sînC: BP; d'où BP = *'sinC

Portant ces valeurs de DAG et de BP dans Fexpressîon du volume de la pyramide , et prenant \ rr? pour la constante à laquelle ce solide doit toujours être égal, on aura

xy z' sin « sin C = m^.

Il ne reste plus qu'à exprimer les variables a?, y% 7! en fonction des coordonnées x, j' , 2 du centre de gravité G de la pyramide. Qr, on sait que AH-=4GH ; d'où Ton voit, an moyen de triangles faciles à construire , que -*

2i'=4jB, y=:4y, x' = 4a?.

Substituant dans l'équation ci-dessus , elle devient

rr?

(1) . . . xya = 27-7 r-T,.

^, -^ o4siniisinb

Cest l'équation du lieu géométrique décrit par le centre de gravité de la pyramide. Il est aisé de voir que cette surface est €isymptpte aux trois plans de l'angle solide A. Si on la coupe par des plans parallèles aux plans coordonnés, par exemple par xin plan parallèle à celui des xy dont l'équation est zzssa, la projection de l'intersection sur ce dernier plan sera

^ 64 a sin « sin C '

iqiiatton qui appartient à une hyperbole ayant pour asymptote les axes des r et des y.

Il en sera de même par rapport à toutes les sections faîtei dans la surface par des plans parallèles aux xz et aux 3^2 ; ce qui permet de la considérer comme une sorte â!hyperboldide ia troisième ordre» Cette surface est composée de quatre nappei indéfinies qui occupent chacune l'un des huit angles trièdres formés autour du sommet A de la pyramide par les plans dé coordonnées. Mais on remarquera que les diverses nappes ne s'étendent pas dans les angles opposés par le sommet. Ces pro* priétés sont une conséquence de Téquaticm de la surface dont la forme étant x^£=P, exige quç les -variahles soient toutes trois positives 9 ou que l'une soit positive et les deux autres néga. tiveâ. Ces quatre combinaisons de signes répondent aux quatre nappes^ et les fixent dans des angles trièdres tels y qu'aucuns ne sont opposés par le sommet.

Lorsque l'angle solide A est rectangulaire^ on asin«=$inC:^i) et l'équation de la surface se réduit à

Si msso y Péquatlon correspondante xy£=o est satisfaite par les trois plans coordonnés.

4* PaoBLÂiiaç, Etant données une sphère et trois droites dans tespacCy mener un plan tangent à la sphère qui fasse des angks égaux avec ces droites.

Soient AB, CD, EF ifig. 161) les trois droites, et OGMH la sphère dtiiinée. Nous^ prendrons la première de cea lignes pour axe des .Z, et la perpendiculaire AO memée da ceatlpe de la sphère poi^ celui des x. L'as^e des jf s^r^ élevé par le j^int L p.erpen4iÇ]i4aw<'ni6n,t «,« pja^ ZAX-

Les équations^ 4^1; 4roi1e8; AP» Cl^i EF, r^ppprtéf^ ^ ce g^ tème d'axes ^ro^^

fx — o-i fx = az + »\ /.x = a'z + «'l \y=:of' \yè=bz+Cf' tj^=i'»+C('

( 387) faisant AO = p, la sphère dont le rayon est R aura pour

' équation

Enfin, le plan tangent clierché RS aura pour équation

Il s'agit de déterminer les coefiîciens A , B , D en fonction des constantes qui entrent dans les équations des trois droites et dans celle delà sphère. Pour cela, nous calculerons les sinus des angles que font les trois droites avec le plan RS. On trouve pour le sinus de l'angle que fait AB avec le plan RS,

et pour les sinus des angles formés par O) et EF avec l|j plan RS,

Aà + Bb + i Ad-iAByJhi

Egalant l'expression du premier sinus à celles des deux au^ très, on stura deux équations qui serviront à déterminer A et B. Ces équations sont

1 ^^ Aa + B64-i

V/A* + B»+i )/i +a» + è*Vï4-A»+B»

1 Aa' + B&'+ i

On en tire

y(|/Snp t> 4. 1 — i) — 5 (i/^^iqiï^^i — 1) A — - ci'^Jo' '

a (/«"H- *'"+ I — i) — o' (i/a» -4- i«-j- , ,) B— ' ,ûi'-fr«' ■' ; '

Ces valeurs portées dans l'équation du plan expi^imeraîei^ qu'il fait des angles égaux avec les trois droites. Si le coefficient D reste encore indéterminé , c'est que tout plan parallèle à BS rencontrerait les droites sous les mêmes angles.

Mais la valeur de D se déduira de^la condition que le plan RS soit tangent à la sphère. A cet effet, abaissons le rayon CM perpendiculairement sur le plan RS, les équations de OM seront

x = A£»f>p et y=zBz.

Le point M oh. ce rayon coupe la sphère a pour coordonnées AR , BR R

Ces valeurs portées dans l'équation du plan conduiront à

L'équation générale des plans tangens qui répondent aux conditions du problème est donc

Ax + By + a==:±R(A«+B«+i) + A/>;

A et B devant être remplacés par leurs valeurs ci-dessus calculées.

Si l'on conobine le double signe des deux radicaux carrés qui entrent dans les formules, on voit que A et B sont susceptibles de quatre valeurs, et que chacun de ces couples donne deux plans tangens parallèles ; ainsi le problèmç a huit solutions.

On aura l'angle formé avec les trois droites par les plans non parallèles, en portant les valeurs conjuguées de A et B dans l'expression du sinus de cet angle qui est '

Le calcul delà substitution ne présentant aucune simplification importante, nous nous dispenserons de le rapporter, ainsi que cl'ex^miner ce qui arrive quand les dipites données sont parallèles toutes trois ou perpendiculaires entre elles, et gêné-

ralement quand leurs positions respectives modifient les f<H*ii] aies qui font connaître A et B. Les élèves pourront entreprendre cette discussion.

5^ Problème. tJn cercle étant donné dans un plan horizon" hl, on demande, i^. de faire voir que si Pon coupe un cône droit dont le cercle soit la base, par une suite de plans verticaux et parallèles entre eux, les sections résultantes seront des hy^ perboles qui auront leurs asymptotes parallèles ; n^. de trouver sur la verticale élevée par le centre du cercle, le point oit il faut placer le sonimet du cône pour que les hyperboles soient equi^ latères. ,

Je place l'origine des coordonnées au sommet du cône> je prends son aie pour axe des £^ et le plan des xy parallèle à celui du cercle donné. Dans cette position , l'équation du cône rapporté à des axes rectangulaires est

^*+y=::;Xa*

y a représentant le rayon du cercle; et c la hauteur du cône. Observons maintenant que la surface étant symétrique par rapport à Taxe des z , tout plan vertical, quelle que soit sa position, donnera même intersection.à distance égale de l'origine. Il suffît donc de considérer les plans coupans dans une direction particulière. Nous les prendrons parallèles au plan dçsyz ; alors ils ont pour équation xzszm, et toutes les intersections se projetteront dans leur véritable grandeur sur ce plan. L'élimination, de X donne l'équation

qui représente une hyperbole, pour toutes valeurs de m. Les asymptotes communes à cette suite d'hyperboles ont pour équa-»

tion , ' >

Résultat indépendant de m , et qui caractérise les deux,générar trices du cône situées dans le plan, yz. Il suit de là j.

1®. Que tous les plans verticaux paraDèles au planta éoupent le cône suÎTant des hyperboles qui ont leurs asymptotes parallèles aux deux génératrices opposées du cpne placées dans le plaa àesyz.

2°. Que chacune de ces hyperboles a son centre sur Paxe des x,

D'après ce qui précède ^ on serait conduit à des résultats sem-t blables pour toute autre direction des plans verticaux parallèles.

Cl^erchons enfin quel est le sommet qui rendra les hyperboles équilatëres^ On sait que le caractère de cette classe de courbes du second degré est d'avoir ses asymptotes rectanguf laires. Cette condition donne |ï = c , ç*e^t-à-dire que la hauteur du cône doit être ëgale au rayon de sa base.

6® PEOPLiME. TYouver Péquation de la suifaee engendrée

par une parabole tournant autour de son axe , et déterminer la

position que doit avoir cet axe pour que l^ intersection de lasur^

face par un plan quelconque donne un cercle pour projection

fur un plan donné.

Prenons le plan des x ely parallèle au plan donnée et IVi" gîne au sommet de la parabole.

Cela posé, les çqi^ations de l'axe de la parabole seront

a: = mZy yznnz.

C^ïle d'un plan quelconque perpendiculaire à cette droite serai

z + mx + ny =: ^.

Le point d'intersection de ce plan avec l*axe aura pour coor-^ données

m ntf m*

et si l'on nomme d la distance de ce point à l'origine y on anr^

Nommant p la perpendiculaire abaissée du point où le plan

( 3gi )

fK>4i|ie la paihafaole suc l^axe de la parabole; on âl^l^a^ay^l^

(l) . .. p*= sac?,

fla étant le paramètre donné de la parabole^ ' ..

Calculant. p (juî est fe distance de deux points don^t. on î^ l'expression des coordonnées, et substituant dans l'éqviatiop, ( ') leç. valeurs de p et d en fonction de «^ puis remettant, ai i lieu de #,> sa valeur z + mx + ny y on aura l'équation du lieu qui sera^ -^

Soit Mfeîntenant Téquation d'un plan quelconque .^^

»==Aa? + By + Cj

pour avoir la projection dé son iittèrsecti'dn avec la surface., sur le plan xy ou sur tout autre plan parallèle, il suflira dlélixnîner z. entre son équation et celle de la surface. On pourra mênie pour plus de simplicité supposer G=o, parce qUe toutes Jes sections parallèles dans les surfaces du second degré sont semblables. Substituant donc Ax-j-By à z dans l'équation, de la surface , il faudra, pour que l'équation résultante soit celle d'un cercle, que le coefficient de xy soit nul, et que lès coefficiens de ce* et y* soient égaux \ ce qui dpnne les deux conditions

AB(7R* -f- /i*) — A/î — Bm -ç" tnnssz o, 1+ rt«-|. A*(7«,*+ v^) — amA :;= 1 4. m* + B*C7n*+ fi*) — 271B.

Or, la première ne peut être satisfaite , quels que(soient A et B , que si l'on a 7n=o, 71=0, et dans ce cas, la seconde le sei-a' aussi identiquement.

Il résulte de là que l'axe de la parabole doit être perpendicu-^ laire au plan sur lequel on projette les sections planes de la surface 9 et de plus que cette condition est suffisante- L'éqjuation de la surface se réduit alors à

On pourrait facilement démontrer à priori par la Géométrie

simple i que la projection d*ane section plane qaelotmqvecPini paraboloïde de révolution sur le plan tangent au sommet est un cercle*

7* PaoBLEia. On donne de position le rayon éPune sphère ^ et ton propose de démontrer qiÛun plan quelconque perpendiculaire à ce rayon , coupe suivant un cercle tout cône qui a son sommet à Pextrémité du rayon et pour base un cercle de la sphère.

Nous placerons Porigine des coordonnées rectangulaires au sommet A {^g. 162) du cône, le plan des ay sera parallèle au petit. cercle dé la sphère qui sert de base au cône, et^ttlui des zx passera par le centre de la sphère. ^^

L'équation du petit cercle DELE est

a représentant Pabscisse du centre de la sphère, d le rayon BD et c la distance BO.

Une droite, tournant autour du point fixe A en s'appuyant constamment sur la circonférence DE£, engendrera une surface conique dont l'équation sera (*)

(1) . . . (ex r- c»)* + cy = dV.

Pour exprimer que ce cône est inscrit dans la sphère , il faut remplacer d par une fonction du rayon R de la sphère.

Le triangle BŒ donne BE = 'Œ — Bc!

D'ailleurs BC = BO — OC.

Désignant OC par b^ il vient

d*=R*— (c — *)»• Substituant dans (1) , on aura pour l'équation du cône inscriti (a)... (ex— aa)» + cy = a»[R*— (c~fr)*].

D Vq7« TAppiication d« TAlgèbre h la Géomctrie, dcRejnaod.

• (393) n reste & eoaper.ce cAm par un plan parpendioulaire an rayon CA y et k reooimaitre la nature de l'intersection.

L'équation du rayon CA, qui. est dirigé dans le plan des zx en paasant par l'origine est

Celle du plan qui lui sera perpendiculaire en un point quelconque! sera

y restant arbitraire. Maintenant soit M un point de l'intersection du cane par le plan pci;pendiculaire z'A'y, et proposonsnous de rapporter tous ces points aux deux coordonnées rectas- ^pilaires A'z% A! y prises dans le plan coupant. A cet effet , nous obsenrerons que le point M satisfait à l'équation du cône inscrit; par conséquent, si l'on exprime ses coordonnées

AQ = a?, PQ = y, PM=:a,

au moyen de A'R=y' et BMs=j&^,

oti aura, par la substitution des valeurs àexyj^z enfbnction de y et de J dans (â) , Téquation de l'intersection. Or, on a éridemment PQ = A'R ou y:=:y\

Le triangle MRP donne FR ou. À'Q = MR cos MBP ;

mais A'Q = AA'— AQ = P — X,

et l'angle IMRP est éfssl à Pangle z'A'A dont la tangente trigo* nométrique est -r. Donc

008 MRP ==

Ainsi P— x = -g- ou « = •— -g- + P.

(394) Enfin ^ lé même triangte MRP donne

MP=MRstnMRP} donc « = ^.

Portant ces valeurs de ce, y y s dans l'équation (2), elle donnera pour l'équation de l'intersection du cône par le plan z'È^y'

Il reste à reconnaître que le lieu de cette équation est un cercle , ce qui sera Tcrifié si les coeffîciens de j''* et de a'*, lorsque ces termes auront été transportés dans le premier membre de l'équation > sont égaux et de même signe. A cet efiet, nous prdon-* nerons par rapportaus yâuri^leâ. Ce calcul oôndoit à

+ c*PR»=:o,

Développant le coefficient de 3'*, on peut ?éerire ainsi

Observant que a*+ 6*= R*, il se réduit à c*R% qui est aussi te» coefficient à^y'** Donc l'intersection est un cercle; et comme cerésultat est le même pour toute valeur de P^ il s'ensuit que la section faite dans un cône inscrit à une sphère par un plan quelconque perpendiculaire au rayon qui passe par le sommet; est constamment un cercle.

8^ pROBiiiME. Etant donné un cône droit dans lequel le tayon de la base est le tiers de F apothème, si l'on prend sur la surface du cône*un point situé à la distance a du sommet y et que de ce point , comme centre y avec une ouverture de compas égale àtyOn trace sur la surface du cône une courbe y laquelle pourrait être considérée comme ^intersection de cette surface avec celle de la sphère qui a son centre au point donnée et don t le rayon est r. Si ensuite on développe la surface convexe du cône en une surfaceplanéi laifuelle sera un secteur circulairey dont F angle

est I d'angle droit , on demande t équation de la courbe tracée sur la surface du cône , et devenue plane par le développement de cette même surface en un secteur plan. Véquation de la courbeétant trouvée en général geur toutes les valeurs de r et de a, on fera a=3,r = 2, et on déterminera pour ce ctis particulier la Jigurp, exacte de la courbe, en la traçant dans toute son étendue.

On examinera de plus si la courbe est décrite tout entière par le compas qui tourne autour du point donné, ou s'il rCy à guune partie àe la courbe décrite par ce procédé , et quelle est cette partie.

Concevons le cône et la sphère décrite du point donne A (fig' 1 63) et supposons un plan horiaontal HB qui coupe ces deux Surfaces , respectîyement suivant un cerclé que nlMiâ projeterons sur la base du cône. Joignons enfin leurs centres et un de leurs points d'intersection , nous formerons ainsi un triangle EFG.

Cela posé y il est clair que le plan méridien passant par le f)oint F contiendra les points de la courbe situés à la hauteur HB^ ou ^ ce qui est la même chose , à la distance SB du sommet i et que , par conséquent , Pun de ces points se trouverait sur la génératrice passant par le point L , qui, dans le développement j^ fera avec la génératrice SK un angle qui aura pour mesure un ^re égal en longueur à LK , décrit du rayon SÏi ; mais Pangle EGF a pour mesure le même arc décrit d'un rayon trois fois moindre , il est donc ti-iple du précédent j en sorte que l'équation polaire de la courbe que l'on cherche ne dépend que d'une relation entre SB==i/ et EGF = 3m, Qr, le triangla EGF donqe

„- trr- ^ ËG +G ' F -TF

EGF=:3b, EG = isA = ia, Gr = 4SB = ^i',

EF=r»— BC = r» — AB + AC = »*— (a — v)"»