IX— A

De plus, pour faire croître indéfiniment la valeur de a:, il suffira de faire croître indéfiniment le nombre entier n^ sans cban*gcr la valeur de h. Supposons, en conséquence,' (|ue,4^n^ l'équation (5) l'on considère h comme une quantité constante , et X comme une quantité variable qui converge vers la limite oo« Les quantités

renfermées dams le second membre, convergeront vers la limite L, et le second membre convergera lui?méme vers une limite de la forme '^

m. étant toujours compris entre — « et -f- «• Par suite , l'eaipres- 6 ion

aura pour limite une quantité comprise entre fe— *f et ft + «• Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre i, il en résulte que la limite en question serapréciliémeut la quantité /<. En d'antres termes, on awra

( 23a ) ' (6) . . . lim. C /-(x) ]' = A = lim.ik±p.'

Supposons , en second Ileu^ la quantité k Infinie , c'est-à-dire'; puisque cette quantité est positive , A = oo. En désignant alors par H un nombre aussi grand que l'on voudra , on pourra toujours attribuer au nombre A une valeur assez, considérable pour que , X étant égal ou supérieur kh ,le rapport

qui converge vers la limite oo^ devienne constamment supérieur à H ; et 9 en raisonnant comme ci-dessùs^ on établira la formule

fia)

Si maintenant on pose A -|- n = x, on trouvera, au lieu de l*é* quation (5) , la formule suivante

[/(^)]'>C/(ft)D'H

de laquelle on conclura, en fa^isant converger x vers la I!-» mite 00 ,

//m.(/(a:)3''i>H, La limite du rapport

sera donc supérieure au nombre H , quelque grand qu'il soit Cette limite , supérieure à tout nombre assignable, ne peut être que Kiniini positif.

Nota. On pourrait facilement démontrer l'équation (6) , en cberchant par le théorème i**^ la limite vers laquelle converge le logarithme

et en repassant ensuite des logarithmes aux nondirea^

( a33 ) GoROLLAiRs. Pour doBoer une application du 2* théorème, supposons y*(x) = a:;

et par suite, en passant aux limites , 6 := 1.

Par conséquent, si Ton fait croître indéfiniment la Tariable x,

la fonction x* . convergera vers la limite 1. CofiOLLAZRE. Soit; cu sccôud licu y

jf(x)=ax"+fta:"""* + cx*""* + etc.. . . = P,

ik sorte que P désigne un polynôme en x du degré n. On trou« vera

et; en passant aux limites ,

Si donc P représente un polynôme entier quelconque , P' aura pour limite 1.

CoROixAiBE. Soit enfin f{x) = L (x).

On trouvera

et y en passant aux limites , k = 1 •

t Par suite , [ L (x)]* a encore pouir limite l'unité.

Questions sur le calcul des Probabilité^^.

âa3. On appelle probabilité d'un événement y le rapport' dv nombre des cas où cet éyénement aura lieu au nombre total des cas^ supposés tous également possibles. Lorsque to^ lés cas sont favorables à FéTênement, la probabilité deyient égale à l'unité et prend le nom de certitude.

La théorie des proba})îlités a donc le même degré d'exactitude que toutes les autres théories mathématiques; on ne cherche qu*à reconnaître les cas également possibles , et à distinguer parmi eux ceux qui sont favorables à Pévéhement. Mais il faut bien se garder de croire ^6 Fap^îcatioa de cette théorie soit sus* ceptible duméme degré de précision ; les événemens n'ont pas toujours lieu suivant leur degté présumé de probabilité, parce qu'un grand nombre de causes, ^ùî sont incalculables > o^t plus ou moins d' influence sur ces événemens.

Nous nous bornerons ici à considérer les probabilités sous leur point de vue purement mathématique , et noUs n^j Terrons jamais que le rapport du nombre des cas favorables, au nombre des cas également possibles , et non pas l'indication certaine de la manière dont les choses se passeront réellement*

2)a4. V^ Pbiwc^e» La probabilité d'un éwénetaent qui dépend d^un autre, est Reproduit de la probabilité de ce second événe^ ment par la probabilité que celui-ci ayant lieu l'autre aura lieu.

En effet, soit p le nombre des cas favorables* à l^svénement qui doit avoir lieu le premier , et 9 le nombre total dès cas qui y

sont relatifs, sa probabilité sera 'S. Soit a' leno^nbre des cas 1^

latifs au second événement et correspondans a chacun des cas du premier, etp' le nomlnre des cas favorables au .^econd quand

le premier a eu lieu ; ^ sera la probabilité que le premier évê

nement ayant eu lieu, le second aura lieu. Or le nombre total des cas possibles relativement aux deux événemens est qq\

( b35 ) pulsqu'à chacun des q éyénemem de la première espèce , il en correspond q' de la seconde^ et de même pp^ est le nombre de^ cas favorables au second érénenient; la probabilité àe^ce derniaç

sera donc —, ou - X ^ > comme nous Pavions annoncé.

De là suit immédiatement le principe suivant : II" Principe. La probabilité iï un événement futur , tirée d^un événement dont il dépend , est le quotient de la probabilité de révénement composé de ces deux éi^neniens » et déterfninée à priori^ pat la probabilité de Vautre événement ^ déterminée par reillement k priori.

CoRoiXAiBX. Il suit encore du premier principe que , si - est

h probabilité dun événement , -^ sera la probabilité pour que

H cet événement ait lieu m fois de suite , en supposant que les

événemens passés n influent pus sur les futurs , car si A désigne

la probabilité pour que Tévénement ait lieu un certain lîombre

(le fois de suite ^ on aura la probabilité pour qu^il ait lieu une

fois de plus ^ en multipliant A par la probabilité constante -^

d'où il suit que les probabilités pour que Févénement ait lieu deux fois, ou trois fois ,..., ou ttj foi« de suite , seront respec-

tivement ^, ^,...^^.

IIP Principe. Si un événement observé peut résulter de n causes différentes; leurs probabilités sont respectivement comme les probabilités de l'événement, tirées de leur exzstence; et la probabilité de chacune d'elles est une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement , dans Phypo^ thèse de l'existence de la cause , et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables , relatives à toutes les causes^

Considérons en effets comme événement composé^ Pévénenaent observé résultant d'une de ces causes, .

lia probabilité de cet événement compo^^ probabilité que BOUS désignerions par E ^ sera égale au produit de la ptobabilité

de réyénement observé^ déterminée à priori y et que nous nommerons F^ par la probabilité que cet événement ayant lieu , la cause dont il s*agit existe^ probabilité qui est celle de la cause, tirée de révénement diseryé> et ^ue nous nommerons Pj oa aura donc

La probabilité de Févénement composé ^ est lie produit de la probabilité de la cause ^ par la probabilité que cette cause ayant lieu, Févénemeiit arrivera, probabilité que nous désignerons par H ; toutes les n causes étant à priori également possibljss,

la probabilité de chacune d'elles est -^ on a doixc

La probabilité de l'événement observé, est la somme de tous le$ £ relatifs à chaque cause ; en désignant donc par S • ~ la somm^

de toutes les valeurs de —, on aura

l'équation P = -p- deviendra donc •

ce qui est le principe énoncé ci -dessus.

Pour appliquer les principes préeédens à un exemple^ supposons qu'une urne renferme trois boules dont chacune ne paisse être que blanche ou noire; qu'après avoir tiré une boule , on la remette dans l'urne pour procéder à un nouveau tirage,

et qu'après ?fi tirages^ on n'ait amené que des boules blanches; n est yisiUe que l'on ne peut faire à priori , que qqatre bypoihises; car les boules peuvent être ^ ou toutes blanches , ou deux blanches et une noire, ou deux noires et une blanche ^ ou enfin toutes noires. Si l'on considère ces hypothèses comme autant de causes de l'événement observé, les probabilités • de l'éTéne-. ment y relatives à ces causes, seront

Les probabilités respectives de ces hypothèses, tirées de l'évé^ Bernent observé , seront donc , par le troisième principe ,

^m^gm^j^ 3m^a"»+l' 3"*+a"'+l'

On voit, au reste, qu'il est inutile d'avoir égard aux hypothèses qui excluent l'événement , parce que la probabilité résultante de ces hypothèses étant nulle, leur omission ne change point les expressions des autres probabilités.

Si l'on veut avoir la probabilité de n'amener que des boules noires dans les w! tirages suivons, on déterminera à priori les probabilités d'amener d'abord m boules blanches^ ensuite m'' boules noires. Ces probabilités sont ^ relativement aux hypo-. thèses précédentes.

ijin 3^'

et comme à priori, les quatre hypothèses sont également pos* sibles, la probabilité de l'événement composé sera le quart de la somme des quatre probabilités précédentes, ou

Les probabilités de l'événement observé, déterminées à priori.

{ a38 ) tlans les quatre liypotliëses précédentes^ étant respectivement

[m ftW»

le quart de leur somme ^ ou

sera la probabilité de l'événement observé > déterminée à priori; en divisant donc la probabilité de l'événement composé ^ par cette probabilité > on aura, par le second principe >

pour la probabilité d'amener m' boules noires dans les m' tirages suivans.

On peut encore déterminer cette probabilité par le principe suivant.

IV* PaiNCiTE. La probabilité d^un événement futur est la somme des produits de la probabilité de chaque cause , tirée de Pévénement observé , par la probabilité que cette cause existant , r événement futur aura lieu.

Ici les probabilités de chaque cause ^ tirées de l'événement observé , sont, comme on l'a vu ,

^mj^^m^y^y 3«^û«+i' 3«+fi"*-+-l' ^

les probabilités de l'événement futur^ relatives à ces causes, sont respectivement

la somme de leurs produits respectifs, ou

sera là probabilité ie l'éTénement futur, tirée àe l'événement observé ; ce qui est conforme à ce qui précède. *

Si Ton suppose quatre boules dans l'urne , et qu'ayant amené une boule blanche au premier tirage, on cberche la probabilité de n'amener que des boules noires dans les m tirages suivans j on trouvera, par les principes exposés ci'^dessus> que cette probabilité est égale à

Si le nombre des boules blanches égale celui des noires > là probabilité de n'amener que des boules noires dans m' tirages

est -jj;-. Elle surpasse la précédente lorsque m' est égal ou

moindre que 5 ; mais elle lui devient inférieure lorsque m' sur^ passe 5, quoique la boule blanche extraite d'abord de l'urne indique une supériorité dans le nombre des boules blanches. L'explication de ce paradoxe tient à ce que cette indication n'exclut point la supériorité du nombre des boules noires; elle la rend seulement moins probable ; au lieu que la supposition d'une égalité parfaite entre le nombre des boules blanches et celui des noires exclut cette supériorité; or cette supériorité quelque petite que soit sa probabilité , doit rendre la probabilité d'amener de suite m^ boules noires plus grande que dans le cas de l'égalité des couleurs , lorsque m' est très grand. 225. Problème. Déterminer les diverses chances des loteries. On sait que le nombre des combinaisons de m lettres n

in est

que le nombre des arrangemens de n lettres n à n est le produit des nombres 1 , 2, 3 , . . . , ti; et enfin que le nonibre des arrangemens différens de m lettres prises n à /i est ^

Cela posé, supposons que le nombre des numéros d'une lotélerie soit n , et qu'il en sorte r à chaque tirage ; on demande la

probabilité qu'une combinaison de ^ de ces numéros sortira aa premieritirage.

Le nombre total des combinaisons des numéros^ pris rir, est, par ee qui précède ^

Pour ayoîr parmi ces combinaisons le nombre de celles dans lesquelles les s numéros sont compris^ on observera que si l'on retrancbe ces numéros de la totalité des numéros ^ et que l'on combine r — s k r— 5, le reste »— j, le nombre^ de ces combinaisons sera le nombre cberebé ; car il est clair qu'en ajoutant les ^ numéros à chacune de ces combinaisons ^ on aura les combinaisons rkr dans lesquelles sont ces s numéros. Ce nomhe est donc

(yi — j) . {n-^s — i) >.. . (n — r+ i) 1 . 22 . 3 . . .. (r— j) '

en le divisant par le nombre total de) combinaisons r à r des n numéros 9 on aura pour la probabilité cherchée ,

En divisant cette quantité par i . a . 3 . . . ^ ^ on aura , par ce qui précède , la probabilité que les s numéros sortiront dans un ordre déterminé entre eux. On aura la probabilité que les s premiers numéros du tirage seront ceux de la combinaison proposée , en observant que cette probabilité revient a celle d'amener cette combinaison, en supposant qu'il ne sort que s numéros à chaque tirage; ce qui revient à faire r=j dans la fbnctioft précédente, qui devient ainsi

n . (u — i) . .. . (»— .j-J- i)' Enfin , on aura la probabilité que les s numéros choisis sortiront

he premiers datis un ordre déterminé y en réduisant le n'ùnié^ rateur de cette fraction à Tunité.

Les quotiens des mises divisées, par des probabilités sont cô que la loterie doit rendre aux joueurs : l'excédant de ées quô-«tiens sur ce qu'elle donne est son bénéfice. Eh effet, si l'on nomme p la probabilité du joueur, m sa mise, et x ce que là loterie doit lui rendre pour l'égalité du jeu , rc» — m sera la tnisé de la loterie ; car ayant reçu la mise m , et rendant x au jouéui', elle ne met au jeu que x — m. Or pour l'égalité du jeu, l'espé^ rance mathématique de chaque joueur doit être égale à sa crainte 5 son espérance est le produit de la mise a:-*— zn de son adversaire , par la probabilité p de l'obtenir ; sa craitate est le produit de sa mise m, par la probaljilité 1 — p de la perte. On a donc

pX (^ — ni) = (i— p)Xm;

fc'esl -à-dire que pour l'égalité du jeu, les mises doiyeUt être Réciproques aux probabilités de gagner. Cette équation donne

Ainsi ce ^ué Ifi loterie doit rendre est le quotient de la nii^e divisée par la probabilité du joueur pour gagner.

226. PROBiiMB. Vne urne étant supposée renfermer x boules , on en tire une partie ou la totalité , et Von âemandè la proba-" hilité que le nombre des boules extraites sera pain

1^ somme des cas dans lesquels Ce nombre est l'uniié > égale évidemment x , puisque chacune des boulé* peut également être extraite. lia somme des cas dans lesquels ce nombre égale a , e^t la somme des combinaisons des x boules prises deux à deux, et

cette sommé est égale à -^^- -* La somme des cas dans les-

quels le même nombre égale 3, est Ift somme des combinaisons des

ir(ic— 1) (a;— a) iboules prisés trois à trois, et cette somme est ^ ,

et ainsi de ^ite. Ainsi lés termes successifs du développement

tte la fonction (i ^i)'<^i représenteront tous les cas dans les^ quels le nombre des boules extraites est suocessiTcment 1^2, 3, etc. {usqu'Â xf d'où il est facile de. conclure que la somme de tous les cas relatifs aux nombres impairs- est égale à |(i4"0*"^ï(^ — 0*> ^^ a*"', et que la somme de tous les cas relatifs aux nombres pairs est i(i+i)*+sC^ — 0*— ij ou a'""^— 1, La réunion de ces deux sommes est le nombre de tous les cas possibles; ce nombre est donc a^— i; ainsi la probabilité que le nombre des boules extraites sera pair est

— ^ -, et la probabilité que ce nombre sera impair est -^ — ;

il y a donc de l'aTantnge à parier avec égalité pour un nombre impair»

Si le nombre x est inconnu^ et si l'on sait seulement qu'il ne peut /excéder n, et que ce nombre et tous les inférieurs sont paiement possibles , on aura le nombre de tous les cas possibles relatifs aux nombres impairs, en faisant la sonune de tontes les valeurs de a'^', depuis 0:=: 1 jusqu'à x=7i, et il est facile de Toir que cette somme est :2"— - 1 . Oi^ aura pareillement la somme de tous'les cas possibles relatifs aux nombres pairs , en sommant la fonction a*""*— 1, depuis a;= 1 jusqu'à x=:n, et l'on trouve cette somme égale à a*^— n-— i; la probabilité d^un nombre

pair est donc al<ks ^^^ . , et celle d'un nombre impair

est

Supposons maintenant que l'urne renferme le nombre x de boules blanches et le même nombre de boules noires ; on demande la probabilité qu'en tirant un nombre pair quelconque de boules i on amènera autant de boules blanches que de boules noires, tous les nombres pairs pouvant être également amenés*

Le nombre des cas dans lesquels une boule blanche de l'urne peut se combiner ayec une boule noire ^st évidemment x'X^x* Le nombre des cas dans lesquels deux boules blanches peuyent se

combiner avec deux boules noires est * ■ ■ X ^î^*

itînsi ie suite. Le nombre des cas daas lesquels on amènera au« fant de boules bknches que de boules noires est donc la somm^ des carrés des termes du développement du binôme (i + i)*, moins l'unité. Pour avoir cette somme, nous observeroi^ qu'elle est ég^le au terme indépendant de a, dans le développement de

kffAT

X (i+û)'- Cette fonction est égale à lii^il-: Le

terme indépendant de fl, dans son développement, est ainsi le coefficient du terme moyen du binôme (i+o)**; ce coefficient

^ f — V > ^® nombre des cas dans lesquels on peut

tirer de Purne autant de boules blanches que de boules noires est donc

Le nombre de tous les cas possibles est la somme des termes de rang impair dans le développement du binôme (i+i)'^> moins le{Hremier ou l'unité. Cette somme est i(* + i)**+ïï(ï — 0**> le nombre des cas possibles est donc a**~'— 1 ; ce qui donne poor l'expression de la probabilité cherchée,

i'NM