COS
d'oii
V = — ^ — 5 rt w V 19 + cos*3a+ 10 cos 5u.
Sous la première forme , l'équation nous montre ; à cause
des trois valeurs de u correspondantes à une valeur de cos 5u,
que si l'on partage la circonférence en trois secteurs de -
d'angle droit chacun , la courbe sera symétrique dans chacun de ces secteurs ; en sorte qu'il sui&ra de voii: sa forme entre les lignes PB^ PB'; maisCB^ sur laquelle on compte les angles» partageant 6PB' en deux parties égales^ la même forme d'équa-^ t ton fait voir que la portion de la courbe comprise entre ces deux droites, sera symétrique au-dessus et au->dessous de PC ; en sorte qu'il suffît de la discuter dans l'angle BPC ; c'est-à-^ire depuis cos3u = — i , jusqu'à cos 3a = + 1 ; les valeurs de v correspondantes sont :
or , en prenant le signe positif pour le radical , on voit facilement que cos 3a augmentant depuis -— 1 jusqu'à 4* ^ > V augmente depuis 3 jusqu'à 5 ; dq^c la courbe aura à peu
près la forme EC , ^i PE = 3 , P = 5. Il y aura une autre
branche (ce) séparée de la première, pour laquelle P«r= -,
Pc = i ; car il est facile ^e prouver qu'il n'existe pas de courbe entre le point e et le point E i pour cela faisons v==:3 — ^ dans la première équation , i" étant moindre que Ee, et par con* séquent moindre que 2 , nous aurons
or
ait
- (•= j\ est positif 9 si ^ < a; et il faudra que IW
- (-= j j <a, ou au plus égalj de là où tire ^ >î
ouégal; tfoù *'<3 — -<5, ou au plus égal, quand.
cos 3u = — 1 , c'est-à-dire sur le rayon PB.
Enfin la génération de la courbe fait voir que la plus grande valeur du rayon vecteur PC est 3 •+• a , et que la plus petite p£* = 3 «^ «2 ; donc si on achève la courbe dans les autres angles oi elle est symétrique, et que l'on décrive quatre cercles du centre P, avec les rayons 5 , 3 , f , i la tx)urbe sera tout entière comprise dans le cercle PC qu'elle touchera aux points C F, L; elle se composera de deux courbes distinctes, l'une comprise entre ce premier cercle et Ip cercle PE qu'elle touchera aux points E , N , I -, l'autre comprise entre les cercles décrits du rayon Pc qu'elle touchera aux points, c, g, h et du rayon Pc qu'elle touchera aux points e, n , f; il n'y aura riea dans le cercle Pc , rien entre les cercles Pc , PE.
On voit que le cône développé ne fournira que le secteur iBPB'; en sorte que le compas n'aura décrit que la courbe comprise dans cet espace , ou le tiers de la courbe entière.
Théorèmes à démontfep.
Tb^obêmb» (-Rg. i64)« Si ton décrit une circonférence ê un liiamètre quelconque dont le centre à soit celui du cercle inscrit dans le triangle ABG^ la sommé des carrés des distances des sommets A, B, C^ à iz/i point quelconque m de cette circonférence^ multipliés respectivement par les côtés BC, AC^ AB opposés aux sommets A, B, C, sera toujours la même y quel que soit le point que Von prenne sur la circonférence. C'est-à-dire
que la somme des solides TA A, X BC, MB X AC, MC X AB, sera la même pour tous les points de la circonférence rhen^ tionnée, • *
J\ est visible que l'on peut , danâ cet énoncé , remplacer les côtés BC, AC, AB par les sinus dea angles A, B, C.
îj. existe, pour la pyramide triangulaire, une proposition analogue.
TfléoRÂiçÈ. (Fig. i65). Soient y ABCDE un polygone quel- CQnq\ie inscrit dans un cercle y FGHIK un polygone circonscrit dont les cotés touchent lu circonférence aux sommet» A, B, C, i D, Ë Ju premier polygone ; si Pon décrit avec un rayon arbi' traire une nouvelle circonférence qui ait le même centre que la première y la somme des carrés des diséances des sommets AyB, G; D, £ à un point quelconque m de cette circonférence y multipliés respectivement par* lei tangentes Kl, KF, FG, GH, Hl, sera toujours la même. Oest-à^ire que la somme des solides
MAXKÏ,MBXKF, MCxFG, MÎD*xGH, MÊViH, est
constante.
Si le polygone ABCDE était régulier, les tangentes Kl, K.F, FG, etc., seraient égales, et ce serait alors la somme des carrés
MA , MB , MC , MD , M£ /qui resterait constante. Ce £»s particulier est déjà consigné dans la Géométrie de position.
Théorème. Dans tout polygone y plan ou gauche, la somme des carrés des droites qui joignent deux à deux les points mi' lieux tant des côtés que des diagonales, est le huitième de la
ix^lmme des carrés de ees côtés et diagonales, muUipîiée par h produit des deux nombres que Pan forme en retranchant suc* cessivement i et 2 du nombre des sommets de ce polygone^ Oest^-'dire que si ton désigne par n ie nombre des sommets du polygone , par D la somme des carrés tant des côtés que des diagonales y par d la somme des carrés des droites , qui joignent deux à deux les points milieux, tant des côtés que des dicLgo* É nales, on aura toujours
I>an$ le cas d^un triangle; 7i = 3, et la formule donfie
rf=iD.
Si ii=;4, on trouve d=^ jDj ainsi ^ dans un quadrilatère ^^
la somme des carrés des quinze droites qui joignent deux à
deux les milieux tant des côtés que des diagonales , égale les y
des carrés de ces côtés et diagonales« Nota. M. Carnot a donné (Géométrie de position, pages 33 1
et ISa) la formule cf = ^ (« — a) D, mais M. Carnot s'est
trompé, Cela devient évident lorsqu'on suit les calculs qui l'ont conduit à ce résultat; d'ailleurs, en appliquant sa formule au
quadrilatère, on trouve <£ r:= - D, tandis qu-'on devrait trou«
ver fî :?= 7- D , comme il est facile de ^s'en assurer. 4 ' -
