DE GÉOMÉTRIE

Des Points et des Lignes sur un plan.

327. i*'PaoBLiMï. {Fig. i3). IViBtfER par le point A une droite qui fasse un angle donné avec la droite XY.

Par un point quelconque B de XY , tirez BK , BH , qui for« ment ayec XY Fanglc donaé : par le point A, menez-leur les parallèles AM , AN y elles satisferont à la question.

fl« PROBLiMs. (F/g*. i4). Mener par le point A une droite telle, ifue la partie interceptée entre les deux parallèles XY , ZU , soit d'une longueur donnée f. *

Par un point quelconque B de Tune des parallèles , décrîyeï une circonférence avec la longueur donnée / comme rayon ; joignez an centre B les points C^ D de sa rencontre avec la seconde parallèle; puis menez par A des parallèles à ces deux lignes, elles résoudront la question.

Le problème serait évidemment impossible si la longueur donnée était moindre que la distance des deux parallèles.

3® PROBiiiME. ( Fig. ,i5 ). Du point A tirer une ligne AC telle , que la différence entre AB et BG soit d*une longueur / donnée.

Au-dessus de XY , tirez • une troisième parallèle à la même distance que ZU , et coupez-la par un cercle décrit de A comme centre avec le rayon ^ : joignez les points de rencontre .M, N avec A, ces deux lignes satisferont à la question, soit que la troisième parallèle soit an-dessus ou au-dessous de A.

4* PnoBiiacE, {Fig. 16). Trouver sur la droite XY an point M , tel qu'en le joignant à deux points donnés A,B,les ailles AMXy BMY soient égaux.

Abaissez de Pun des detix poinls une perpendiculaire AT^ «ur XT, prolonge«-la de PK=PA , et joigne» BK; le point M de rencontre de BK avec XY sera le point cherché. Car AMX==îXJVIK etXMK=BMT.

5* Problème. C/^/g". 17 ). Étant donnés deux points A y Hf dans V intérieur d'une portion de polygone quelconque XYZU , déterminer des points M, N, P, tels que les^droitesAM, MN, Ti(? y'PB fassent des angles égaux avec les côtés sur lesquels elles se rencontrent,

Ahjaisses AK *perpendîteulaîre sur XT'et prolongezJa de KH = AK; de H , abaissez-en une seconde suif YZ et prolongez^ la d'une quantité égale en I ^ de I ^ ahaissez-en une troM^me sur ZU et prolongez-^la d'une quantité égale en L ; jôîgÀ^iS' LB. Le point de rencontre P sera un des points cherchés^ Tirant alors PN sous un angle égal avec ZU , on déterminera N , puis enfin M. lia démonstration se ferait comme dans les cas pré-> cédens.

6* PaoBiiME. ( Fifr. 18 )• Deux points , A, B, étant donnés entre deux droites XY, ZU , trouver des points M , P;^N , ... , en nombre donné sur ces deux lignes, de manière que les droites AM , lilN , NP , PB , . . . ^ fassent des angles égaux avec la ligne sur laquelle elles se coupent

Abaisses AK. perpendiculaire sur XY, et prolongcfz-Ja de KH=:AK; du point H, abaissez-en une seconde sur ZU; ^t continuez ainsi autant qu'il y aura de points demandés ; l'extrémité de la dernière perpendiculaire étant jointe axec B', déterminera le point P; on en déduira tous les autres poiiits.

Ge problème , dans le cas où les lignes XY , ZU sont* parallèles, et les deux précédens, trouvent des applications dans le jeu du billard. Ces applications sont fondées sur ce principe de physique , que lorsqu'un corps élastique rencontre un plan ré* fiistant, il se réfléchit sous un angle égal à celui d'incidence.

7* Probiâmb. {Fig. 19). DeuX' points A, B étant donnés d*un même coté de la droite {SX , trouver un point M We XY tely que la somme AM + MB soit un minimum.

Déterminez par ce qui précède un. point M tel, que fes angle*

A MX; BMY soient égaux , ce sera le point cherché* Car soî^N un autre point qudioonque> on aura

AN+HBcîRN+NB , A»r+MB=KB. Or KB<K]!<r+NB.

Donc ' AM4- MB est un minimum.

Si les points A , B (Jig* 20) étaient de côtés différens de XY^ et qu'on demandât que la différence des distances fût un maximum , on abaisserait la perpendiculaire AK qu^on prolongerait de S^t=: A£^ on tirerait la droite de BHM^qui déterminerait le point cherché M. Car la différence de AM et MB est HB^ -6ttp<>i^' tc^t; autre point "N , la différence de BN à AN ou à HS est moindre que HB;

8^ Fi^OBi^èME. (F/g. i2i)é Étant données deux droites "EF y Gll^ qu'on np peut prolonger ^ 1® mener par un point donné M une ligne guipasse par leur point de concours; â^ tirer une ligne qui partage leur angle eu deux parties égales,

1^, Tirez une sécante quelconque AB par le point M , et une parallèle quelconque CD que tous partagerez dans le même rapport en N I la droite NM passera par le point de concours des deux droites données.

a**. Par le point M ( Fig. aa ) , tirez MK parallèle à XY, et EH ^i partage Tangle MKZ en deux parties égales^ l'aoLgle KHX sera égal à HKZ ; élevant une perpendiculaire sur le milieu de HK^ elle passera par le point de concours des deax droites données , et partagera leur angle en deux parties égales.

9* PnoBii^MK. (Fig. a3). Les trois droites AB, AC, BC étant données , tirer une parallèle. MN à BC , de manière que la somme ou la différence des parties BM , CN soit égale à MN.

1^. Partagez les deux angles intérieurs B et C en deux parties égales, et menez par leur point de rencontre O la parallèle MN, à BC, elle sera la ligne cherchée; car MO=MB et NO=NG.

La même construction peut se faire en dessous de BC.

a°. Tirez des droites BK, CK, qui divisent Iqs angles ABC, ACD , en deux parties égales ; la parallèle Kmn k CB sera la ligne cherchée^ car Km = mC et Kii==: /iB.

( a47 ) 10* PtoBi^iis. {Fig. 24). Étant données les ^oU dfmtes AB^ AC, BG , mener une parallèle MN à BC , telle queja somme ott là différence des parties BM , CN soit égale à une ligne donnée.

On a

BM :NÇ ::AB :ac,

BM ±:NC : NC :: AB ±: AC : AC.

Or, AB| AC et BM dt NG sont connus^ celte proportion fera donc connaître CN.

Il* PaCHLèME. {Fig. a5). Étant donné le carre A BCD, y inscrire un autre carré donné.

Soit EFHK le carré inscrit demandé. On aura