PC PA C

Tirant BK parallèle à AP y on a

c^L • viB .. ^^ • *^«^ - BO • BO •• Bô : Âô'

Donc, à cause du rapport commun, on aura aussi

QC : QB :: j : i, ou qc : qb 3: c : *;

ce qu'il fallait démontrer.

Le même théorème aurait lieu en- prenant deux centres de similitude inverses, conjointement avec l'un des précédens.

84® PROBLè>îjî. Inscrire dans un triangle donné un triangle minimum semblable à un triangle donné.

Prenez un triangle queîcoftqtie semblable du fiecoftd Uriangle^ et cîreonscrivez-luî un trjangle ixiaximum settiblable au premier triangle) par le moyen d'une comstruction donner 'précédeiiuuent; Tous'aùi^ez une figure sètliblableà la proposée^ qui se construira alors en reportant des longueurs proport^oni^llesji leurs correspondantes.

85® VviOvths%. ^Fig. loo). T^ois àercles quelconqties étant donnés, décrite' ufi triangle maximum circonscrit à leur sys^ tèméet semblable à un triangle donné.

Par les trois centres A, B , G des cercles donnés > faites passer un triangjie XYZ iBa&imum et scmUaUe au triang^â' aomxé^ puis menez des tangentes parallèles aux côtés du triangle XYZ; elles détermineront le trîanigîë DEF demandé.

86* Problême. Inscrire dans un triangle donné trois cercles dont les rayons et les distances des centres soient dans des rapports donnés , et dont le syHème soit un minimum.

Construisez trois cercles qui aient entre eux les rapports demandés , et circonscrivez-leur comme précédemment le triangle maximum; vous aurez une figure semblable à celle que vous cîiercb'ez qui s'en déduira par des lignes proportionnelles.

87* Problème. Déterminer le nombre des polygones réguliers de m côtés qu*on peut inscrire dans un cercle.

Supposons la circonférence divisée en m paii;ies égales , on aura un premier polygone en joignant consécutivemenl les points de division.

Soit maintenant n uiî nombre quelconque premier avec m j si l'on joint les sommets de n en n, on n'aura un nomlH*e exact de fois la circonférence ou tu i^bdivisions , qu'après avoir porté m cordes consécutives soutendant n subdivisions cbacune : d'où il résultera un polygone régulier de m côtés de forme étoilée.

Si n avait un facteur commun « avec m ^ on aurait m = *r7i' n=tfa' ; et portant n subdivisions à la fois, on aurait un nombre divisible par m après m' opérations. Le polygone n'aurait donc que m' côtés , et ceux de m côtéâ ne pourront s'obtenir qu'en prenant '

( a7« ) ' pour n des nombres premiers avec ni. Ces noml^s peuvent être plus petits ou plus grands que m; mais quand on les porte sur la cireonférence> on trpuve les mêmes points que si l'on considérait le reste de leur division par m : il suffît donc de considérer lés nombres moindres que m.

Pouf connaître la somme des angles d'uxi pareil polygone »

soit n un nombre premier avec m, et plus petit que - m; ce

qui donnera le même polygone que m— n. L'angle de deux côtés cqnséçuti£» soutend un arc égal à m-^^un subdivisions

qui mesurent chacune — angles droits*, multipliant donc m-* an

4 "' . ' ^ .par — et par le nombre m des angles, puis prenant la moitié>

vu que les angles sont inscrits > on aura â/n— >4n.

Lorsque ?i= i, la somme est 2(77»—- a)) ce qui donne le théorème connu pour les polygones ordinaires convexes.

Problèmes et (Théorèmes à résoudre et à démontrer.

2198. Pboblèms. Trouver le lieu des points tels , que la sonmie des carrés de leurs distances aux côtés d'un polygone régulier soit donnée.

Problème. (F/g. 101). Etant données deux droites quf se coupent en Oj et un point A, on mène des couples queloxiques de sécantes telles que AX , AT -, on joint XU , ZTj. trouver le lieu du point M de leur intersection.

PROBiiÀME» iP'ig' 10a). D'un point donné A > on mène h un cercle des sécantes quelconques AX, AT; on joint les quatre points X, Y^ Z ^ U deux à deux ^ il faut déterminer le lieu des rencontres M et N.

Quand A est hors du cercle , le lieu demandé est la droite qui passe par les points de contact. Lorsque le point donné n'est pds extérieur, le lieu cherché est une droite qui ne coupe pas le cercle.

On en déduit les théorèmes suivans ':

Thâobàms. {Figi, io3)« Lorsque par un point quellxmqne M 'd'une droite donnée, on mène des tangentes à un cerde, la ligne XY qui joint les points de Contact p^e par un point constant.

II en serait de même si^ au lieu de mener des tangentes^ on tirait des sécantes, et qu'on joignit leurs points deux à deux comme précédemment.

Xhkokème. (^Fig. io4). Si l'on prolonge les côtés opposés d'un quadrilatère inscrit , ainsi que les tangentes menées par les sommets opposés, les quatre points de rencontre X, Y, Z-U seront en ligne droite.

P&OBiilME. Etant données quatre droites situées d'une marnîère quelconque dans un plan, mener une droite telle, que les trois parties interceptées entre les premières soient dans des rapports donnés.

TukoBinm. L'aire du dodécagone régulier inscrit est égale à trois fois le carré du rayon.

Theorâme. Le carré du côté du pentagone inscrit est égal au carré du rayon , plus le carré du décagone.

Theobâme. (Fig- io5). Si sur les trois côté^ d'un triangle rectangle ABC on décrit trois demi-cerçles, la somme des deux lunullesy BmCnBy ApBqfA., comprises entre la demi-îcirconférence décrite sur l'hypoténuse et les deux autres circonférences , est égale à l'aire du triangle A BC.

TnxoRÂiicE. Si d'un point donné on mène à un cercle deux secantea perpendiculaires entre elles, la somme des carrés de& cordes sera eonstante.

TsioRitMX. Si par les sommets d'un triangle , on mène des tangentes au cercle circonscrit, leurs points de rencontre avec les côtés opposés^^ont en ligne droite*

PROBLès^* ^ inscrit un carré dans un autre y en partageant les côtés de celui-ci dans le rapport de m à n ; on en inscrit ua dans le second de la même manière ,^ et on continue ainsi indé-t finiment. On demande ,

1^. Au bout de combien d'opérations la somme .des carréss inscrits sera égale a une surface donnée «

a*. Là limité vers laquelle tend la somme indéfinie de ces carrés.

PRoBi!iiCK. (^/ff. io6). Etant donnés nn angle et nn point A', mener une- sécante AXY* t^e ,' que AX X X^Y i=:m*.

Problème. Construire un triangle , ^connaissant l'angle au sommet, la somme et la différence des côtés qui le comprennent ^ et la somme ou la différence de la base et de la hauteur.

pROBiiiHE. (^Fig, 107). Etant donnés deux points A^ A', et une droite BC, trourer sur cette droite deux points X,T, tels, qu'en les {oignant à A et A', les angles XAY^ XA'Y^ soient égaux à des an^es donnés.

Problème. G)nstruire un quadrilatère , connaissant les cdtés et la surface, ou les côtés et l'angle des diagonales, ou les angles et les diagonales, ou enfin les angles , la surface et le périmètre.

pROBÎubiE. G)nstruîre un' triangle , connaissant la^ base , la hauteur et la différence des angles à la base.

PROBLÊniE. Construire un triangle , connaissant l'angle ati sommet, la hauteur et la ligne menée du sommet au milieu dé la base. ^

PROBiitfE. (Fig» 108). Etant donnés quatre points A , B, C, D en ligné dtôîte, mener par ces points quatre drottfes qui forment un quadrilatère XTZU doiiné d*espèce, c'èst-à-dire semblable à un quadrilatère donne.

PROBiièBCE. A un quadrilatère donné , inscrire ou circonscrire un quadrilatère donné d'espèce.

Problème. Inscrire dans un cercle donné W triangle dbnt deux côtés passent par des points donnés , et le troisième soit parallèle à une ligne donnée.

Pboblèke. Inscrire dans un cerclé un polygone d'uii nombre donné de côtés, dont les uns passent par des points donnés et les autres soient parallèles à clés lignes données. *4Ér

I^OBi/ÂME. (.Fig, 109). Trouver le lieu des points desquels les parties AB, CD d'une droite donnée MN seront vues sous le même angle. * .

PaoBu^ME. Trouver le lieu des pointfir tels que la somme des carrés de leurs distances aux sommets d'i^i polygone régulier, soit constante, ou soit un minimum.

PjunndiM». Etant âoniiés un po4itt A et des droites faisant entre elles des angles égaux autour de ce poi^t^ trouver le lieu des points tels 5 qu'en abaisi9afnt' sur elles des^perpendieulaires^ là somme des earrés des distances du point A k leurs pieds soft constante.

PnoBLâBCE* DeïOL droites q^cotiques étant données dans un plan 9 mener par un poinli ' donné dn même plan tine sécante telle , que les segmens qu'elle, détermine sur les premières , et comptés à partir de deux ppints donnés sur ces" lignes , soient dans un rapport donné.

PnoBL^sfE. Etant donné deux parallèles et deux points pris respectivement sur elles, mener par un point donné de leur plan une sécante teHe, que le rectangle des segmens de" ces "pirallèl^'comptés à partir dès deux premiers points soit donné.

PnoBLâMs. Résoudre la 'tpiestîon pi*écéde?nte dans le cas ot les deux droites, au' Beu d'être parallèles, feraient entre elles nn angle quelconqiiè. ' '•' ' ' ^ î

ProbiIsie. Partager uné^drblté dontïéé en deux ségmenstels, que le carré dé l'un «oit'tfsfàs iirn rapport donné àYec le produit de l'autre par une. ligne 'donnée.' ^ i " i

Problème. Etatit' donViés troîar poiùts 'sur ihié droîté,*en trouver un quatrième' siir fa même ligne, dé telle sorte, «Jue lé carré de sa distance à l'un dés trois premiers "pbiiïtsf soit daiis un rapport donné avec le produit de ses distances aux deux autres points.

PitoBLÈMB. Etant donnéis quatre points sur ime droite, en trouver un cinquième siir la même ligne, de manière que le rectangle de ^es distances à deux d'entre eux soit dans un rapport donné avec le rectangle de ses distances aux deux autres.

PsoBU^ME. Par un point donné, mener une droite telle, que la partie interceptée entre deux circonférences concentriques soit égale à une quantité donnée.

PROBLiME. Etant données deux circonférences dont Fune est intérieure à l'autre , mener par le point où la plus petite rencontre la ligne des centres, une droite telle, que la partie com^ I prise entre les deux cercles soit donnée. ^

P^obiIbis. Etant donné un an^ d*une grandeur constante dont le sommet est fi&e et dont le rectangle des côtés est constant, trouTcr la ligne que décrit l'upe des extrémités d'un des icôtés de l'angle quand l'autre extrémité décrit un cerde donné.

Problème. Etant donnés deux points sur une droite, trouyer le lieu des points tels, qu'en menant par ces points deux lignes parallèles à des droites fixes , le ra]^rt des distances de leurs pieds aux deux points fixes soit constant.

Phobléme. Trouver le lieu des points teb , que le carré d« leur distance à un point fixe, soit égal au rectangle fait sur une longueur donnée , et leur distance à une droite donnée.^

pROBiiiiidE. Etant donnés deux points fixes , trouver le lieu des points tels, que le carré de leur distance au premier point, soit dans un rapport donné avec le carré de leur distance au second point augmenté ou diminué d'un carré donnée

PaoBLÈiÉB. Etant donnés des points en nombre qneloonqiie suv un plan, en trouver un autre tel,^qu'en y faisant passer une droite quelconque, la somme des perpendicujiaires abaissées sur elle des points situés d'un même çôtéji soit égale à celle des perpendiculaires abaissées des autres points^ ,. PRQSiiaiE. Etant donné le périmètre d'ovin pdjgone variable» trouver la valeur de ses.oôt^s quand il devient mai^imum* , . PiiOBLiHE. Tous les côtés d'un polygone moins un étant donnés,, déterminer ce dernier de manière que le polygone soit maximum.

Problème. Etant donné les ç6tés d'un polygone, .déterminer les conditions pour que so^ aire soit maximum.

Problème Former le polygone maximum avec un périmètre donné.

Des Points^ des Lignes et des Surfaces dans l'espace:

^29. Ton5 les problèmes de Géométrie ont polir objet de découvrir des rapports, ou d'exécuter graphiquement des constructions d^nandées. Dans le. premier cas, on peut, comme dans les théorèmes, supposer fait tout ce qui est démontré possible; dans le second cas, il faut avoir égard aux difficultés que présente, l'imperfection des instromens : ainsi, comme ils ne peuvent décrire les lignes que dans des plans résistàns, on devra tou^urs supposer ces plans primitivement établis , sans quoi les constructions savaient impraticables. Mais comme ces plans matériels seraient impénétrables , cette supposition de-vient réellement impossible dans la pratique, et on a cbercbé à ramener le plus possible les problèmes graphiques à des eonstructions faites dans uti seul plan. Cette réduction ne saurait avoir lieu que lorsque les choses demandées sont comprises, au moins séparément,, dans .un même plan. Par exemple, elle esl possible^ si l'on demande le rayon d'une sphèire tangente à quatre sphères données, et impossible s'il s'agit de construire une pyramide sous des. conditions quelconques.

Nousub laous astreindrons pas, dans ce qui suit, à ramener tout à 4es constructions dans un plan unique ; ce sera là l'objet d'une théorie particulière. Nous regarderons un plan, comme déterminé par trois points non en ligne droite, et nous supposerons possible.d'y exécuter toutes les constructions connues. Nous uous occuperons ensuite de réduire les constructions, autant que possible, à des constructions faites dans un seul plan, et de n'exécuter hors de ce plan que les dioses quj par leur nature ne petiyent y être comprises^

Pour éyiter de reporter ailleurs un grand nombre de propo« sitions qui seront plus à leur place. dans cette partie de la Géométrie, nous supposerons connues les formules élémentaires de la Trigonométrie,

1^' pR0Bi4i]i[£. Etant donné un nombre quelconque de plans et deux points A^ B pris sur deux d'entre eux , trow/er k plus

court chemin de Vun à Vautre point sans sortir des plans donnés ^g, iio).

Supposez que ces plans se rabattent sur l'un d'eux ^ à la suite les uns des autres ; la ligne la plus courte tracée sur leur système de A en B se sera développée sans changer de grandeur^ ainsi que toutes les autres que l'on aurait pu y tracer^ «lie sera donc encore la plus courte après le rabattement; elle sera donc la droite menée ^e A à B : d^iA il suit que pour trouver les points où le plus court diemin coupe les intersections successives des différens f^i», il suffit de construire sur un. aplani le système rabattu , de joindre les poiAts A , B par une ^oite^ et de reporter les points de rencontre que l'on obtiendi^, sur le système proposé. • •

â* PiLoiBLibas. Trouver le plus' coure chemin sur la surface d^tm cylindre ou tPun, cône quelcôriquesy • î

' L'une et l'autre surface étant la Hm^e die surfaces composées de plans dont les arêtes sont toutes j^Àràllëles ou passent par un même point , ce qui précède leur ^st applicable. Le plus court cbemisi sera donc la courbe qui se développera avec la sur£afôe suivant la droite qui joindra les deux poiints >abattust Pour le cylindre, oeisera wx arc ^hélice»

3* PnoBiiakiB. Trouver la vatmrâe ta projëctiôh â^une sufface plane sur un plan donné , connaissant cette sutface et V angle des deux pi^ns, i. . » . »

, iPoor y parveuii^y menés èsm» la stiri^e des cdrdeâ îtifdéfini-^ ment rapprochées, perpendiculaires i Fintersectioiiî des deux planfiî; vous formerez ainsi une suite de rectangles 1 Décrits ; feur somme auca pour limite la sur^ce lâoiinée^ et la sotmde de leurs projections- aura pour limite' hi projection de Ik même surface. Or, chaque rectangle et SA pi^rôjectfon ayant utfe base comnErane, le rapport de ces deixx'rédtangtes sera le méMe que celui de leurs hauteurs, c'est-à-dire le ccteinus ète Fangîè desfc deux, pkàs} la projection -totale des rectangles eslt done égale à leur somme multipliée par le cosinus de eet angle ; et d'après» le théorème des limiles, Ik profectkiti de la- surface est égaie k cette sui^f^e mukifliée par ce m^ua» cosinus»

THéoniME. ha somme des carrés des cosifms dus afigks qu^une droite forme auec trois droites perpendiculaires lentre elles est é^ale à Vunité.

En efiPet y l'angle de deux droites qui ne se coupent pas étant celui que forment des parallèles à ces droites menées ipar un ^ même point y on pourra supposer la droite menée par le point ^e rencontre des trois droites. Or, si l'on prend -sur elle une longueur égale à l'unité, et qu'on forme un parallélépipède dont elle soit la diagonale, et dont les trois droites données fas* sent un des angles solides, les trois arêtes contiguës seront les cosinus des angles que fait avec elle la diagonale. Mais , dans un parallélépipède rectangle, la somme des carrés des trois arêtes est égale au carré de la diagonale; la somme des carrés des cosinus est donc égale à l'unité. ^

TnioRiME. La sommée des carrés des cosinus des angles qu^un plan forme avec trois plans rectangulaires , est égalé à Vunité\ car ces angles sont les mêmes que c6ux que formerait la perpendiculaire à ce plan avec les perpendiculaires à chacun des trois autres.

TQ^OBiioc. Le carré d'une surface plane est égale à la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangu-r laires , car chaque projection est égale à la surface multipliée par le cosinus de l'angle de projection , et la somme des carrés de ces trois cosinus est égale a l'unité.

Theorems. Le carré d^une droite est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois droites rectangulaires , car chaque projection est égale à la droite multipliée j«ur le cosinus de l'angle que cette droite fait avec sa projection*

4* ProblIime. Étant donnés les angles que deux droites forment respectivement ai^ec trois droites rectangulaires AX, AY , AZ (Jig. m) , trouver l'angle 9 que ces deux droites font

entre elles.

On tirera , par l'origine A , des parallèles AM , AM' aux droites proposées *, l'angle M AM' sera égal à 6. Soient a,C,yet M yCy y les angles que AM et AM' foraient respectivement avec les axes AX, AY, AZ ^ prenons deux points arbitraires M, M'^

(a86) sar l6s êewL droites; nommons^Xyy , z et x',y', a' les clîstanoes de l'origine A aax pieds des perpendiculaires abaissées de M et M' sur les axes AX , AT , AZ. Nous aurons

eos

AM*+AM^* — MM^* aAMxAM' #*

Or, AM.* = 3d^+y + z^, A]Vr»=r'»4-y+*'N MM'« = (X - a/y + (y -/)• + {z- a')*;

d'où

Or

oos