail moteur, vérifie l'équation dérivée,

ce qui donne une valeur du rapport - un peu supérieure Quand on exprime Q en mètres cubes, / en mètres,

UYDRODYHTAMIQLE. 54 1

^' et i^' en mèires par seconde et T„ en kilogranimètres, la formule devient

T,= io2Qp'(c' — i^') — 5ooQ/(-, — -V

Cette formule est due h M. Bélanger. Avant cet auteur on négligeait ladiiïérence du niveau en amont et en aval de la roue; en sorte que le second terme de la formule disparaissait, bien qu^il ne soit nullement négligeable vis-â-vis du premier.

Les roues en dessous à aubes planes n'utilisent qu'une faible fraction de la puissance absolue de la chute; sous ce rapport elles sont bien inférieures aux roues à augcts. Ce défaut vient en grande partie de ce que l'eau est forcée de changer brusquement sa vitesse pour prendre celle des aubes.

4. Roue en dessous à aubes courbes emboîtées dans un coursier. — M. Poncelet (*) évite l'inconvénient que

Fig. 93.

nous venons de signaler, en remplaçant les aubes planes

(* ) Mémoire sur les rouet à aubes courbes; 1827.

54 a MÉCANIQUE RATIONNELLE.

par des aubes cylindriques présentant leur concavité au courant. La courbure de ces aubes est à volonlé, pourvu qu'elle soit continue*, on fait ordinairement la section circulaire.

Admettons que les molécules liquides arrivent sur Taubc avec une vitesse ^, dirigée dans le plan tangent au premier élément de la surface, et que, pendant le temps peu considérable que chaque molécule reste en contact avec Taube, cette surface puisse être considérée comme se mouvant parallèlement à elle-même dans la direction de la vitesse v^y avec une vitesse constante v*\ égale à celle de la circonférence extérieure de la roue. Calculons dans cette hypothèse le travail qu'une molécule liquide, de masse m, transmettrait à la roue, si le mouvement de cette molécule n'élait nullement gêné par le liquide aiQuent, et que le frottement contre la surface de Taube fût négligeable.

Le mouvement de translation commun à Taube et à la molécule liquide, pendant qu'elles sont en contact, n'aura pas d'influence sur leur mouvement relatif; de sorte que la molécule liquide, après s'être élevée sur l'aube, acquerra, en descendant au bas de la surface, une vitesse relative égale et contraire à la vitesse relative i^ — ^'' qu'elle possédait à son arrivée. La vitesse absolue de la molécule liquide à sa sortie de l'aube sera donc

La force vive perdue pendant son action sur l'aube sera

/w [p» — (2P' — vy] z= /^nti/ (P — /), et le travail communiqué à la roue.

Il en résulte que, en représentant par Q le volume

HYDRODYXAMIQL'E. 543

d'eau admis dans la roue pendant Tunité de temps, le travail moteur serait donné par la formule

si nos hypothèses étaient réalisées. Le maicimum du travail moteur répondrait à - = -, et serait égal à la puissance absolue de la chute.

Mais les suppositions sur^ lesquelles se fonde cette théorie sont trop éloignées de la réalité, pour qu'on doive regarder la formule obtenue comme représentant avec quelque exactitude le travail de la roue à aubes courbes. Il parait fort difficile de donner à ce sujet une théorie complètement satisfaisante.

Les expériences ont appris que le maximum de l'effet

utile répond à -= o,55, et ne dépasse pas les 0,70 de la

puissance absolue de la chute.

Quand on exprime Q en mètres cubes, ^' et y' en mètres par seconde, et T^ en kilogra m mètres, on a sensiblement :

Pour des chutes de 2" et au-dessus^

Pour des chutes de i",5o à 2",

T. =:::l32Qp'(p — (»');

Pour des chutes au-dessous de i",5o,

0. ^iles des moulins à vent, — Nous supposerons Tarbre qui porte les ailes parallèle à la direction du vent, et la surface des ailes engendrée par une ligne droite de longueur constante, qui glisse sur un bras perpendicu-

laire à Tarbre, en restant elle-même perpendiculaire à ce bras. Cette disposition est la plus ordinaire, et aussi celle qui parait susceptible de donner les meilleurs résultats.

Nous partagerons la surface de Taile en éléments compris entre deux génératrices consécutives, et nous considérerons chacun de ces éléments comme situé dans le plan déterminé par le bras et par Tune des deux génératrices; Taire de cet élément aura pour mesure le produit de la largeur de Faile par la plus courte distance des deux génératrices.

Soient :

/ la largeur constante de l'aile;

ria dîslance de Taxe h Y un des éléments de la surface;

''o ^^ ''i '^* valeurs ex Ironies de r;

(j) l'angle que le plan de Télémeut considéré fait avec la direction du vent;

i' la vitesse du vent ;

0) la vitesse angulaire de Tarbre qui porte les ailes;

p la densité de l'air, ou le poids d'un volume d'air égal à Tunilé divisé par le nombre g\

k un coefficient constant que l'observation déterminera.

D'après l'hypothèse admise dans la Section précédente, la pression exercée par le vent sur l'élément de l'aile sera le produit des constantes k ei p par la surface /rir et par le carré de la vitesse relative, estimée suivant la normale à l'élément. Or la projection de la vitesse du vent sur la direction de la normale est ^sin^, et la projection de la vitesse de l'élément lui-même est w r cos cp ; donc la pression sera

/•6/(f sin^ — (ùrcoSffYdr.

Il en résuite que le travail moteur élémentaire aura

UYDROOYKAMIQUE. 345

pour valeur

/•p/(f sin<p — (ar cos 9)' dr. ta rcosff dt\

et, si le mouvement est uniforme, le travail moteur développé pendant Tuoité de temps sur Taile entière sera

(1) kol j (wsinf — wr cosw^'wrcosç </r.

Supposant données la largeur des ailes et les distances de leurs extrémités à l'axe, on peut déterminer la courbure de la surface des ailes, de manière que le travail moteur ait la plus grande valeur possible, quelle que soit la vitesse angulaire. Ceci revient à trouver la fonction de r qui, substituée à op, rend un maximum l'intégrale (i).

Puisque chaque élément de l'intégrale ne dépend que d'un seul élément de la surface, et en aucune façon des éléments voisins, la somme sera un maximum, si le travail exercé sur chaque élément de la surface est séparément un maximum. Or, pour qu il en soit ainsi, il faut

que la fonction comprise sous le signe I ait une dérivée

nulle relativement à la variable f. Egalant la dérivée à zéro, après avoir supprimé le facteur (^sinf) — corcostp), qui ne saurait être nul sans que le travail soit nul luimême, il vient

(2) 2 (pcosf H-»rsiaç) cosy — siny (psio^ — «rcos^)::^o; d'où Ion tire

(3) ung,= — +y/(— )

Cette dernière équation détermine la forme la plus avantageuse des ailes, pour une vitesse angulaire qui est II. a« ÉoiT. 35

dans un rapport donné avec la vitesse du vent. Le radical y est pris avec le signe 4-^ car autrement tangcp serait négatif, et, le vent frappant les ailes par derrière, le travail ne serait plus moteur.

Pour épuiser complètement la question du maximum d'effet, il faut encore trouver quel est le rapport de la vitesse angulaire des ailes à la vitesse du vent qui assure le plus grand travail, quand la surface des ailes vérifie Téquation (3).

Cette valeur du rapport - annule la dérivée de l'intégrale ( t), prise par rapport à co en y considérant cp comme une fonction de &> donnée par Téquation (3). Ainsi, nommant Y la fonction comprise sous le signe I 9 on a Inéquation

dans laquelle on doit substituer sous le signe 1 1 leur (3) de l'angle (p, après avoir formé les dérivées. Dans cette substitution, la dérivée -j- disparaîtra complètement (2), en sorte qu'on n'aura pas à tenir compte du terme -r— --^ • Profitant des autres simplifications que

a va-

Téquation (2) peut apporter dans la valeur de ^— > on

arrive à la formule

rcos'ip

9 — &>rcos(p) — ; -dr^= o.

^ ' sm ç

L'intégration devient facile quand on prend pour variable l'angle f . En effet, les valeurs à substituer sous le

HYDRODYliÀMlQL'E. 54?

signe f sont (a)

V I — Scos^'cp . V I-l-COS^cp . r-— : i, dr = ^-^- ^£/(p;

elles changent l'équaiion prëcédente en celle-cî,

' ?'(i — 3cos2^) (i-hcos*®)

OÙ C(ç^ et 9>i représentent les valeurs de 9 correspondantes aux distances i\ et /*], exprimées en fonction de ces distances par la formule (3). Sous cette forme, on trouve aisément l'intégrale indéfinie

^, . 5cos> — 3cos(p 1 , /, I \

L'équation qui détermine le rapport - est donc

Malheureusement cette équation est trop compliquée pour qu'on puisse s'en servir commodément dans la pratique. Il suffira de savoir que Coriolis (*), auquel est dû ce calcul, a comparé les résultats de l'analyse avec ceux de l'observation, et a trouvé un accord satisfaisant en prenant le coefBcient A: égal à -•

D'autre part, les expériences de Coulomb (**) et de Smeaton (***) ont montré que la valeur la plus avanta-

geuse du rapport - est comprise entre — ^ et — ^ •

(•) Du calcul de l'effet des machines, p. 2io; 1829. (**) Théorie des machines simples.

("*' ] Recherches expérimentales sur l'eau et le vent (ouYrage traduit de Tanglais par Girard).

Dans ces conditions, s\ Ton nomme A la surface de Tune des quatre ailes exprimée en mètres carrés, et i' la vitesse du vent exprimée en mètres par seconde, le travail moteur T,„ transmis par les ailes peut se calculer par la formule empirique

T^ — OjiSAp*^*".

6. Calcul élu travail déi^eloppé par la vapeur dans les machines. — Nous considérerons une machine à détente, et nous supposerons que la vapeur agissant sur le piston conserve une même température pendant loute la durée de son action^ en sorte qu'il faudra concevoir que les parois du cylindre restituent à la vapeur la température qu'elle perd nécessairement, lorsqu'elle change de volume en agissant par détente. Cette température constante de la vapeur sera celle de la chaudière.

Î2 la surface du piston, exprimée en mètres carrés-,

H la hauteur du cylindre diminuée de l'épaisseur du piston, exprimée en mètres^

h la portion de la hauteur H que parcourt le piston pendant que la vspeur agit à pleine pression;

p la pression de la vapeur dans la chaudière sur un centimètre carré, exprimée en kilogrammes;

p' la pression de la vapeur dans le condenseur, ou la pression atmosphérique s'il n'y a pas de condenseur.

Le travail moteur que produit la vapeur, pendant qu'elle agit à pleine pression, est évidemment le produit de la pression par ie volume que décrit le piston, c'est-àdire lo ooo pilh kilogrammètres.

Si l'on nomme x la hauteur variable de la partie du cylindre que remplit la vapeur lorsqu'elle agit par détente, la pression pendant la détente sur un centimètre

HYDRODYNAMIQUE. 549

carré de la surface du cylindre est— > d'après la loi de

Mariotte; par suite, le travail produit par la délente a pour expression

\QOOOp£lh I =r ( lOOOO/^aAlog^ J •

Le travail résistant de la vapeur qui se trouve dans le condenseur, pendant toute la course du piston, est égal k

— ioooo/î'nH^°».

Réunissant toutes ces parties, on obtient le travail de la vapeur pendant la course entière du piston.

Tm= lOOOO

Le quotient de cette quantité par le nombre de courses simples du piston en une minute et par le produit 60 X 7 5 sera le nombre de chevaux qui mesure la force théorique de la machine.

Le travail théorique T,„ peut encore s'écrire

T„ =: 10000 pp( 1-+- log — — — I 5

'^{'^'''7-pS

en nommant ^ le volume engendré par le piston dans sa course pendant l'admission de la vapeur, exprimé en mèlTCS cubes, et pi la pression que la vapeur exerce après la détente sur un centimètre carré de la surface du cylindre.

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* BIAHZSTRB . — Cours de Mécanique appliquée. 1d-8, aver. an figura

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PBTXT (FOf Correspondant de Plnstitut, Directeur de l'Observatoire de Toulouse, iVolesseur à la Faculté des Sciences. — Traité d'Astronomie pour la gens du monde, avec des Notes complémentaires pour les Candidats au Baccalauréat, aux Ecoles spéciales et à la Licence es Sciences mathématiques. 3 vol in-18 jesus, avec a86 figures dans le texte et une Carte céleste; 1866. ... 7 fr.

fPOXKSOT (Zi ), Membre de Tlnstitut et du Bureau des Longitudes, Conseille titulaire au Conseil de TUniversité. — Élémentsde Statique, suivis de qoatn Mémoires sur la Composition des Moments et des A^res ; sur le plan invariabh du Système Ju Monde; sur la Théorie générale de PEquilibrcet du Mouvemoi des Systèmes; et sur une Théorie nouvelle de la Rotation des Corps (Oiotmi adopté pour l'Instruction publique), 10^ édit. In-8, avec pi.; l86l. 6 (r.

fPOZSSOIff (S.-B.), Membre de Tlnstitut. — Traité de Mécanique, a* édition, considérablement augmentée; 2 forts vol. in-d; i833 18 fr.

*P01VTÉC0UZiAIVT (G. de ), ancien élève do TEcole Polytechnique, CoIooeJaa corps d^Etat-Major. — Théorie analytique du Systéine du Xfonde a* éd.,

considérablement augmentée, tomes 1 et 11, in-8; ib36 iS fr.

Cette nouvelle édition des tomes 1 et II dans laquelle se trouvent les Suppléments des livres il et V, forme nn Traité complet d^Astronomie théorique, et peut être considérce comme une Introduction à la Mécanique céleste de Laplaccy et un Complément à la Mécanique de Poisson. On vend séparément :

fLes tomes III et iV (1" édition) 33 fr.

Supplétnent aux livres II cl V (i"^* édition) 3 fr. S(i c.

Supplément au livre Vil ; 1860 a fr. Soc.

L^ouviage complet, 4 volumes et ce dernier supplément Sa fr* 5o c.

BBSAXi (H. ), Ingénieur des Mines, Docteur es Sciences. ~ Traité élémentaire de Mécanique céleste. In-8 avec planche ; i865 8 fr.

L'^Auteur s''est proposé pour but dans cet Ouvrage d^oxposer les principes fondamentaux de la Mécanique céleste, à Paidc de démonstration! asseï simples pour être introduites dans renseignement supérieur.

fBBSAXi (H.)i Ingénieur des Mines. — Traité de Cinématique pure. In-8, avec figures dans le texte ; 1 86a 6 fr.

RBftATi (H.). — Éléments de Mécanique, rédigés d'^après les leçons de Mécanique physique professées à la Faculté des Sciences de Paris par M. Poncelet. Mouvelle édition, revue et corrigée. In-8 avec planches j i86a. ... ^ (r, bo e. fSTUHM, Membre de Tlnstitut.'.— CSours de Mécanique de l'*lloole Polyteekniqua, publié, d'après le vœu de Pautcur, par M. E. Prouhet, Répétiteur à PÉcole Polytechnique. 2 vol. in-8 avec figures dans le texte; 1861 .... la fr.

* VlBILIaB ( J«)) Inspecteur général de Tlnstruction publique. — éléments de

Mécanique, rédigés conformément uu Programme du nouveau plan dVtude» des Lycées. 1 volume in-8, avec figures dans le texte; 1866 4 ^* ^ ^'

* VIBEULB ( J.). — Cours complémentaire d'Analyse et de Mécanique ratiou*

neUe, professé à PEcole Mormale. in-8. avec planches ; i85i 7 fr*

IMPRIMERIE DE GAUTHIER -VILLARS, scccessedr db MALLET-BACHEUEB,

Paris, rue de Seine-Saint-Germain, 10, prés Tlnititut.

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