LIVRE PREMIER

COttSIDBKATIOKJB ^ÉlfÉRALES fiÙR l'aRITHKBTIQUE

£T SUR l'algèbre.

Des Nombres en généraL

\* Jlis Twmhre est le rapport de deux grandeurs de même espëeei il dontte là mesure de Tune par rapport à l'autre considérée comme terme de comparaison et à laquelle on donne alors It nom SutdU.

L6A ttombres peuvent varier ^ Pinfini en même temps que les ^^àlideurs comparées, et si l'on imaginé que l'unité restant «oiiiÀta.iite) la grandeur à mesurer croisse d'une maniëre continue 4epm6 zéro jusqu'à l'infini, soti rapport à l'unité croîtra 86MUablement d'une manière contitiue , et tous les nombres «oronil été engendrés.

Biupori tîes rapports, les plus remarquables sont ceux qui ont Heu lorsque la grandeur variable se eompose exactement de pMrties égales ià Tunité : dam ce cas, les nombves s'àppeHent

éjitUn; le plus petit est relatif a Pégalité de la grandeur ^ Tunké. Lora^e k gittndeâr est moinllfe que l'unitèi les nombres prennent le 'nom infractions»

L'idée des nombres entiers se ramène donc immédiatement à celle de l'égalité, qui est le plus simple de tous les rap^pôrts. Pour raàiener les fractions aux nombres entiers, ou conçoit l'unité et la grandeur à mesurer décomposées, en parties de même grandeur^ les deux nombres entiers qui en résultent sont composés l'un par rapport à l'autre de la même manière que les deux grandeurs correspondantes, et leur rapport est par conséquent le même, on exprime donc les fractions au moyen de deux nombres, dont l'un indique en combien de parties égales l'unité est divisée , et l'autre combien il y a de ces parties dans la grandeur à mesurer.

Mais il pourrait se faire que cette dernière n'eût pas de commune mesure a^ec l'unité; c'est-à-dire quMl n'existât pas de grandeur, si petite qu'elle fût, qui fût contenue exactement dans elje et dans l'unité ; c'est ce qui arrÎTe quand on Tejut ér»luer le rapport du côté d'un carré à sa diagonale. Dans ce cas fe rapport des nombres entiers ne donne qu'une approximation ; mais elle peut être aussi grande qu'on yeut : car en partageant Funité en parties de plus en plus petites et les portant sur la grandeur à mesurer, le reste sera toujours moindre qu'une de ces parties , et pourra par conséquent devenir moindre que toute grandeur donnée', le rapport qu'on obtiendra en négligeant ce reste pourra donc approcher autant qu'on voudra du véritable.

2. Les nombres sont d'un usage continuel dans la rie ;- ils servent à. donner l'idée des grandeurs qu'on ne peut montrer aux yeux et qui ne sauraient alors être déterminées autrement que par leur rapport avec d'autres que l'on connaît, ^ans tous les cas de ce genre y l'emploi des nombres est indispensable ; mais il est encore de la plus grande utilité lors même que l'on poorrait montrer les choses dont on veut donner la connaissance* La première raison en est que l'idée des nombres n'est pcsîiit soumise aux erreurs des sens comme l'estimation par y^sSi e% le toucher ;i^ et qu'ils sont par conséquent plu^ propres que fOHte

(3) «iittre diose à donner une potion exacte ifis grandeurs en les rapportant à une seule bien connue : la seconde raison est qu'il faudrait c<mnattre d'une manière absolue toutes les grandeurs de chaque espèce , ce qui surcbargerait la mémoire d'une quantité pr<^igieuse de noms et d'imagés, sans qu'on pût encore s^élever jusqu'à l'idée de grandeurs que l'on n'aurait pas vues et ' parfaitement retenues dans son esprit. £n déterminant au coutraire les^juantités par leurs rapports à d'autres connues, ou n'a besoin que d'étudier les nombres une fois pour toutes, et de cx>nnaitre une seule grandeur de chaque espèce d'une manière absolue^

Pour distinguer les nombres, il a fallu les représenter par des signes difierens* Ceux au moyen desquels les hommes se communiquent le plus habituellement leurs pensées étant la parole et l'écriture^ on a exprimé les nombres par des mots et des caractères; ce qui constitue la théorie de la numération.

De la Numération.

5. De même qu'on avait rapporté les grandeurs à d'autres grandeurs connues de même espèce , on a pensé qu'il serait ayantageux de rapporter les nombres à d'autres connus d'arance et choisis de manière que ce rapport fût toujours plus simple que ' le nombre à exprimer. Commençons par considérer à cet effet les nombres entiers. . .

Les termes de comparpson ont été choisis parmi les nombres entiers, comme plus simples que tous les autres : de plus on les a pris constans, parce que devant être tout-à-faît familiers, il fallait restreindre leur nombre le plus possible. Enfin on a établi le même rapport entre l'un quelconque de ces termes et le suivant, afin que le passage de l'un à l'autre se fit au moyen de la même idée de pluralité, ce qui soulageait à la fois* la conception et la mémoire. Le premier terme de comparaison devait être le nombre un, comme formant tous les nombres entiers en s'ajoutant à lui-même; quant au rapport entre deux termes consécutifs, il restait ar^traire; il a été choisi ^al à dix , probable*-

ment parce que les hommes ont oommenoé p»r compter me

' «Is twnws de comparaison trnê fois connus et devenus familiers rien n'éteit plui facOe que d'exprimé* par leur moyen tous les nombres entiers. En efièt, imaginons un nombre quelconclue, et conccTons-le décomposé en dixaines; d y en aura un noie quelconque, plus des unités en nombre momdre que dix- s'il y a plus de dix dixaines, décomposons-les en groupes de dix c'est-à-dire en centaines; le nombre des dixaines restantes sera encore moindre que dix. En continuaM ainsi , on arrivera à un point où le nombre des unités de la plus forte espèce sera moindre que dix, et le nombre total sera exprimé en unités simples, dixaines, centaines, etc. ; chacun de ces termes de comparaison sera en nombre moindre que dix, et n'exigera par conséquent que la conception de neuf pluralités différentes, et le souTenir de neuf mots pour les représenter.

Nous ajouterons que le nombre des termes de comparaison sera fort petit et que six ou sept suffiront pour les plus grands calculs dont la vie sociale Mre des applications.

4. Ayant ainsi donné la conception et là nomenclature des nombres, il restait à les écrire de la maniée la plus propre S leur calcul. On pouvait faire usage à cet effet de l'écriture ordinaire- mais elle se serait prêtée difficilement aux calculs , et on a eu recours à divers procédés dont nous ferons conn^tre d'abord le plus simple; il se déduit immédiatement de la Nomenclature que nous venons d'exposer, et est maintenant pfes^ue unitêrsdlement employé. Ayant observé que dans la décomposition des nombres en dixaines, centaines, etc., il ne pouvait jamais y avoir plus de neuf unités de chaque espèce, on pensa qu'il était posàble de représenter toutes ces parties au moyen de neuf signes qui désignassent les nombres depuis un jusqu'à neuf, et d'iine notation qui fît connaître l'ordre d'unités représenté dans chaque cas par ces divers signes. On est convenu de désigner cet <^dre par celui dans lequel les signes seraient écrits, de telle 'sorte que le premier à droite marquerait les unités, le second les dixaines, k taolsièine les centwne», etttinsi de suitJe. Mais,

comme il pent artiver que dans certaine nombres il ite te tirouye pas d'unité^ de Fan des ordres intermédiaires entre le premier et le dernier, on a intenté an nouTean signe qui ne représente aucun noml>re , et dont le seul office est de remplacer les ordres qui manquent , afin que les signes à leur gaucbe soùmt au rang qui , d'après, la oonrention, doit correspondre à leur yaleur. Ces dix signes se nomment oAi^rrs et sont o, i, «295/4,5,6,7,8,9»

La numération écrite des Romains était différente de celle-ci ,. qui nous vient des Arabes. Us représentaient cPune manièrefort irr^ulière certains nombres par des lettres de l'alphabet, et se serraient d'une décomposition très variable pour l'exprès-* sion de tous les autres nombres. La conTentioù qui sert de base à ce système consiste en ce que les valeurs indiquées par deux lettres consécutives doivent être ajoutées quand celle dé droite^ marque un nombre plus faible que celle de gaucbe , et rètrancbées dans le cas contraire; nous n'insisterons pas sur un procédé aussi irr^ulier et aussi incomuKKle, dont on ne se sert jamais pour les calculs , et qu'on n'emploie guère que d'une manière isolée dans l'expression des numéros.

Les Grecs avaient chcnsi neuf lettres pour représenter les neuf premiers nombres *, ils les a&ctaient d'un accent pour leur faire marquer deâ dixaines, de deux pour les centaines, et ainsi de suite : de plus, ils les écrivaient dans l'ordre oii ils devaient être lus, c'est-'à-dire dans le même ordre que nous. Leur système ne différait donc du nôtre que par l'omission du séro, au moyen duquel la place des lettres aurait suffi pour indiquer l'espèce de leurs unités, et aurait rendu les accens iniltiles. Quelquefois aussi , les lettres représentaient les nombres d'après le rang qu'elles occupaient dbns Falphabet, ce qui n'était pas en opposition avec le système précédent, oh les neuf premiers nombres' étaient représentés par les neuf premi'ères lettres. Il parait qu'ils se servaient de ce procédé conune nous des cbiffres romains : les cbants de l'Iliade sont numérotés au moyen des lettres consécutives de Falpbabet grec.

Nous laisserons tous ces systtees pour ne plus oAtsidérer que le premier, qui eit le seul employé dans le ealeuL

• 5. Jjcs nombres entiers étant nommés et représentés par Féc^itare, il ne reste plus qu'à s'occuper des fractions. ]Sk>uc avons d^à fait oonnakie d'une manière générale le moyen qdi'on emploie k cet effet , et qui coitôiste dans la décomposition de Fùnité et de la grandeur à mesurer en parties égales. Cette décomposition peut se faire d'une infinité de manières^ parmi lesquelles on choisit de préférence la suivante, comme plus « commode dans* les carlcuTs compliqués. On conçoit l'unité décomposée en dix parties égales , et on chercke combien il y en a dans la grandeur à mesurer ;. si l'on trouve un reste moindre que le dixième de l'unité^on conçoit semblablement ce dixième décomposé en dix parties égalées ^dont chacune seca par consé^ quent le centième de. l'unité principale ; et on voit combien il s'en trouve dans le reste; si les centièmes ne suffisent pas pouc la mel8ui?e complète de- la grandeur, on continue indéfiniment la subdivÎMon décimale.des unités successives. Quant à l'expression do-1^ fraction par l'écriture^ il est 'facile de voir que les unités dfùn ordre quelconque ne pouvant être en nombre supé-% rieur à neuf, les dis. chiffres suffiront pour les représenter, et qu'il ne restera qu'à faire connaître l'ordre des unités représentées,, et pour cela omest convenu de placer les dixièmes à 1». droite* des unités ,^ les centièmes à; la droite des dixièmes, eti ain^ide suite ; de smte qua le rapport de deux unités consécu-^ tive^,.tant dans la partie entière que dans la partie fractionnaire ,. fit toujours dix : on est convenu en outre que le chiffre des unités se reoonnattrait par une virgule mise k sa droite.

Cette manière d'écrire les fractions ofire de l'avantage danSx Ie& calculs un peu compliqués,. mai^ elle a l'incopvénient de ne> donner souvent que par approximation des nombres que l'ou^ aurait pu avoir exactement au moyen d'une autre décomposition»

Lorsqu'on emploie une décomposition^ quelconque de l'unité ,. on écrit les deux nombres qui indiquent combien il y a de .parties dans l'unité et dans la grandeur à mesurer ; le premier $e% met au-dessoa^ de l'autre et ou les sépare par un trait.

Quelquelbis ,, pour exprimer unp fraction, on dçcQinpQSQ,

funitë en parties égak$^ et celles-ci en d aulreS queltooiiqttes , 9.u;tqii^QS on donnç des nomS: qui i^'indiquent nullement leur x:apport a l'unité primitiye; ces sortes de nomlWe^ se nomment complexés ^ et c'est surtout pour éditer les longueurs que idvœ calcul entraine ; que l'on a adopté la subdivision, décimale des grandeurs. On choisissait ordinairement une décomposition qui se prêtât commodément aux détails du commerce ; par ez^emplq, on décomposait la livre poids en 16 onces > parce qu'on pouvait a^nsi en prendre la moitié ^ le quarts le huitième^ le seizième , ce qu'on ne peut faire d'apr&s la décomposition décimais; notais ipalgré cet inconvénient ^ la dvrision décimale ofik*edes avan^t9ges qui doivent lui méritep la préférence*

On avait chercl;ié à.réunir les deux avantages^ en changeant la biase du système de numération» et prenant iQ au lieu de lo; alors les subdivisions des mesures auraient pu être à la fois commodes au calcul'ct au commerce; mais la difficulté d'introduire dans toutes les classes de la société une manière différente de compta et de se faire idée des nombres a fait renoncer à cette ^îitrepfiseï et l'on a conservé, la base diz^.

Des Unités de différente espèce.

6. Ayant aiqsi déterminé de quelle manière on composerait c^t décomposerait l'upité pour l'expression de toutes les grandeurs en nombres 9 il ne restait plus qu'à Exer la grandeur absolue de cette unité pour toutes les espèces de quantités. Il était important d'abord que cette unité fût la même pour tous letf ]geupleS; afin d'éviter les erreurs que pouvaitc causer la similitude des noms attribués à des choses difieventes, ou les calculs néce^sairi^s p(^t|r convertir ces unités, les uj^s dans les autres. ^ était utile encore qije l'unité de chaque espèce pût toujours se retrouver, si elle dispai^s^îssai^ ^ et pour, cela qu'elle eût un rapport çpnni^^avec une. grandeur .invariable;, on a choisi à cet efietun méridien terrestre; on a partagé le quart- de sa cîiv çonférençe en dix millions de parties égales; l'une d'elles a été choisie pour unité 4e. longueur et nommée /tz^Z/v.

G^Ia posé y il ne restait plus qu'à rapports au mètre toutek les autrea unités. Les ^urfaceu et les volumes s^ sont ramenés knmédiatement en prenant pour leurs unités respectÎTes le carré et le cut>e qui auraient pour côté un mMre ou toute autre longueur qui eit un rapport décimal simple avec le mètre.

Pour j rapporter les poida^ on a choisi pour unité le poids d'uxi centimètre cube d'eau distillée prise dans le vide et à son iiiaximum de densité ; ces conditions rendant cette unité inva^ riaUe remplissent l'objet qu'on s'était proposé.

Quant au temps ^ on a trouvé plus naturel de faire dépendre sa mesure du mouvement de la terre qui y outre les avantages dont iious venons de^arler , avait encore celui de l'application la plus commode aux besoins de la vie.

Moyens d obtenir la généralité dans les résultats.

7. La résolution de toutes les questions qu'on peut proposer sur les nombres se ramène à un petit nombre d'opérations simples qui, par les diverses combinaisons qu'on en peut faire servent d^élémens à tontes les autres. Les itérations se repro-duisant à chaque instant sur des nombres différens y il faut jlétemiiner pour chacune d'elles une marche générale indépendante des valeurs particulières de ces liombres^ afin de ne pas reeommencer les rocherches pour chaque cas particulier. Dans les premières opérations, la décomposition uniJbrme des nom^ bres a suffi pour en déduire des règles générales; mais des qu'elles se sôàt un peu compliquées , on a eu besoin de démontfigr des propriétés générales sur les nombres, même pour ré- $pudre des questions particulières, afin qu'étant sûr qu'elles s'appliquaient aux nombres inconnus , on pût combiner ceux-ci avec les données j et en déduire leurs valeurs.

On observera pour cela que si l'on résolvait une question sur des ncnnbres particuliers , sans dénaturer ces nombres par aucune réduction, ils se retrouveraient tous dans le résujti^t, et combinés entre eux d'une manière qui ne dépendrait que de la

(9) sature de la qneslioa et nuUeiaent des valeurs qu'on leur avait supposées. Le résultat s'appliquerait donc à toutes les questions de même nature , qui ne différeront que par la valeur desdon^ nées; il apprendra comment il faut combiner ces données, quelles qu'elles soient, pour former les valeurs des ineonnues. Ce résultat sera donc général

Par exemple, pour découvrir la composition générale du carré de la somme de deux nombres , on en prendra deux arbitraires, 7 et 4, et on multipliera 7 plus 4 par 7 plus 4, ce qui donnera 7 fbis 7, plus deux fois le produit 7 fois 4, plus 4 fois 4 ; cela apprend que le carré de la somme de deux nombres contient toujours le carré du premier nombre , plus le double produit du premier par le second, plus le carré du second.

Ce procédé ne laisserait rien à désirer 8^ il était d'une applica* tton commode^ mais il exigerait qu'on s'interdit toute réduction , toute abréviation dans l'écriture, car on risquerait d'introduire par là des nombres qui fussent déjà dans les données; on pourrait alors les confondre dans le résultat, et on ne saurait plus s'ils sont constans ou variables d'une question dans l'autre : ainsi , dans le cas précédent, la réduction de deux termes ^aux a produit le nombre deux; la simplicité de la question aurait empêché de le confondre avec les données s'il j en avait eu d'^^ales à deux; mais dans des questions ^lus compliquées, il pourrait y avoir des inconvéniens, et l'on a renoncé à ce moyen.

La difficulté venant uniquement de ce que les nombres pris pour représenter les. données avaient des valeurs particulières qui pouvaient se reproduire par la combinaison de ces mêmes données; observant d'ailleurs que l'emploi de ces nombres n'avait d'autre objet que de fixer les idées et de distinguer les nom- ^

bres qui entraient dans la question , on a imaginé de les remplacer pas des signes quelconques qui, ne désignant aucun nombre particulier, ne pussent être confondus avec ceux qui naîtraient du calcuL Ces signes sont lies lettres de l'alpbabet ; on les a eboisies parce qu'elles étaient simples et déjà coaaues.

In

( lO )

8. Il résulte de oesobsenratioBS-qu^spctur résoudre d'\uiema«»^ nière générale une question sur dos nombre», il sufiQt de les. représenter par des lettres, et d'agir comme si Foo traitait un cas particulier : le résultat, aoqiiel oi» parviendra, indi*? quera, par sa forme,, d^ quellç manière il faut combiner les données, dans chamie.c^s particulier^ po«r.foi9Uer le résultai correspondant.

Ainsi, pour trpuyer la loi du produit de la somme de deux nombres quelconques par leur différence , pn représentera ces^ deux nombres par les lettres a,b,eX multipliait a plus b paç a moins b, on trouvera p^uc .produit a fois a, moins b fois k qui apprend que le produit est toujours la différence des carré^. des deux nombres donnés*

Enfin, on a introduit le plus grand degré de simplicit4'dan% les calculs, en indi({uant toutes les opérations par les signes +, -~, etc., qui signifient plus, moins, etc., et désignent l'addition y la soustraction, etc.

Cette méthode peut ^tre employée dans tous les cas où le résultat est décompo9ablQ,en parties dont la composition sq ramène & des principes ccmnus^ Mais il ari^ve souvent que cette décomposition, est* impraticable , commç,. pai: exeç^ple^ dans le cas des nombres, ijicommensumblesj c'c^t-à-dire qui n'ont pas de commune mesure avec Vii^iité. On sera alors obligé de recourir \ d'aiiitres procédas, et tout ce qui y est i^Iatif.sedéduira, comme application, d'une ip^thode générales qu^e nous allons^exposer.

Méthode des^ limites.

9% Lorsqu'oi^ veut trouver la« relation qui existe entre des» quantités qui, par leur nature, ne peuvent êtro facilement» comparées, on leur en^ substitue d'autres qui soient susceptibles de se- prêter avec- conmiodité au calcul, et qui puissent^ approcher autant qu'on voudra dos quantités proposées, qui pour cette raison sont appelées leurs limites^. Il ne reste plus* CMSiùte.q'ulà.déduircliirelationdes.Iimites^ de celle qui a ooue^

stàmment lieu entre les Tarîables^ et Punique objet de la.mé-^ tfiode est d'indiquer un moyen général d'opter œ passage. Ovf on démontre facilement que ces deux relations sont identiques; de s6rte que, connaissant celle qui existe entre les Tartabfcs y il suffît pour avoir celle que Von oherche, de substituer i ces yariables leurs limites.

En effet, soit A=B la relation entre les -variables (A et B renferment ces quantités d'une manière quelconque et varient en même temps qu'elles); désignons par A' et B' les valeurs Tcrs lesquelles elles tendent à mesure que les variables tendent yréts leurs limites; je dis que l'on aura A'=B^. Car soit , s'il est possib^ Af^V ; si les variables A et B restent toujours au-dessous de leurs limites^ on pourra amener A assez près de A' pour surpasser B^; et comme pn a toujours B=:A, il s'ensuivrait que B aurait surpassé B'; ce qui est contraire à l'hypothèse. Si A et B décroissaient en s'approchant de leurs limites^ on pourrait semblablement amener B entre A^ et B% ce qui conduirait à la même absurdité; on a' donc A'=B^- Or, A'^ et B^ sont ce que deviennent j^ et B quand les variables qui y entrent ont atteint leurs limites. Doiçic-on obtient la relation entre celles-ci en les substitu^ant au;x variable^ correspondantes dans leur relation.

Tout l'artifice de la méthode consistera donc dqins le choix des variables auxiliaires. Il faudra les prendre de manière qu'elles se prêtent le^plus commodément possible aux com*> paraisons, et telles surtout qu'elles aient pour limites les quaiitités proposées.

lo. De cettcméthode générale, on peut déduire, comme application particulière > la théorie des incommensurables. Car npus. avons vu qu'il est possible d'approcher indéfiuimeiit - d'un, nombre incommensurable quelconque au moyen de nombres commensurables^; et en combinant cettç propriété avec le principe précédent, il en r^ulte ce théorème qui sert de fon« dément à la théorie des incommensurables , savoir : que

Toute relation qui a lieu entte des nombres quelque valeur, comjnensutabl^ qu'ils aignp.j a lieu encore lorsqu'ils dei^i^tpmnt,

( la ) •

inccfnmsnsurables:, car ib peuvent être considérés oomme des limites de nomiures commensurables; et la relation des limites est la même que celle des yarLables.*

Proposons-nous, par exemple, de prouver la généralité de ee thécMrëme que le produit de deux nombres est Iditmème dans quelque ordre qu'on Feffectue. On le démontre facilement dans le cas où les deux facteurs sont entiers ou fractionnaires , et il ne reste plus qu'à considérer le cas des incommen-* surables. Soient a et 6 les deux nombres incommensurables, et afy b% deux nombres commrâisurables qui s'approchent indéfiniment de a et b. On aura toujours, d'après ce qui pré~ cède , a'V-rs^Va'. La relation des luuites devan^|re la même, on en conclut ah^ha*

On raisonnerait semblablement dans l'extension de tout autre théorème ^u cas des incommensurables.

Méthode de résolution des Problèmes»

1 1 • Presque tousles problèmes reviennent à déterminer certains nombres d'après des relations qu'ils doivent avoir avec d'autres nombres donnés. Dans ces questions, la marche qu'on suit ordinaîremeiit consiste à transformer d'abord les relations données en des relations 'd'égalité entre les nombres donnés et inconnus, ee qui s'appelle mettre le problème en équation; puis à transformer ces égalités en d'autres qui expriment immédiatement les valeurs des inconnues, c'^st-à^dire à rèBovdre les équations. Tout consiste donc dans des transformations de rapports, et il ne reste plus qu'à montrer comment on peut les effectuer dans tous les cas; considérons d'abord la première partie, c'est-à-dire la mise en équation.

Supposons que Fon ait d'abord analysé l'énoncé du problème et étudié toutes les relations qni doivent avoir lieu entre les quantités connues et inconnues : si la question est alors bien comprise , on doit être en état de vérifier si des nombres doii^ nés y satisferaient. Or , toute vérification exige en dernière analyse une comparaison entre des choses qui doivent se trou*

(i3) yet timâkpxeSf ou cKffi^er âSine aertaim manière oonnite â^où il suit que si Fon •représenle les iaeoimiM3»par des signes quelconques^ et qu'on indique sur elles et les quantités con-» fifttes la gu!te des opérations par lesqudles il faudrait faire la térificatiou; on parviendra à des arelations d'^alité ou ^inég^îté entre les nombres tant connus qu'inconnus qui entrent dans l'énoncé. Il arrive qudquefois que le passage par les re^ lations d'égalité rend la solution plus longue , et alors on devra s'en dispenser : mais dans le plus grand nombre de caa les inconnues sont tellement combinées avec les données^ qu'il ne seraft |ias possible de les déterminer aans atoir recours aux procédés généraux que fournit la théorie des égalités , ou des inégalités qui s'y ramènent immédiatement en augmentant le plus petit membre d'une quantité indéterminée.

12. Ayant ainsi déterminé les égalités Ou éfuatiôns qui ont lieu entre les données et les inconnues^ il ne reste plus qu'à en déduire celles-ci; et la marche à suivre à cet effet dépend de la ibrme des équations. Pour donner la théorie générale ée leur résolution^ on lès a partagées pât- clsbsses dans chacune desquelles on a rassemblé toutes celles auxquelles la même marche était applicable ; on les a rassemblées bùv» une mtee forme^ générale sur laquelle on a fait le calcul de la résolu^ tion, et l'on en a. déduit la.foi:me générale du résultat^ c'està*-dire la manière dont il faut combiner les données pour oIh tenir les valeurs des inconmes^ Uéi pareil résultat se nomme une formule.

On aurait pu représentertous! les systèmes possibles d'équations du même degré par un seul éystifuîe général; maisla tésolu^ ti^a de ce dentier serdit d'une difficulté ilisurmoiâable ; et on j a renoncé depuis loi^temps. D'ailleurs, 1^ f<MrmtfIes qu'on en' Aédutrait seraient tellement inéommodesdans les applicati^is qu'on serait toujours oUigé de Tccourk" aux méthodes rdatiirës à des cas particuliers.* Cè^t ce que l'on peut voir dana des cas même très simples par rapport i celui d'une réso<* lulion générale des équations : eu ne supposait qu'une seule inconnue qui n*entrerait qu'au troisième degré, la formulé ne

( »4 ) peuidéîà.pIas.Mre ap]^îquée direàtementi et l'on peut préyoir ce qui arrWeNiit si l'on avait un nombre quelconque d'inconnues entrant à des degrés quelconques.

Nous examinerons 'successiTement par la suite chacune des classes dans lesquelles on a partagé les équations , et nous cberclierons à lever autant que possible les difficultés que leur nésolution pourrait offrir aux élèves.

Des propriétés particulières des nombres.

, i5. Bans ce qui précède ^ nous avons considâ^é les nombres indép^idamment de leurs valeurs particulières ; mais ils jouissent d'une foule de propriétés curieuses dépendantes de la manière dont ils sont composés avec l'unité ou les uns avec les autres. L'ensemble de ces propriétés constitue ce qu'on a nommé la théorie des nombre»* Les méthodes qu'on y emploie pour la réso~ lution des questions sont tellement particulières , qu'il serait impossible d'indiquer une marche générale qui pût guider dans ces sortes de redierèhes. Nous en présenterons quelques-unes cpnmie exemples de ce genre d'analyse ^ et nous ren(verrons^ pour de plus grands détails* aux ouvrages de MM. Legendre et G.aua9* ,

De la manière de simplifier certaines opérations sur

les Nombres.

. i4* Lorsqu'on est conduit à eSectuer des multiplications^ des divisions > des élévations à des puissances , et des extractions de racines sur des nombres qui sont des puissiances d'un degré connu, soit entier^ soit fractionnaire^ d'une même quantité , rien n'est plus facile que de trouva p^r une (^ration plus simple quel est le degré qui correspond au résultat. On sait, par exemple, que celui du produit est la somme des degrés des facteurs , celui du quotient leur différence , etc.

On a pensé en conséquence que si l'on pouvait transformer lous les nombres en puissances d'une même ^a^^. quelconque ^

' *dt former ane tablé qui , k o^ de ciMujue nomlire , présentât le^ degré de la puîssanoe correspondante^ les quatre opérations fon*damentales dont noas, avons parlé se trouveraient abaissées ,

• parce qae l'on se bornerait 4 calealer le degré correspondant au résultat) et la table ferait connaître par suite la valeur même de ce résultat. On -a reconnu facilement qu'il était suffisant de faire ce calcul pour les nombres entiers, puisque toutes les opérations s'y ramènent toujours ; et même on n'a eu de recberches pénibles que pour les nombres premiers , vu que -les degrés cor-

. respondans aux autres s'en déduisent knmédiatement.

Tdle. est l'idée fondamentale de la liiéorîe des logarithmêê ou des degrés correspcmdan» aux niHobres ; eUe en fait connaître

; le véritable esprits, et il. ne reste plus qu'A en faire des app]i-

. cations.

Théorie des Fonctions dérwées.

i5. Les développemens que prennent les fonction^ quand on feit varier les quantités dont elles dépendent , présentent des considérations^ de la pltts baute importance dans l'analyse. Nous allons exposer les élémens de cette tbéorie, dont on verra tie nombreuses applications, soit dans l'Algèbre pure, soit dans ses applications k la Géométrie.

Lorsque dans une fp|iction^(à:) la, variable x devient x -f- A, k étant une indéterminée quelconque, on appelle fonction dérivée de/(x) , le coefficient de la première puissance S h dans le déveli^pement de f{x -f- H) suivant les puissances entières positives et croissantes de h. Réciproquement celle-<;i, considérée par rapporta sa dérivée, s'appelle fonction primitive.

Nous allons d'abord nous occuper de déterminer les fonctions dérivées des fonctions algébriques.

16. Soit la fonction Ax*", dans laquelle on suppose m entier et positif.

Qoand x devient x+ A » elle devient A(a:-f- A)"». Or, eu multipliant m facteurs égaux à a:-4~%> les termes du premier degré en h sont delà forme a?""*^'/* et au nombre de m, la dérivée

(i6) de Ax"* est doac Amx'""'', ei le tûroie mdépenda&t ^'A ealla fonction proposée Ax"^»

17, Soit le polynôme Aa:*+Ba:"+Ci^-4-eto«

Le coeffici^ total de h étant la somme des ooeffîciens fo«rnb par chacun des termes Aj?^, Bx", eta y la dérivée du polynôme sera la somme des dériyées de chaque terme et égale à. . ^ . • 7»Aa:"^*+»Ba:»-*+pCxi'-»+etc

Le terme indqpaidant d'A est encore la fonction proposée Ax"*+Br«+etc

S'il y avait dans le polynôme prbposé un l^me ind^eudant Sxj il ne fournirait pas de coefficient pour h, Cest ce que l'on énonce en disant que la dérivée d'une constante est £ér^

18. Soit le produit PQRS. • • V, les fecteursP,Q* . .V étant des fonctions d'à? dont on connaît les dérivées représentées par P', Q' . . . V. Lorsque x deviendra a?-|- /*, cette fonction sera le produit des développelnens suivàn» :

p + FA + nA*

R + R'A + yA»

Le terme indéj^dant d'A sera encore la fonction proposée PQ. . . y, et le terme en h au premier degré aura pour coefficient

FQR. . .V+PQ^P. , .V+PQR'. . .V^- +PQR. . .V;

'd*où Pon déduit cette règle que, pour avoir la dérivée d'un,pro-; duit, il faut prendre respectivement les dérivées de chaque facteur, les multiplier par tous les autres facteurs, et faire la somme; de ces produits. .

Si les facteurs, P, Q, R, étaient égaux et en nondire 1», leur produit deviendrait P"*, et sa dérivée se réduirait à 7i»]^r'P^.

19. Sôlt la fraction T=r, P et Q étant des fQnctions à^x dont on connaît les dérivées. La fraction devient pour x -f" ^

En faisant la division ^ on trouve pour terme indépendant jt» (3t

^ . , FQ — PQ' pour coefficient dVi ou pour dérivée tt- .

ao. Soit ^expression radicale V^P", P étant une fonction quelconque dont on connaît la dérivée F. On aura à extraire la racine W"' de (P+FA+etcO'^jOu de P^+nP^^^FA+KA^+etc .

ce qui donne pour terme indépendant d'x, V^P", et pour dérivée

nP^->F

. ou -^ P^^'P'.

(V/Pï)

La même loi existe donc pour la puissance fractionnaire P^

que pour les puissances entières.

Soit ^ ou P""*. Cette fonction est un cas particulier de ^ et

donne pour dérivée :^^ ou — 7reP"^"*"**F ; de qui fournît

encore la même loi pour les puissances négatives que pour les positives; savoir^ que la dérivée s'obtient toujours en multipliant l'exposant par la puissance dont on diminue le degré de Punité et par la dérivée de la racine ^ puis enfin par le coefficient indépendant.

a\. Soit plus généralement la fonction F(P) , P étant une fonction connue d'à; désignée > par exemple ^ par ^(x) ^ les signes F^ ^ 9 indiquant des fonctions dont on sait trouver les dérivées par rapport aux quantités quHls affectent. On demande la dérivée de r(P) par rapport à or, c'est-à-dire le coefficient de h èjws le développement que prend F(P) quand x devient x -f- /i.

P OU ^ (a:) devient alors <p{x) + ^'(x)/t +«4*-^- . • . que nous représenterons par ^(x) + ^•

F(P) ^tient F(P + Ar), et donne un dérdoppement de la forme F(P) 4- F'(P)Ar + W^-f* • • • ; remplaçant k par $a valeur ^'(x)À + itA*+etc. , on voit que le terme en h au premier degré sera Ï"(P) X <p\^)i et le terme indépendant F(P).