Soit F(P) , et supposons, P=<p(Q) , Q = F(R;, R=*(x

En faisant les mêmes raisonnemens que dans le cas précédent^ on trouvera facilement que la dérivée de F(P) par rapport à x est

F'CP) X ^'(Q) X F' (R) X i-'Cx).

Ce qui apprend que pour af/oir la dérivée d'une fonction de

Jonctions y quelque soit le nombre des indices accumules , il faut

prendra U» dériyée de chaque fonction par rapport à la quantité

qui lui est immédiatement soumise et multiplier ensemble toute$

ces dérivées.

25. Soit une fonction de deux foDCtions d'à: , P et Q, désignée par F(P, Q) , on peut trouver sa dérivée par rapport à x lorsqu'on connaît celles de P, Q, et celle relative à l'indice F. Supposons pour cela qu'on fasse d'abord la substitution de xr^^h seulement dans P> on aura le développeoient

^(PïQ) +r'(P)FA4-«^'- . • . -

Substituant dana ce développement x-^h dans Q, le premier terme F(P, Q) deviendra

F(P,Q)4-F'(Q)(yA + tt»....

Le second r'(P)P'A donnera pour seul terme en h le premier de son développement qui sera lui-même y de sorte que la dérivée de la fonction proposée F(P, Q) sera

M«is il faut bien observer que F'(P) désigne la dérivée de F(P, Q) , fin n*y oon^jdçrant que P comme variable, et de même F'(Q) celle de F(P, Q) , en ne faisant varier que Q.

Si l'on ayait un plus grand nombre de fbnctionï composantes, on agirait de la même ms^uiè^e, et Fqu conclut cette règle générale y que

Pour fi^qir la dérivée ctunc fonçUpn composée cU plusieurs autres P, Q , R, etc. ^ il faut f rendre la, dérivée par rapport q chacune, d'elles; en considérant les autres comiPie constantes , les rnultiplier respect^ivement par les dérlyées des fonction^ ^ P; Q, R , etc., />ar rapport à x , et faire la somme de ces produit^,

La dérîyation des fonctions

PQ...V,~,P + Q + R + etc.,

n'est qu'un cas particulier de cette loi générale. ^ I^ous allons maintenant passer aux fonctions implicites, /

24. PaoBLiiu. Troui^er la dérivée d*une' fonction inconnue j^ Qiiand on çonivOiît ur^e équqtion entre elle et la variable x.

Soit l'équation donnéis F(x , j^) = o.

Si Ton ço;nnaissait la valeur d'y en a; , en la mettant dans^ FQvyy) , on aurait identiquement o = o. La fonction d'à: résultante de la substitution , étant nulle quel que soit x , le sera quel que soit h, si l'on cliauge o? en ^+ A -, et par conséquent tous le^ termes du même degré en h ^e détruiront. Il suit de là que la dériyée de F(a:,^), par rapport à x, doit être nulle quand on considère j^ comme la fonction d'jc qui serait tirée de r(jf ,Jf)=jo. Or no^s siayons dériyer la fonction composée F(xyj^) par rapport à x, et nous obtiendrons ainsi F(x)-f-F'Qy)j^', en désignanfu par y' la dérivée inçonniied'j' par rapport à x'et par F(j:), F'(j) les dérivées partielles de F(^x,y) par rapport à x ou j' considérées successivement comme seules variables.

Cette dérivée devant être nulle, on en tire

GoROixAiRB. Si Pon connaît la dérivée d'unie fonction y par rapport à :p, on en peut déduire celle de x par rapport à^, omt o&a al^rs lallation j/i--$(^)qrO; q^i , d'a]pF^ If forroulflfpr^^

cédente> donne

ce qui fait voir que les dérivées de deux fonctions l'une par rapport à l'autre sont réciproques.

a5. PROBiiiMR Conriaissant (ra — i) équations entre m va^ viables j trouifer les dériçées de (m — i) d'entre elles par rapport à Vautre»

Soient les équations

On demande les dérivées de ^, a, . . . z^, par rapport à jr. Concevons pour cela qu'on connaisse les fonctions d'x que ce» équations donneraient pour j^^ z , ... z^ ; en les reportant on aurait des équations» où tous les termes en x se détruiraient identiquement. Si donc on y remplaçait x par x+h, tous les termes se détruiraient encore, de sorte que les coefficiens des diverses puissances de h seraient identiquement nuls. Les dérivées, qui sont les coefficîens de la première puissance d'A dans chacune de ces fonctions, seront donc nulles. D'où il «Suit qu'en considérant y y Zy . , , u, comme les fonctions à*x données par les équations F, =o , Fa==o, etc., les dérivées des premiers membres de ces équations seront identiquement nulles ; de sorte que l'on aura

F,(x) + ¥\(y)y + ¥\iz)z\ ... 4- F\{u)u' == o, n(a:) + r^{y)y + r,{z)z\ ...+ F\iu)u' = o.

Fm-,(x) + r^^,{y)y + r^^,(^u)ur = o ,

y, z' y • , .u désignant les dérivées de y, z,, . • u, par rapport à a:^ et F'j(a:), F'i(y), etc., 'tes dérivées partielles de.....

{ Jl )

Fi(j?, y^. w u) f etc., en ne considérant comme yariable que la quantité mise entre les parenthèses.

De ces m — i équations du premier degré, on déduira j^, z% . . w'-

26. Problème. Connaissant ni'^n équations entre m variables j trouver les fonctions dérivées partielles de m-^2 de ces variables par rapport aux deux autres x^ y.

Ce proLlème .rentre dans le précédent, puisqu'il suffira de considérer successivement ar et y comme constans; cc^qui ramène à une seule variable indépendante.

Il en serait de même pour m — n équations entre m variables.

27. Remarque. Les fonctions dérivées peuvent elles-mêmes être dérivées par rapport à la même variable, et leur première dérivée est nommée la seconde de la fonction primitive; la dé-r ' rivée de cette seconde est la troisième dérivée de la fonction primitive ; et ainsi de suite.

La formation de ces dérivées successives ne saurait souffrir la moindre difficulté d'après ce qui précède, tant pour les fonctions explicites qu'implicites.

a8. Problème. Etant donnée Une fonctiçn dérivée d'un certain ordre ^ trouver la fonction primitive,

La résolution de ce problème inverse n'est pas susceptible de la même généralité que le direct; les procédés à suivre dépendent de la forme particulière des fonctions et ne s'étendent même qu'à un très petit nombre. Nous nous bornerons à considérer .les polynômes sans dénominateurs polynômes. Tous les termes seront alors de la forme Aar"*, m étant entier ou fractionnaire , positif ou négatif. Or la fonction dont la dérivée est kx"^ est évi-

demment , et ce sera la fonction primitive si Ajc" est la

première dérivée ; dans le cas contraire , on remontera de la même manière par un nombre d'opérations égal au rang de cette dérivée. On agira semblablement pour tous les termes du polynôme.

11 faudra observer seulement d'ajouter une constante arbi-

traire à chaque opération, parce que non-seulement "^ ■ >

mais encore — ; — " -f- C> donnerqnt pour dérivée Ax^, si C est

indépendant d'à: > palsqn'aloirft m ûêthrée est téro.

tar feiempiè, ^î l'on demande la fonction primitive dont la seconde dérivée fert A***, on aura pour la première dérivée

+ C, et pour fonction primitive

G et C étant deux constantes arbitraires.

En général la fonction primitive contiendra un nombre de constantes arbitraires marqué par l'ordre de la dérivée proposée.

^ Des fmctions qui par une hypothèse particulière se

réduisent à -.

129. Il atrîvè ^liVënl 'cju*en attribuaht une valeur particulière à une lettre dans Utte expression iFbactionnaire , on la rélluit à la forme ^. ï)h.xtà 'Ce cas*, la valeur particulière de la fraction est d*étertninéè, et oh aurait pu lui donner d'avance liûe fol^ïné telle , que celte substitution particulière né lui donbât pas Pappatencé de Tindétermination. Eh efîet ^ soit une

fraction rjri qui «e rédiiit k | ^uBftd on j fait jir=a. Puisque

rii'ypoUièse ic^^-^a rr'o rend nuls ses deux termes , chacun d'eux doit renfetmer en facteur une certaine puissance ^positive de X — a y que Ton mettra en évidence en transformant x — ûs en un inônoiïië. tôsâul doû'c à: — nz=:h, ouxz=za+h,il viendra

Or, Jar hypothèse, F(a) = o, ^{a) :=zo'y7i devient donc fac-

tcor aux deux terme», x — a l'étaît donc , puisque h,:=zx — a ^ et c'est l'existenoe de ce facteur qui, par l'hypothèse x =: <i, réduisait les deux termes à o. Le supprimant , il yioit

P'oii l'on Toît que quand A c= o« la fraction le réduit à .} / »

Si Ton ayait F' (a) = o ou ^'(^) = o, cette valeur serait nulle ou infinie ; si ces deux conditions avaient lieu simultanément , en supprimant ces deux termes dans la fraction générale,. puis faisant A = après avoir supprimé le ûictenr commun A, elle se ré-

dnirait à ^^ - y Et ainsi de suite; d'ob se oonelut cette r^lé :

Pour troûtwr la valeur d'une fraction qui devient — pour

X = a , prenez les dérii^ées des deux termes et dipisex-les dans le même ordre après y avoir fait -s. z=i a-j si la nouvelle frac-

tion se présente encore sous la forme — , traitez-la de la même

manière , jusqu^à ce que les deux termes ne se réduisent pas à o; vous aurez la vraie vaiewrde la fraction qui pourra être nuUe , finie ou ironie,

ExEiGLE. Soit la fraction =-= r— i- — •. — « ,

ojr — 4a*a; + a^

qui devient - pour x r=: a ; les deux dérivées seront 4x -^ a et

^x* ~*4a*; en y faisant x=ay la fraction aura pour valeur 3a 3

3o. Kescarqoe. Mais , il arrive souvent que les dérivées successives sont toutes nulles ou infinie, et alors cette jmétfaode 'iCest plus appUcahle. Gela a lieu, par exemple, quand il se trouve des puissances fractionnaires de x *— a. Dans les cas de «e genre, il fa«t substituer â -f- A à x, tt déttloppér l'^xpre»-

sion ioimédiateinent et sans recourir à la formule qui suppose que le résultat procède suivant les puissances entières positives de A ^ ce qui n'arrive pas toujours. Alors le facteur h se trouve mis en évidence de lui*^méme; on le supprime^ et on fait ensuite A=o; on a ainsi la valeur cherchée.

1*. Soit , pour exemple , ^ " 5

faisant a? = a+A, le premier radical devient y^ahj le sc-

cond ^^a'h -^Sah^-^^u^ ^ et le troisième

l/5a*;i+iioa'A* + loaVt^ + 5ah^ + A*.

Dans le i*"^ on a pour facteur /*•, dans le second f^y et dans

le troisième h\ Supprimant donc le facteur commun h^ y aux deux termes de la fraction , h restera facteur au numérateur »eul y et rhypothèse A = o réduira alors la fraction à o.

o c •* 1 /v. X- V^o; — a + al/â?"— a* 2". cioit encore la fraction r — 3 * \

on trouvera en faisant a;= a + A,

i/Ti + nX/'^alT+T*

Supprimant le facteur commun A* ,, il vient — ,

aya^f-A

qui par l'hypothèse A =3 o , donne -:= — •

aya

F(x) Si les deux termes de la fraction — 7— > devenaient infinis pour

xzzza yOn ramènerait ce cas au précédent , en mettant la fraor^ tion sons la forme ^— *, car alors le numérateur et le déno-

miaateur (Reviendraient nuisjet on agirait comme précédemment^

( a5 ) 3i. Il existe une espèce trës remarquable de fractions^ qui

fie réduisent à -, ce sont celles dont les deux termes sont des

accroissemens de fonction d'une même variable y relatifs à un fficcroîssement indéfiniment décroissant de cette yariaUe. Voyons comment on peut en déterminer la yaleur.

1®. Soit une fonction F(ar) y et soit demandé la limite du rapport de son accroissement à l'accroissement indéfiniment décroissant de a:. Désignant ce dernier par h , il faudra chercher

la limite du rapport — ^ — , qui se réduit à - quand

/» = o. Or 9 si l'on développe F(x -(- A) ^ la fraction se réduira à

Ar(x) +iV(x)+etc.

Supprimant le facteur h et faisant ensuite À= o, on trouve pour limite ^^(x*) ; d'où l'on conclut ce résultat remarquable :

La dérivée d'une fonction d'ii est la limite du rapport de l'accroi^seiTfent de cette fonction à l'accroissement indéfiniment décroissant de x.

On aurait pu appliquer à cette fraction la rèigle précédente,

et prendre la dérivée de ses deux termes par rapport k hyce qui

Y'Cx+h) eût donné , qui pour A = o, se réduit à F'(x).

2^ Pour trouver la limite du rapport des accroissemens de

deux fonctions F(x), ç(x) , quand l'accroissement A de x décroît

indéfiniment. Il s'agit de voir ce que devient la fraction

F(r-hA)— F(x) , , ., . , , ^ o

-7 — r— 7^ 1/ N quand /i=:o: ce qui lui donne la forme -,

Développant F(x -f- à) eif (x 4* à) , puis supprimant le facteur

commun 7i , et faisant ensuite A = o , on trouve tt—n* .

32. Nota. Tout ce qui a été dit sur les dérivées y peut donc s'appliquer aux limites des rapports des accroissemens indéfiniment décroissaus des fonctions dépendantes d'une même variable^

. ( 36 ) Des coefficient indéterminés.

33. On nomme ainsi les coefficiens inconnus d'une expression dont on connatt la forme des termes {>ar rapport aux puissances de la lettre ordonnatrice. On peut avoir dans leur emploi deux objets différens y ou de déterhiiner les valeurs mêmes de ces coefficiens y ou de trouver les conditions résultantes de la forme supposée à l'expression proposée, et, dans ce dernier cas, on ne Hierchà <{u'à opérer leur élimination. Dans tous les cas , on obtient les équations nécessai^res par le moyen ^néral que noiis avons déjà indiqué, et qui consiste à faire les calculs nécessaires k là vérification des conditions données.

Pour bien faire concevoir l'esprit de cette méthode , qui est une des plus fécondes de l'analyse , nous allons en offrir quelques applications à des questions que nous ne traiterons pas à fond y mais seulement sous le rapport de la méthode dont nous notts occupons présentement.

54. PaoBLÈMfi. ï)étermintr te quotient de èa dipiston de deiuc pùtynomes ^ tt Uxmçer les conditions pour que cette diçision I9wi^9ê sw faire È»^teittent» Soient les deux polynômes

a?«+Ax'»-'4-Bj:'"-» + +Tx + U,

Leur quotient sera du degré m—», et le t^te dA degré »-* i ; ils seront dope de là forme

Mx«-»+Na;'»-*+ + V.

Pour vérifier s'ils conviennent , il faut voir si ^ en multipliant le diviseur par le quotient et ajoutant le reste y on reproduit idé&ttquement, c'ert-à-dire terme pour terme , le dividende. Ce dernier polynôme étant du degré m ^^ aura m + i termes, et comme le ^premier sera x"* de part et d'autre , il n'y aura que m équatîonsentreles coefficiens donnés, et les inconnues a, C... /m, v^ M, N', ... V , qui sont eto tout àti nombre de i»f et le trout^ront^ par côn^quent; déterminées-

JSi Pèti xleîtiaiidâit i}uelles tdations devraient avoîf Ueu entre lès fcbe&ciieûis donnés , pour qu'il n'y eût p^n de Ireste , il faudrait queTonfeût M=:iO, N=iD, . .. , V=±;o, ce qui ferait n équations de t>ltis que d'intonnues^ Dans ce cas ^ on n'aurait qu'à éliminer les m — « n Inconnues bL,Ç, ,..ft,v , entre les m équations dans lesquelles on aurait fait M = C;N = o ... y = o; on obtiendrait par là n équations de conditions entre les coeffîcîens des deut 'polynômes proposés.

On pourra chereher quelles seraient les conditions pour que la division réussît , le quotient s'arrétant à jun terme d'un exposant (désigné y soit positif ^ soit négatif.

55. rkoBLÊMÈ. Extraire la raùine inf*^^ (fun pàlynonte^ et trouver les conditions pour ^u^U n'y ^itpàs de testé. Soit le polynôme

5a racine sera de la forme

et le reste de la forme

La Térification se fera en élevant la racine approchée à la puissance m y en ajoutant le reste et voyant si la somme est identique avec le ]polynome "proposé. Il résultera de là m/» équations entre lé^ coeffi'ciens donnés et ceux des deux polynômes inconnus y qui sont au nombre de mn y et se trouveront par conséquent déterminés.

Si Ton demandait que l'extraction ne donnât pas de reste y il faudrait les mn — n équations^ ]VÏ = o,N=o...V=ojilne resterait plus alors que n inconnues tiyCy ...^/u; il y aurait y pal: Gcmséqnent > mn *^ n équations de condition entré les eeef^ ficiens donnés ; et on les obtiendrait par l'élimination de

A y '9 . . • ^ fCé

On pourrait demander que le reste s^évanoûit lorsque y dans la racine ; on parviendrait à un terme d'un exposant donnée positif ou négatif : cela n'offrirait aucune dii&culté.

36. pROHLàftfB. Troiwer les conditwns pour quun polynôme 'd*un de^ré donné soit décomposahle en facteurs d'une forme donnée; par exemple ^ que ¥ un soit une puissance n d'un binome du premier degré; V autre j wie puissance p d'un autre binomsj et ainsi de suite. Soit le polynôme

Il faudra qu'il soit identique avec un produit de la forme

(x — «)■ (x — ^ (x — y^ etc.,

^> ^1 y » etc. 9 étant des quantités arbitraires. Effectuant le produit et l'identifiant avec le polynôme donné, on aura m équations dont on éliminera et , C, y , etc. , pour avoir les équations de condition. Le nombre de ces équations sera égal au degré du polynôme, moins le nombre des indéterminées «t, C, y , etc. ; si quelques-unes d'entre elles étaient fixées d'ayance, le nombre des con^tions augmenterait d'autant; et enfin, si elles étaient toutes données , on aurait m équations qui détermineraient immédiatement 1^ coefficiens du polynôme proposé.

Au lieu de choisir des puissances de binômes du premier degré, on aurait pu demander des puissances de polynômes quelconques; la marche serait toujours la môme.

^ 3j, Problème. Trouver les conditions pour qu'un polynom,e soit décomposahle en facteurs du premier degré j de la forme x — a ^ et dont les seconds termes soient en progression par différence ou par quotient. Soit le polynôme

x" + Ax"-».... +V.

1°. Soit ^la différence de la progression, et a le premier terme; le polynôme proposé devra être identique avec le produit

(x—- a) (x— a — ;• ^) (x — û5 — 2^) . . . (x — a — {jn — i)^J.

II en résultera m équatious , dont on éliminera a et ^, et i I restera m^-^i équations entre les coeffîciens. Si l'on donnait la différence de la progression , il y aurait m — i équations de condition.

Q?, Si la progression était par quotient y la décomposition ferait de la forme

(x — a) (x — qa) (jr — y'a) . . • (a? — q^^^à) ,

et le calcul aurait eu de même pour objet d'éliminer a étq^

38* Problème. Étant donnée une fonction r(x) , trouver le développement de r(x+li) sachant qu'il procède suivant les puissances entières et positives de h, Ïjq développement pourra être mis sous la forme

F(x + A) = F(a?) + Ah +BA» + Ch^ + DA4+ etc.

Le terme indépendant de h est F(x) , parce que pour A = o le premier membre se réduit à F(jr) ) et par définition , A est la dérivée de F(x) par rapport à x.

Pour déterminer B, G^ D, ... , nous observerons encore, d'après la forme du premier membre, que la dérivée par rapport à 07 est la même que par rapport à h. Désignant donc par A' , B' , C , . . . , les dérivées de A , B , C , . • . . , par rapport à X, on aura les deux, expressions identiques

A + A'A + B'A» + CA=* 4- etc.

A 4- aBA + 3CA»+ 4DA'+ etc.

D'où l'on tire

B = :|',C = |,D=J,etc.

Désignant par F'(j:) , F"(^) , F'(x) , . . . , les dérivées successives de F(x) y ces valeurs deviennent

et le développement sera F(x + A) = r(x) + r(x)h + F"{x) - + F-(x) -^ 4- etc.

39. PROBLiME. Connaissant la fonction F(x, y) , développer F(x + h, y + k), par rapport aux puissances croissantes de h et \.

Sfibstituai^ d'abord X'+^h k x, «an4 çhMoger J^ > h fon^ion F(x ,y) , deviendra

FC^i J') + AF'W + ~ F'C;?) + etc.

F'(x), F'(r), etc., désignant les dérivées de F(x, y^ par rapport à a:, r^ardant y comme une constante. Substituant dans ce développement, y + kky,il vient

F(x,y) + nx)h+F\x)^+

+ r(y)k-hfkk

P désigne la dérivée par rapport ày de Pix)^ dans laquelle X serait regardé comme constant. Quant à la manière de former les autres coefficiens , elle est indiquée par le calcul ; mais nous n'en donnerons pas la notation , parce qu'elle est assez compliquée, et qu^on n'en fait maintenant aucun usage.

On agirait de la même manière pour un nombre quelconque de variables; npus nous dispeiisarons d'eip^trer dans de plus grands détails à cet égard, et nous bornerons la les applications de la méthode des coef&ciens indéterminés.

Des Maxima et Mmima.

4k9. Ji^oraqne l'on fait croîtra 4'tin^ numiènt continue depuis •— 00 jusqu'à -t" 00 la variable d'une fo&Gtioii , cette foncticnt varie d'une manière cqixtin))e, mais elle peut, après avoir cru jusqu'à \m certain point, décroitre, puis croître de nouveau pour redécroître ensuite, etc.; toute valeur de la fonction ^ partir de laquelle \m accroissement se cban^ge en décroissement , se nwune moxhnmn; 4ai)s 1^ i^^ ipverse i\h se ngnifae minimum»

Ua maximum d*«ne fopotîoi» e9t àp^Q un^ y^W^ \àh, ipje ai' la voriablp ajjgwuep^tp ou dipiimie à partir fii^ sa valçjar cor-* respondante, la fonction commence dans les deux cas pj^ 4i^:

minuer dans un interyalle qui peut être très petit. Le minimum a lieu quan4 la fonction croit dans les àeu^ mêmes cas.

4i. GeU posé, Toyons comment on peut déterminer les valeurs de X auxquelles correspondent des maxima ou minima dans une fonction donnée.

Soit la fonction F(ar), et x' une valeur de or à laquelle correspond un maximum* Il faudra qu'en faisant x^=zx' :i^hf F(x) décroisse dans les deux C9^ pour le$ valeurs de h commençant depuis o. Jjd deux.développemens seront

Or 9 on peut faire h assez petit pour que le terme du prc mier degré en h l'emporte sur tous les autres (^} et donne par conséquent son signe à la variation tot$de dç F(x'); ejt comme dans les deux développemens ce terme du premier degré est de signe différent, la fonction aurait cru dans un cas et décru dans l'autre. Il n'y aura donc ni maximum ni minimum pour F(a/) si ce terme ne disparait pas. Une condition commune au maximum et au minimum est donc Vix') z=zp.

Si V*(x') n'est pas nul, les deux accroi^sfimeos de ?'(*') ^^^ de même signe pour les trieurs de h depuis o jusqu'à une limite qui peut être tr^ voisine de o , et il y aura maximum si F^Çx") dont dépend le signe de l'accroissement t^t «égçttif, et minimum s'il est positif.

, Par une raison semblable^ si on avait F''(x') == o , il fau-

{*) Soi% en effet one série indéfinie..

Elle peiit»e meure sqti* la forma hiA^^hr-^Ch* -hDh^ . . »)

Or, l'hypothèse fc = o anouUant les termes BA, Ch* , J}h^, . . , et par suffe

leur somme, on conçoit qn'il est possible de faire h asses petit ponr qne cette

Amme soit moindre <)ti« tonte grandeur donnée, et par conséquent mo^ndra

que A : 4'<>ii U réinltna que AA.sora moindre qne la iomm« B/iS4-C&'<4»etc.

cirait ^ pour qu'il y eût maximum- ou minimum, qu'où eâl aussi V(a/) »= o, et le signe de F*^(ar') déterminerait lequel des deux, a lieu; et ainsi de suite. D'où résulte cette rëgle :

Pour trouver les maxima et minima éCune fonction d\ , égalez sa dérivée à o, les valeurs d'x conviendront si elles rendent nulles un nombre impair quelconque de dérivées suc^ ce3sives, et devront être rejetéef dans le cas contraire. Il y aura maximum si la première dérivée qui ne s*annulle pas de^ ifient négative par leur substitution; il y aura minimum si elle devient positive. Nous supposons dans tout ce qui précède qu'aucun coefficient ne dcTient infini. Nous sortirions des bornes que nous nous sommes prescrites en entrant dans les détails nécessaires à ce sujet. Cette tbéorie se trouvera complétée dans le calcul différentiel y et les élèves pourront consulter sur ce point les Traités de Lagrange et de Lacroix,

Exemple. Soit proposé de partager un nombre a en deucc parties dont le produit soit maximum. Soit x l'une des par- * ties, l'autre sera * — ar, et le produit «r — x*; la première dérivée égalée à o donnera * — 2x = o, d'où a? = ^«. La seconde dérivée étant négative , a: nir j « rend le produit un maximum.

Cela fait voir que le plus grand rectangle que Ton puisse faire avec un périmètre donné est le carré; et que le plus petit périmètre d'un rectangle dont la surface est constante a lieu dans le cas du carré* ••

42. Problème. Trouver les fnaxima et minima d'une fonction de m. variables entre lesquelles o/i et (m-^ i) équations.

Soit la fonction proposée F(j7, y , 2J, . • . ).

Puisqu'on a m — 1 équations entre x ^y^ . . ., u, on peut re-' garder y^z . . . u y comme des fonctions d'à; , et appliquer à F(x, j^, • . . u) les principes relatifs aux fonctions d'une seule variable. On prendra donc sa dérivée en traitant y, a , . . . w , comme des fonctions d'x , dont les dérivées seront déterminées comme nous l'avons déjà vu au moyen des m — i équations données : le reste s'achèvera comme dans le cas d'une seule variable.

Exemple. Trouver le maximum ou le minimum de la somme

des ptdssancés m**"" ée deux nombres , dont on connatt la somme des produits par des nombres donnés a » b. Soit c la Manme donnée , on aaraaa; + by=::c, et il foudca trouTer le ynaTîmnm OU minîmiim de X*" + jf". La dérivée de y étant dé-, signée par y, on aura par ce qui précède , nwr*^* 4" my^'^^y' et l'équation ax^^by^ic^ donnera

a+6/=Oî d'oi iïP^'— y^ =o, et x—y^^' Ce qui ne donne pour x ^ y que les seules yaleuni' réelles

a^â + b^l aX/a-i^by^b

La seconde dérivée de x"*-};* y* devient, en observant que la dérivée dey est nulle ,

m(jn — - 1 yxf*"^ 4- m(in — i)y'*"^y*.

Seporjtant pour x et jr leurs valeurs qui jsont positives ,. le.

ligpe de cette expression ne dép^idra que dç .çf^ui 4a m(m'^ i).

1^ Si m est positif et pl^s grand que i , on a alors un mi-

9®. Si m est p^itif et plus petit ^Q^ i » o<^r?( .ujU: maximum, 3^. SLî» est n^atif , on a un^mi^iivipm» , , . uî . .....*

PaoK^bix. Trouver Uf j^aximaes minipia fynefoncUof^ de deux variables indépendantes, Spit la fonction F(x,y)j et x\y, les valeurs auxquelles coixei^nd un piaxlmiim ou un minimum. Substituant kx et jr, 0/4*^1 y4" ^^ ^ 4 '^ étant. Jifsax îndétermiinées qpielcon<^ue^i>Ia.fonctk)iifjdevl^dra.

. F(x', /) + rr(x')A+r{^) ^ + • .'. ;

+F(y)A4-Pfcft4-:..- > '

Or I tsonnae le Mgne de FacoroiiMneiit de F(a^,^') , dépend «dés termes du premier dqpré^etdok tester le même lorsque^ •et Jl( cfaàngeiit de signe ^ on aura pcmr eendition commune au maximum et au mkiîmum ^(x') =o^ F^y) ^= ^

Les termes du second degeé détermiaeront alors le signe de faccroissextt^it; or, leur somme peut se mettre sous la Ibrme

^H/)(iy+^(l)+F'(x')}.

La premîèi« condition sera que ce trinôme reste de même

signe , qud que soit r y sans quoi il n'y aurait ni maTimum , ni

minimum; ses racines devront donc être imaginaires; ce qui donnera cette troisième condition commune P*<F''(y')xF''(j?').

Enfiâ y le signe du trinôme se reconnaîtra au. signe du premier terme, de sorte qu*il suffira pour le maximum , que r*(3^') < o et pour le minimum que F"(jr') ^ o ; ce qui entraine lés mêmes conditions pour.F V') j en Tertu deF'(y) X (F^Ca/) > P.

Si tous les termes du second degré s'éTanouissaient , il faudrait qu'il tn f&t de mêtnede ceux du tyoisiitme y et que le pc^j^iiome d«i 4^ degré ^t toutes $es racines imaginaires ; et ainsi de ràlte.

43. PROBiàMfi.: Trouuer lesf^ ittéotitha ôU tninima^une fhkc'tion de m variables , entre les€/uelles on a m -^ 2 équathm/S*

Lei^'(yu'^'— !2)'^quiitiens permettent de regarder (m— -ayfariaUes, conune fonctiotiè dé' de^tnd* indépendantes x ^y'i et on i^enCre dam'leta^'pk^édédé^ 'Les dérivées partielles suceésisiTes de la foneiîôi^ pi^ôèéë réhfënheh^tat les dérivées partielles dés (ftfc— 2) ^ttttfaMëi pAr %^pôtt à>a; ét'jp, qtir%é déduiront- des (7ft*-^^) 4éqttationsdonhéès«^ .v;/-. *; ..

Nous atteins* èibi¥ quelles àj^liéktbtis dé èês proÙèm^ généraux. .

Pkoblàmit. Trouver lu plus ioUrte-^skincëde deux droites non situées dans un mêmeÉdan, .- «^ n v

. , , ^. i\- *W .. (x=2az+ety x^==XL^z+a' Soient les éqûàtionft de €cs droites < ^^h^\r y' tQr

^( 55 ) ' Soient «,y,«,€t*:^y,j4* feJ^côwadttnéésdcdeutpoinUpris respectWdMiait sar dkatnme d'ëltei , le txtté de leut- distance

Dans ce cas-ci on peut éliminer facilement les quatre indéterminées X, jf , x\ y', él cette expression devient

Egalant h zéro les dâriyées par rapport à z et z" , il vient

imXaz+a,— a'z"— af) -f-ai' (6a-f-C— i V— C) + 2(2 — a") ==0'

ou tien en divisant par 2 et remettant les valeurs de a; , y, x%y^ . pois divisattU |wr «•->« «% '

Eqtiatîbn^ ijui expriment <^ue la droite qui passe 'par les point* x,y,z et â;^/, à* est perpèndicuikîre sur les ;deux premîire& lies joignant aux quatre équations données, on détermînarait les deux points de rencontre, et par suite leur distance.

La âecDttde dérivée pât ïfiipport à 2 est 2 (i + a» -[- 6«) ^ q^ji^

par rapportai*' est 2(i>ù'*4l^i^^ et la àérW par raV^^ à ii* de la premifeté pat^ tàj^^orl à z est — a (i -(- aa' + 0^). Les

soumettant âvx<;qndkipn«jw«fuâea pt^cédemminty iôBE wc<Wi^ naîtra sans peine oui^ la distance est un minimum. >

4^i.^B:oBii:ta!. Trouver ïe maximum ou te minimuin d'une fon^ion implicite liée à m variables par,^ ou m • 1 équations. Soit uldi îofH^ioh^^^' '* ' -

1* Si l'on a m équations

M peut alors être considéré comme fonction d'une seule variable indépdnâ^tfte ftr- et) îttië' Vagit paï oonsiéquent que de déterminer ses dérivées successives par rapport à.o;; c^ qui a été «aligné dans la théôtîé des dérivées.

Donnons-en quelques exemples.' "

<36) TmomàMB. TTrouver te maximum ou le minimum de Fordot>* née de la coûtée dont téquationesty*+s^+ay + bx + c=?o. DMgnoiui par y U demie dfy par rapport k Xy oa aura

^y + ^^ + ^y'hi=^'0.

Or, il faut «spcy =ao j il reste^donc aaH-*=o, <Po4 a?=s— ^,

i^par awte

On 'voit £BM;Oement par la Taleur x= que les deux

points sont sur la perpoidiculaire abaissée du centre du cercle , lieu de l'éqtiation donnée. Des deux -valeurs d'j^j l'une donne un maximum^ l'autre un miniiBuai^ c'est ce qu'on trouvera ^ams difficulté.

PROBLàua. De tous, les points d'un plan qui sont également éclairés par deux points lumineux pris dans le même plan, trouver ceux qui sont les plus élpignés^ de la droite qui joint les points lumineux.

Soient D et £ (^g* 7) les distances d'un point M également éclairé aux deux points lumineux A et fi dont les intensités à la distance 1 sont m*,n\ L'action de ces lumières sur M sera pour

la prenaiàre ^p > ®^ P^'^^ ^ seoetode -^^ ; et comme il doit recevoir la même quantité de lumière de A et B, on. aura

g — £> ^'^ m£* = iiD.

Appelant or,^ , a , les distancea AP; MP , AB , on a

et il faut trourer le maximum d'j , ajant trois équations et trois Tariables étrai^res E, D, x.

(57 ï Dérivant les tr<ris équations en ccmsiâémit ces trois variables comme fonctions âi^x\ û vient

d'ott l'on tire facilement par l'élimination^

, Ena:— Dmx -f- Dam

et pour le maximum on aura Eytx— Dmx-f-Da7ii=:o, qui, jointe aux trois proposées, déterminera D,E, x,y. On trouvera immédiâtonent une équation en x seul, en re-

portant dans la dernière la valeur E = — D ^ et l'on aura

am

la substituant dans les autres équaticms, on tirera

Le point et sa distance à la droite $e. trouvent détenniné& par là, et l'on verra facilement .que la valeur positive ày est un maximum et la n^ative un minimum : cette dernière serait aussi un maximum si l'on fsôsait abstraction de son signe.

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