AM' ' AM

;=cosff', — -=cos>, Jf^-<^^y

Donc

oos = oos « COS M + oos C 008 C' + cosj^ cos •)/,

BxtfiRQUE. Si les deux droites étaient perpendiculaires l'ane à l'autre, on aurait

oos « oos «''+ cosC COS C + COS y ces y/ = o.

G)BOi«LAi]is. Ces formules cpnyiennent au cas de deux plans; car leur angle est le même 'que celui de deux droites qui leur seraient respectiyement perpendiculaires.

CoBOiXAiBE. Soient deux systèmes de trois droites rectangulaires Xfy,z et afy y' y z\ Soient «, f , ^ les trois angles que fait x' avec les droites x^y^^^z ; «' , C^, y' ceux que faitj^' ayec les mêmes droites, et ct^, £",>'' ceux que fait x' ayec ces droites. On aura

C0S*«+ OOS'C-f- COS'^'ir:'!, COS* «' + <^OS*C + COS*>''= U

COS*-" + COS» r+ COS* /= 1 ,

COS M COS «t' •!- COS C COS ff' + COS y COS 5^' = o ,

OOS «6 COS OL* 4- COS C COS C" + COS J^ COS 5^" = o ,

COS « casa* + cosC cosC -f- cos ^ cos >* = o.

MiLis, en comparant semblablement les droilesTfy, z an système x' ^y ,z ', il vient

COS' «t -I- 008* *' 4- 008* fit'' = 1, C0S*C + C08*ff H-COS'C^S:!^

eos* y + cos* y' + oos* ^' = i ^

COS A cos C + cos et COS ^^ •+- OOS C COS ^ C= G,

cos tt' COS f' + cos ùl' COS j'' + cos 6' cos ^'== o,

\ OOS fit* cos C*+ cos ce" cos >'* + 008 C cos^^^rso.

Ces dçQx systèmes d'équations doiyent étreidenttîques^ puisqu'ils expriment chacun les conditions pour que les deux systempes des trois droites soient rectangulaires»

5* "PnosLkKE. Étant données les projections d^une surface plane sur trois plans rectangulaires , trouver sa projection sur un autre plan quelconque faisant aifec les trois premiers les angles€t,C,y.

Soit m la surface donnée, et a^ &, c les trois angles qu'elle fût avec les plans donnés^ ses projections seront respectivement

pz=zm cos a, p' = m C08 ft , * p"= m cos ç.

Si on les projette toutes les trois sur le nouveau plan y et qu'on ajoute les trois projections , on aura

m(cos a cos et -f* cos b cos 6 -f- cos c cos y),

ou m cos V, en nommant V l'angle du plan de la surface avec

celui sur lequel on la projette : ce sera donc la projection de la

surface m sur le quatrième plan. La désignant par M ^ on aura

alors la formule générale

M = p cos et +p' cos C -f-p'^ cos y.

Corollaire. Soient m, m', m",. . .^ des surfaces planes en nombre quelconque dont on connaît les projections sur trois plans rectangulaires, on aura encore leur projection sur un autre plan quelconque, en y projetant les trois premières et faisant leur sonmié.

TvàGtàME. La somme des carrés des projections d^un nombre

quelconque de surfaces planes sur trois plans rectangulaires quelconques est constante. t

En effet , soient A , A', A'' les projections de ces surfaces sur un lies systèmes' rectangulaires, et B, B', B'' les projections sur un autre système quelconque, on aura, par la proposition précédente, en appelant A,C,y les angles que le plan de B forme avec ceux de A , A', A" , et ainsi des autres ,

B = A cos et + A' cos ff -|- A^'cos y, F = A oos et' + A' cos C' + A* cos y/, B* = A cos ** -f A'cos C -h A" cos /•

Ajoutant les carrés de ces équations , et réduisant d'après les relations connues, il vie^t

ce qui démontre le principe énoncé.

6* PROBiiacs. Th'ouver le plan sur lequel la somme des prth jections de surfaces planes quelconques est un maximum.

De l'équation précédente on tire

Cette valeur sera maximum quand on aura, A' =ao et A^^o, car B^'+'B'^+B"* est constant. Mais alors les valeurs pricédentes de B, B% B" , deviennent

B=A cos*»,B'=A cosii',B*' = Acos«"'.

Donc,cos«=

= ) cos m =

cos«t =

se.

Ce qui fait connaître les angles que le plan de la plus grande projection fait avec les trois plans rectangulaires relatifs aux projections B , B' , B". Sa direction seule se trouvo déterminée; et eo çffet ; sur tous les plans parallèles, les projection! sont ^ales.

TaioiiitBC&, La sojmrisAkprojections des aires f m, m', m', etc., est constante sur tous les jÊfans qui font le même angle avec celui de la plus grande projection,

Ea efiFet, soient q, q\ q"^ les angles que fait un plan quelconque avec les plans B^ B', B" ; on aura , en désignant par C la projection sur ce plan ;

C=B oos 9 + B' cos <7' + B'' cos^".

Or, BssAcostfi B'=rAcos«% B^rsAcoB*";

donc C ^ A (oos«cos(7 + cosa^' cos c( +cos «* cosç'^ =3 A cos V,

en désignant par V Fangle du plan C a-yee le plan de la plu. 9 grande projection, La projection C ne, dépend donc que de l'angle V , et sa valeur en fonction de B^ B', B*, est

C=:co8V X VB*+B'*+B'\ .

11 en résulte que cette projection sera nulle pour tout plan perpendiculaire à celui de la plus grande projection*

RxBCARQu:^ Toutes les propositions précédentes s'appliquent immédiatement aux projections des lignes droites sur trois axes rectangulaires.

7® ProbIaÈms* Trouver le plus court chemin entre deux droites^

Si Ton conçoit par ces 'droites deux plans parallèles et un© perpendiculaire à ces plans se mouvant le long d'une des droites , elle tracera sur le plan de l'autre une parallèle à la- première; et si on l'arrête au point où cette parallèle coupe la seconde droite , elle sera à la fois perpendiculaire sur les deux droites données > et en sera la plus courte distance ; car la ligne qui en joindrait deux autres points quelconques serait plus grande que la .perpendiculaire comprise entre les deux plans.

8® PROBiiiME. Vne droite se mouvant parallèlement â un plan donné f et s* appuyant sur deux droites fixes y on demande le lieu des points qui ta diviseront pour chaque position dans le rapport constant de m du.

Soient les deux droites XT, ZO Ç^fig* 1 1 a), et AV uAè pâf âllèle

( -igo)

à XY meaée par un point quelconqohA de ZU. Soient MN , KP les intersections d'un plan quelcon^ib parallèle au plan donné avec les deux plans XYAV , V AU , ces deux lignes seront de direction constante j et MP sera une quelconque des lignes en question. Soit K. le point qui partagé MP dans le rapport demkn'y menons KH parallèle à MN , la ligne PN sera aussi partagée dans le rapport de m à n; le lieu des points H est donc une droite passant par le sommet A , et les points K sont dans le plan mené par cette droite parallèlement à MN. Mais ils sont aussi dans ua plan parallèle aux deux droites^ puisque toutes les droites interceptées entre trois plans parallèles sont coupées dans le même rapport ; donc le lien cherché est l'intersection de ces deux plans , et par suite ce lieu est une droite parallèle à un plan qui serait parallèle aux deux droites données.

Théorème. Si F on divise deux côtés opposés d'un quadrilatère gauche quelconque dans le rapport de ma n, et les deux autres dans le rapport de ^ à q, les deux droites qui joindront les points de division des cêtés opposés, se couperont, et leurs seg" mens seront dans le rapport de ceux des côtés opposés,

£n effet , soit XY (Jig' 1 1 3 ) la droite qui partage les côtés AC^ BD dans le rapport de m à nielle sera parallèle au plan parallèle aux côtés AB , CD, Or , les points qui divisent cette droite etles* autres parallèles au mêmeplan^ comprises entre AG et BD^ dans le rapport constant de p à 9, doivent être en ligne droite; et comme les deux lignes AB^ CD , sont dand le cas de ces parallèles ^ il s'ensuit que si oa joint les deux points qui les divisent dans le rapport depkq ^ la ligne ZU qu'on obtiendra coupera XY dans le même rapport de p à g. De plus , ZU sera partagée dans le même rapport que AC et BD, puisque les droites XY, AB et CP sont comprises dans trois plans parallèles. Le principe est donc dé* montré.

9* PnoBLiME. Trouver le point d'intersection des droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d'une pyramide triait" gulaire SABG ( fig. % i4).

Joignez d'abord les milieux M , M de SC et AB , puis les milieux P^ Q de SA et BC^ d'après Iç théorème précédent^ les

( «90 droites MN^PQ, se couperont dans leurs milieiix reqppçtîfe. Si l'on joint ensnite les milieux R, S , de SB et AC , 1^ quadrilatère gauche SBAC fait voir que RS et PQ se ooi|pent aussi en leurs milieux; les trois droites passent donc par un même point O, Ou elles se coupent en deux parties égales.

Bour connaître la position de ce point dans la pyramide , on remarquera que sa distance à Tune quelconque des faces, ^ ABC par exemple 9 est le quart de la distance correspondante de S à ABC y car la distance de O à ABC est la moitié de celle du point R à ABC , et la distance de R à ABC est la moitié de celle de S à ABC,

On verra par la suite que le point O est le centre de gravité du volume de la pyramide^

iQ* Pnoi^i^ÈisiDE. {Fig. 1 15). Dans une pyramide SABG, on fait une section quelconque MNP parallèle à la base, on joint les milieuWf m > n , p , des côtés de cette section aux sommets opposés Ik.,C,B, de la base ACB^ les trois droites que ton obtient se coupent çn un même point dont on demande lé lieu*

Je dis d'abord que les trois droites mA, nC , pB se coupent en un même point. En effet , mn étant parallèle à AC , les 4i*oites mA, nC se; coupent en un point O, oh elles sont divisées dans le rapport de mn à AC. Mais de même pB et nC se coupent en un point qui les divise dans le rapport de pn à BC ^^ qui à cause des triangles semblables est le même que celui de mn à AC; ces trois droites se coupent donc en un même point.

Soient K,H,L, les milieux de AB, PC? AC; la droite A??» étant dans le plan ASH > coupera SV ; semblablement nC et pB couperopt SY ; et comme les trois droites mA, nC, pB, passent par un même point O et ne sont pas dans un même plan , elles ne peuyent rencontrer une même droite qu'an' point mêmq pu elles se coupent; donc le point O est sur la droite SV qui est par conséquent le lieu cherché.

On peut remarquer que le point O est à la fois dans les trois plans APN,BMN, CMP|; ce qui fournit|une autre manière d'énon** cer le tjiéorème.

1 1^ PROBLéj^. Trouver la diagonale et le volume dun pa-:

( aga ) ralUlipipède , connaissant les trois arêtes oontiguës et les angki **> ^9 y 9 Ç^^ ^^ arêtes forment entre elles.

Soient a,b,c fies longueurs des trois arêtes, la diagonale D sera donnée par la formule

D*=5 c* -f» 6* + c* -+• aa& cos ab^+'^bc cos bc+ 2ac oos oc O , et le volume ▼ aura pour valeur

Ces formules se trouvent dans la Géométrie de M. Tuegendre.

la^ PmoBLèici. Treuvertous tes points de Fespace également éclairés par deux lumières.

Si l'on fait passer un plan par les deux points lumineux , le lîeu des points également éclairés dans ce plan sera, comme noas l'avons vu précédemment, un cercle ayant son centre sur la droite qui joint les deux premiers points. Faisant tourner le plan aatour de cette droite , le cercle sera toujours également éclairé, et décrira ainsi une sphère qui sera le lieu clierché»

Nota. On peut de la même manière se proposer sur le plan et la sphère un grand nombre des problèmes traités précédem* ment sur la ligne droite et le cercle ; on trouvera facilement les énoncés et les solutions de ces problèmes ; nous nous dispenserons de les indiquer.

i3* Probjuèms. (F/grii6). Etant donnés m points A ^ A', A." f A^i • . • y en trouver un dont la distance à un plan quelconque soit Moimons entre les distances de tous les autres points au même plan , c*est^à*dire , soit égale à leuw somme divisée par leur nombre.

Prenons d'abord le milieu B de  A' ; le double de sa distance à un plan quelconque S sera ^al à la somme des distances de A et A' au même plan ; qu'on prenne ensuite BC égal aa tiers de BA* , je dis que le triple de la distance de C à S sepa égal à la somme de celles des points A , A\ A!* \ en effet ^ soient P^ Q ; R

\*) On dâignt par cos ab le cosiaas de Tan^le formé par les arêtes a , k^

( 293 ) lea pieds âë^ perpendiculaires; et A^Y parallèle k jPR , o%k aura

3UQn=flVP+A'R.

Afoutant au premier membre 3GU , et aa seoond sBV , qui lui est égal , on aura

3CX:î = aBP + A'R.

Mais ûBIÇ est égal à la lomme ' des distances des points A et A à S ; donc , 3 fois la distance du point G à S égale la soimine desi distances dçs points A , A' , A'' au même plan S.

Qn joindrait semblaUement G avec un quatrième point A**,

et on prendrait GD égal au quart de CA"'^ le point G serait tel

que quatre fois sa distance à un plan quelconque serait égale

à la somme des distances correspondantes des quatre premiers

points au même plan; et ainsi de suite.

On parriendra donc toujours de cette manière à un point O tel que sa distance à un plan quelconque, sera la moyenne distance de tous les autres au même plan.

La loi précédente est facile à saisir. Nous allons faire voir qu'elle est générale. Soit N (Jîg". ii6 bis), le point obtenu par les Ji premiers, et P le (/i •+- i)'^"*'î on aura par la même construction, en prenant KK égale à la (ti -f i)""*' partie de ISJf,

(n + i) X RM = 71 X NL + SQ,

Ajoutant au premier membre (i + i) K.R , et au second son égal PS , il vient

(rt + i)XKM = rtXKL + PQ;

ce qui démontre la loi énoncée^

Si l'on ne considère qu'un plan , tous les points du plan parallèle mené par le point O qu'on -vient de déterminer, jouiront de la même propriété, ainsi que le plan qu'on mènerait en-dessous h la même distance. Mais si on considère tous les plans possibles, le point O sera le seul qui sera toujours à une distance moyenne entre toutes les autres; on le nonmie centre des moyennes 4kst(fJKes f et pour le déterminer il suffit de ch^rcber sa distance.

( 39* ) à troU plans non parallèles > en prenant les trois moyennes entre les sommes respectives des distances de tous les points à ces trois plansi.

1*' GoBoilLAXBX. Sî l'on désigne par x , x% x'*y . . . , xC»— les distances de n points à un plan donné P, et par Xx celle du centre des moyennes distances au même plan ^ on aura

X + x' + x^^- . . . + x^"""*) =s nx,.

Cette formule suppose que tous les points sont d'un même côté du plan P.

Si on élève ùt plan d'une quantité quelconque a, ces distances deyiendront

en regardant comme négatives celles qui se trouveront dirigées en sens ootitraîre* Or , il est évident qu'en vertu de Féqfuation précédente on a

(x — c)4- (^' — û)-t- •• . +ar^'""'*^ — a = /i(xi —a).

Ce qui fait voir que la distance du centre des moyennes distances à nn plan quelconque est moyenne entre la somme algébrique des distances des dijfêrens points a ce plan» en regardant comme négatives celles qui sont dirigées en sens contraire.

Il suit encore de là que pour tout plan passant par le centre des moyennes distances , et pour ces plans seulement , la somme algébrique des distances és^ nulle.

a* CoBOixAiRB- Quand tous les points donnés sont dans un même plan M, le centre de leurs moyennes distances s*y trouve aussi ; car sî l'on considère un plan parallèle P, tous les poînb donnés en seront à la même distance i et cette 'distance même sera la moyenne ; d'où il suit que le centré sera dans le plan M.

De plus les distances de ces points À des plans perpendiculaires à celui dans lequel ils se trouvent y étant les mêmes que leurs distances aux traces de ces plans sur ce dernier, il en 'résulté que le centre dès moyennes distances à des pkw qùelr

(395) conques sera c^Iul des moyennes distances à toutes les droites menées dans le plan de ces points.

i4' Problème. iFig. 117). Etant donné un nombre m de droites passant par un même point 8% on demande le lieu des points X telsf qucn abaissant sur elles des perpendiculaires , la somme des produits de leurs distances au point S ^ par des lignes données , soit égale à une surface donnée K*.

Soient prises sur les droites données à partir de S , des parties SA, SA',. . •, égales aux lignes par lesquelles il faut Aiultiplier les distances SP, SP',. . ., du point S aux pieds P, P',. • ./des perpendiculaires abaissées du point X sur les droites données. Si Ton tire AQ, A'Q',. .*, perpendiculaires sur SX, les triangles semblables donneront

SPxSA=:SQxSX,SP'XSA' = SQfXSX,..-

Faisant la somme de ces égalités , on aura

K»=SXx (SQ + SQ'4....).

Soit Z le centre des moyennes distances des points A, A',. . • ; la distance SV sera moyenne entre SQ, SQ',. . ., puisque toutes ces lignes .sont les distances des pomts Z , A , A , . . , au plan perpendiculaire à SX mené par S ; on pourra donc écrire

K^=SXXmXSV-

Mais si l'on abaisse XC perpendiculaire sur la droite SZ , on aura ,

sxxsv=scxsz.

Substituant , il vient

K» = mXSCxSZ;

d'où il suit que SC est une quantité constante. Donc le lieu cberebé est un plan perpendiculaire sur 'la droite qui joint S au centre des moyennes distances de A, A',. . ., et à une distance

m X SZ' 'i5^ PaoBLÈMB. Etant donné un nombre quelconque -de plarts

passant par an même points trouper le lieu des points tels, que la somme des produits de leurs distances à ces plans par des lignes données soit constante.

Si par le point de concours des plans donnés^ on leur mène des droites respectivement perpendiculaires^ et que du point cherché on abaisse des perpendiculaires sur ces droites^ les di* stances des pieds de ces perpendiculaires à l'origine s^ont les mêmes que les distances de ce point aux plans donnés \ on revient donc au problème précèdent.

X 6* Problème. Etant donnés r apothème #» et le rayon II de la base d'un cône droite trouver V angle y du secteur qui en est le développement sur ui% plan.

L'arc intercepté par le secteur sera égal à sirH, puisqu'il sera le développement de la circonférence de la base; comparant à quatre angles droits l'angle opposé x , on aura y par la proportion connue des angles et des arcs divisés par les rayons >

a: î aw •.

•• -t- : ~- Î: r : C, d'où xsr:-^ — , a A a

Ta£oftÈ»c«. {Fig. 1 18). Lorsque^ trois sphères se coupent deux à deuXf lesplhns des trois cercles d'intersection se coupent sui^ i/ant une même droite perpendiculaire au plan des trois centres.

Soient A,B,C, les centres; les plans des cercles d'intersectjoïi seront perpendiculaires sur le plan ABC , et passeront respectivement pau» les droites MN, RS, PQ -, or nous avons prouvé ( pag. a6i ) que ces droites .se coupent en un même point; les trois plans se coupent donc suivant une même droite perpendiculaire au plan ABC et menée par ce point

Théoeème* Quand trois droites rectangulaires coupent une sphère et passent par un point constant^ la somme S» des carrés des cordes comprises est constante,

J^u effet , si l'on abaisse du centre de la sphère des perpendiculaires sur les trois cordes , la sonune des carrés des moitiés de ces cordes sera égale à trois fois le carré du rayon R , moins la somme des carrés des trois perpendiculaires. Mais si l'on formait un |^all9U9i|»ède rectangle avec les trois plaïiaperpÊndioulaires

( 397 ) et le centre de la sphère comme sommet opposé , ces trois per- |)endiculaires seraient les diagonales des faces passant par le centre , et la somme de leurs carrés serait par conséquent égale a deux fois le carré de la distance D du point donné au centre. Le quart de la so;mme proposée S» sera donc égal à 5R* — iD^ j donc la somme sera

TaioBÈMs. (Fïg. 119). Soit ABCDEFG un polye^ne quelcon* que fermé, plan ou gauche; si par un point quelconque O de l'espace, on tire une droite arbitraire'XfX,etdes droites OE,OD,..., égales et parallèles aux côtés du polygone et dirigées dans le même sens que ces divers côtés quand on les parcourt consécu^ tivementf la somme des projections des côtés qui tomberont sur le prolongement OSff sera égale à la somme de celles qui tomberont sur OX^ ou en d autres termes, la somme algébrique totale des projections sur XX' sera nulle, en regardant comme positives celles qui se trouveront à droite du point O, et comme négatives celles qui seront à gauche.

En effet, concevons qu*on mène par deux sommets du polygone deux plans perpendiculaires à XX' , et qui comprennent entre eux tous les autres sommets. Soient A et £ ces deux sommets extrêmes; il pourra arriyei^de deux clioses Tune. Ou^ en parcourant de E "vers A la partie EDCBA ,-on s'éloignera toujours du plan perpendiculaire à XX' mené par E , ou Ton s'en éloignera et on s'en rapprochera successiyement. Examinons ces deux cas.

Dans le premier cas ^ les parallèles menées* par O aux côtés f' de la partie EDCBA, auront toutes leurs projections sur OX' ; et en supposant la partie AGFE dans le même ca's , par rapport au plan mené par A , ses oôtés se projetteront sur OX. Mais les deux sommes de projections sur OX et OX' senties projections des parties EDCBA et A(xF£, c'est-à-dire la distance même des deux plans perpendiculaires '& XX'; d'oIi il suit que ces deux sommes sont égales.

Dms le second cas^ soit ED (Jlg. 1 1 9 bis) un côté suivant lequel

en se rappirocheradu plan mené par leaottimet extrême G. Cowie* Yons par les extrémités de ED, des plans perpendiculaires à XX'^ et qui coupent le polygone en M et N ; on aura trois lignes ËM 9 ED ^ DN^ dont deux £M , ËD auront enO des projections égales et de senslcontraîre^ et la troisième une projection égale et située sur OX'. Il en serait de même quel que fût le nombre impair des inter* sections du polygone par les plans menés par D et E, et on agirait de la même manière pour la partie ALKIHG; d'ôu il suit que les projections situées respectiTement sur OX et OX^ se composeront d'abord de la distance des deux plans extrêmes ^ plus les distances communes des plans intermédiaires, tels que ceux que l'on a menés par D et'E. Donc enfin , dans tous les cas^ ces deux sommes sont égales ; et par conséquent y leur somme algébrique sera nulle dans le sens indiqué par l'énoncé..

1^*^ CoROLiiABŒ. Si l'on mène par O uù plan perpendiculaire à XX', les projections des côtés OE, OF^« . », serotit les di«» stances des extrémités £ , F,. * • , à èe plan; et Ton yoit> par le théorème précédent, que cette somme est nulle^ quelle que soit la ditection du plan , puisque la droite XX' est arbitraire,

2* CûRO£LAiBE. Le point O sera le centre des moyennes distances des points E, D, C,. . ., car ce qui précède a lieu poar tous les plans passant par O; et la distance du point O à tous ces pl^ns étant nulle; est égale à la moyenne distance de tovs les points Ë , D , C, . . . , à ces divers plans j le point O est donc le centre des moyennes distances dé ces |>oints jl tout plan de l'espace, puisqu'il sniïit pour cela qu'il le soit relativement a troi& plans qui se coupent en un même point*

3^ CoBOx^ukiRE. On sait que la projection d'une droite sur une autre est égale a la longueur de la première multipliéepar le cosinus de l'angle qu'elle fait avec la seconde. Si donc 01» désigne par a, b ,Cy d,. , ., les côtés d'un polygone quelconque et par *t, C , y , ^ ,. . . , les angles qu'ils font avec la direction OX d'une droite quelconque , on aura , en observant que les projec* tions situées sur le prolongement OX'' de OX correspondent i des cosinus néglatifs ,

c cos afc + 6 cos ^-|- c cos ^ -f d cos J^-t- . - . = o.

Thsorème. La somme dés produits des faces cTun polyèdre convexe quelconque, pair les cosinus des angles quelles font avec un même plan est nulle-, en prenant toujours pour ces angles ceux qui comprennent entre leurs faces le polyèdre donné.

En effet , si ï'oa conçoit une perpendiculaire au plan ue projection , qui se meuve en touchant continuellement la surface vdu poljèdrei elle la partagera en deux surfaces qui donneront Mîhacune pour projection la partie du plan limitée par le poly-c gone décrit par le pied de la perpendiculaire mobile. On observera de plus que les angles des faces avec le plan de projection , pris comme l'indique Fénoncéi sont tous aigus pour la partie supérieure, et obtus pour la partie inférieure^ et comme, la projection d'une aire plane est égale à cette aîi:e multipliée par le cosinus de l'angle des deux plans , tl'suit de tout cela que la somme des produits des faces du polyèdre par les cosinus des angles qu'elles font avec un même plan, est égale à zéro.

]>s élèves pourront cherc>!rer les modifications que subit ce . théorème dans le cas d'un polyèdre à angles rentrans.

TnÉOBièMB. Dans tout polygone convexe, le carré d'un de$ cotés lest égal à la somme des carrés de tous les autres , moins deux fois la somme de leurs produits deux à deux , mul^ tipliés par le cosinus de V angle compris.

Eh effet , un côté quelconque d'un polygone est égal à la somme des projections de tous les autres côtés sur le premier , en prenant négativement celles des côtés qui feront à.es angles obtus avec la ligne des projections, pourvu que l*on considère toujours les angles qui comprennent le polygone entre Içurs côtés. On aura donc les diverses équations suivantes, en désignant généralement par (m/i) l' sangle que les côtés m* et » font entre eux,

et = & cos (ab) + c cos (jac) + d cîos {ad) + e côs (aé) -f-\ . . b=:a cos (Aa) -f- c cos {bc) -f- d cos {bd) -f- e cos {be) •+-...

czna cos (ca) + b cos (ci) 7^- d cos {cd) -f- e cos (ce) -f- • • .

Multipliant la première par a , la seconde par 6,4a troisième

- (3oo)

par Cy et ainsi de suite , il vient , en retrancluint de la première équation la somme de toutes les autres, et faisant les réductions ,

a* — i*— c'— d*— . .• = — 26ccos(&c) — abdcm{bà)

— a6ecos(6e) — ... — acd cos (cd) — ace co8(c6)— . . *

Y^oxk résulte

iz*=&*+c'4-^*+« • • — a6cco6(*c)-^aidcos(ftd) — . . .

— acrf cos {cd) — ace cos (ce) — . . .

G)ROLijLiRS. On peut calculer par là le dernier côté d'un polygone y et ses deux angles adjacens, quand on connaît toas les autres côtés, ainsi que leur arrangement et leurs angles; on déterminera le^ côté inconnu , au moyen de la formule précédente , et chacun des angles adjacens se déterminera en prenant les formules analogues pour les deux côtés adjacens; chacune de ces équations déterminera le cosinus de l'un des angles-

TnÉoBiBCB. Le carré d'une des faces âun polyèdre convexe est égal à la somme des carrés des autres faces ^ moins la sQmme.de leurs produits deux à deux multipliés par le cosinus de Pangle compris ; car une face quelconque est égale k la somme des projections de toutes les autres , en les prenant négativement, quand l'angle dièdre que font ces faces avec celle d,e projection est obtus : on en déuaîra donc, par lé même calcul que dans le cas précédent ( en désignant les faces par A, D, C , D, etc. ) ^ que

A»=B»+C*+D*4-. . . — aBCoosCBC) — aBDcosCBD)— . . ;

Théorème. ( iPVg. xao). Dans un triangle cjuelconque ABC si on tire une sécante arbitraire DE, toute ligne Ali, menée par le sommet , jouira de la propriété que le rapport de

AF* . AH* ,

«STP; — r^Tî » nr^ — rrrr^sera constant, DFxm BH X HG

En effet ; on a .

( 3oi )

' AF sîn fit AF sîn *' „ ,

=-— = -;^ — et -iEï£r = — : — r; ci ou i Bt smy . FE sm /

At sin « sîn «t

DFx F£ sinysinJ*

^ - . ^ AH sîn /9 sin fi^

On a de même - ^r^r — ==7^ ci:^ -: : — r.

' BHxHC sm y sin *

AF AH

Ce rapport est constant^ puisque les droites BG ^ DE étant fixes, les angles a^ ^'9^9 /S' sont inyariables. Le principe est donc démontré.

CoRoixAiRE. Si Ton avait /=i3 y il en résulterait ct=0% et ce; rapport deviendrait l'unité.

On peut d'ailleurs le démontrer directement, en remarquant qii'on a y par les triangles semblables ,