On appelle probabilité d’un événement, le rapport du

nombre des cas où cet événement aura lieu au nombre total des «

cas, supposés tous également possibles. Lorsque tous les cas sont favorables à ^événement, la probabilité devient égale à l’unité et prend le nom de certitude.

La théorie des probabilités a donc le même degré d’exactitude que toutes les autres théories mathématiques; on ne cherche qu’à reconnaître les cas également possibles, et à distinguer parmi eux ceux qui sont favorables à l’événement. Mais il faut bien se garder de croire que l’application de cette théorie soit susceptible dumeme degré de précision ; les événemens n’ont pas toujours lieu suivant leur degré présumé de probabilité, parce qu’un grand nombre de causes, qui sont incalculables , ont plus ou moins d’influence sur ces événemens.

Nous nous bornerons ici à considérer les probabilités sous leur point de vue purement mathématique , et nous n’y verrons jamais que le rapport du nombre des cas favorables, au nombre des cas également possibles, et non pas l’indication certaine de la manière dont les choses se passeront réellement.

224. I er Principe. La probabilité d’un événement qui dépend d'un autre, est le produit de la probabilité de ce second événement par la probabilité qvecelui-ci ayant lieu l’autre aura lieu.

En effet, soit p le nombre des cas favorables à l’événement qui d®it avoir lieu le premier, et q le nombre total des cas qui y

sont relatifs, sa probabilité sera Soit q’ le nombre des cas re-

v latifs au second événement et correspondans à chacun des cas du premier , et p ' le nombre des cas favorables au second quand

le premier a eu lieuj^rsera la probabilité 'que le premier évé

nement ayant eu lieu, le second aura lieu. Or lp nombre total des cas possibles relativement aux deux événemens est qq\

puisqu’à chacun des q événemens de la première espèce , il eh correspond q' de la seconde , et de même pp' est le nombre des cas favorables au second événement; la probabilité de ce dernier

. pp p p' ...

sera donc —, ou - X comme nous 1 av ions annonce.

De là suit immédiatement le principe suivant :

I I e Principe. La probabilité d'un événement futur , tirée d'un événement dont il dépend , est le quotient de la probabilité de l'événement composé de ces deux événemens , et déterminée à priori, par la probabilité de l'autre événement , déterminée pareillement à priori.

Corollaire. Il suit encore du premier principe que , si ? est

la probabilité d'un événement , sera la probabilité pour que

cet événement, ait lieu m fois de suite, en supposant que les événemens passés n'influent pas sur les futurs , car si A désigne la probabilité pour que l’événement ait lieu un certain nombro de fois de suite, on aura la probabilité pour qu’il ait lieu une

fois de plus , en multipliant À par la probabilité constante ^ ;

d’où il suit que les probabilités pour que l’événement ait lieu

deux fois, ou trois fois , . . . , ou m fois de suite , seront respec-

livemcnt

III* Principe. Si un événement observé peut résulter de n causes différentes ; leurs probabilités sont respectivement comme les probabilités de [événement , tirées de leur existence ; et la probabilité de chacune d'elles est une fraction dont le numérateur est la probabilité de l’événement , dans l’hypothèse de l’existence de la cause , et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables , relatives ^ toutes les causes .

Considérons en effet, comme événement composé, l’événement observé résultant d’une de ces causes.

La probabilité de cet événement composé, probabilité que nous désignerons par E, sera égale au produit de la probabilité

de l’cvéneraent observé, déterminée à priori, et que nous nommerons F, par la probabilité, que cet événement ayant lieu , la cause dont il s’agit existe, probabilité qui est celle de la cause, tirée de l’événement observé, et que nous nommerons P; on aura donc

La probabilité de l’événement composé , est le produit de la probabilité de la cause , par la probabilité que cette cause ayant lieu , l’événement arrivera , probabilité que nous désignerons par II ; toutes les n causes étant à priori également possibles,

la probabilité de chacune d’elles est ^ ; on a donc

La probabilité de l’événement observé, est la somme de tous les E relatifs à chaque cause ; en désignant donc par S.— la somme

de toutes les valeurs de — , on aura

l’équation P == — deviendra donc

ee qui est le principe énoncé ci-dessus.

Pour appliqueras principes prccédens à un exemple, supposons qu’une urne renferme trois boules dont chacune 11e puisse être que blanche ou noire; qu’apres avoir tiré une boule , on la remette dans l’urne pour procéder à un nouveau tirage.

etqu’après m tirages, on n’ait amené que des }x>ules blanches. Il est visible que l’on ne peut faire à priori, que quatre hypothèses; car les boules peuvent être, ou toutes blanches, ou deux blanches et une noire, ou deux, noires et une blanche, ou enfin toutes noires. Si l’on considère ces hypothèses comme autant de causes de l’événement observé , les probabilités de l’ événement, relatives à ces causes, seront

Les probabilités respectives de ces hypothèses, tirées de l’événement observé , seront doue , par le troisième principe ,

On voit, au reste, qu’il est inutile d’avoir égard aux hypothèses qui excluent l’événement , parce que la probabilité résultante de ces hypothèses étant nulle, leur omission ne change point les expressions des autres probabilités.

Si l’on veut avoir la probabilité de n’amener que des boules noires dans les m! tirages suivans, on déterminera à priori les probabilités d’amener d’abord m boules blanches, ensuite ni' boules noires. Ces probabilités sont , relativement aux hypothèses précédentes,

et comme à priori, les quatre hypothèses sont également possibles, la probabilité de l’événement composé sera le quart de la somme des quatre probabilités précédentes , ou

Les probabilités de l’événement observé, déterminées à priori.

dans les quatre hypothèses précédentes, étant respectivement 3 m 2 m l ,

le quart de leur somme, oii

sera la probabilité de l’événement observé, déterminée à priori; en divisant donc la probabilité de l’événement composé , par celte probabilité , on aura , par le second principe ,

pour la probabilité d’amener m! boules noires dans les m tirages suivans.

Ou peut encore déterminer cette probabilité par le principe suivant.

IV' Principe. La probabilité d’un événement futur est la somme des produits de la probabilité de chaque cause, tirée de l’événement observé., pur la probabilité que cette cause existant, l événement futur aura lieu.' ■ ' r ••

Ici les probabilités de chaque cause, tirées de l’événement observé, sont, comme on Va vu,

• 3 m or 1

les probabilités de l’ événement futur, relatives h ces causes, sont resircctivement

°> .-ÿw > Tjfiir >

la somme de leurs produits respectifs, ou

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sera la probabilité de l’événement futur, tirée (le l’événement observé ; ce qui est conforme à ce qui précède.

Si l’on suppose quatre boulès dans l’urne, et qu’ayant amené une boule blanche au premier tirage, on cherche la probabilité de n’amener que des boules noires dans les m tirages .su i vans ; on trouvera, par les principes exposés ci-dessus, que cette probabilité est égale à

Si le nombre des Ivoules blanches égale celui des noires , la probabilité de n’amener que des boules noires dans m! tirages

est ^7. Elle surpasse la précédente lorsque m' est égal ou

moindre que 5 ; mais elle lui devient inférieure lorsque m' surpasse 5 , quoique la boule blanclic extraite d’abord de l’urne indique une supériorité dans le nombre des boules blanches. L’explication de ce paradoxe tient à ce que cette indication n’exclut point la supériorité du nombre des boules noires; elle la rend Seulement moins probable; au lieu que la supposition d’une égalité parfaite entre le nombre des boules blanches et celui des noires exclut cette supériorité; or cette supériorité quelque petite que soit sa probabilité, doit rendre la probabilité d’amener de suite rn boules noires plus grande que dans le cas de l’égalité des couleurs, lorsque m' est très grand.

235 . Problème. Déterminer les diverses chances des loteries. On sâit que le nombre des combinaisons de m lettres n à « est c

que le nombre des arrangeraens de n lettres n à n est le produit des nombres 1 , 2, 3 , . . . , n; et enfin que le nombre des arrangemens diflërens de m lettres prises n à n est

Cela posé , supposons que le nombre des numéros d’une lotetcric soit n , et qu’il en sorte r à chaque tirage ; on demande la

probabilité qu’une combinaison de s de ces numéros sortira au premier tirage.

Le nombre total des combinaisons des numéros, pris r à r, est, par ce qui précède, ,

Pour avoir parmi ces combinaisons le nombre de celles dans lesquelles les s numéros sont compris , on observera que si l’on retranche ces numéros de la totalité des numéros, et que l’on combine r — s a r — s, le reste n — s , le nombre de ces combinaisons sera le nombre cherché ; car il est clair qu’en ajoutant les j numéros à chacune de cm combinaisons, on aura les combinaisons r à r dans lesquelles sont ces s numéros. Ce nombre est donc

(n — s) ■ (re — s — î) (n — r-f- Q

en le divisant par le nombre total des combinaisons r à r des n numéros, on aura pour la probabilité cherchée,

En divisant cette quantité par i .3.3. , .s, on aura , par ce qui précède , la probabilité que les s numéros sortiront dans nu ordre déterminé entre eus. On aura la probabilité que les s premiers numéros du tirage seront ceux de la combinaison proposée , en observant que cette probabilité revient à celle d’amener cette combinaison, en supposant qu’il ne sort que s numéros à chaque tirage; ce qui revient à faire r=s dans la fonction précédente , qui devient ainsi

n . (re— i) .... (rc — * -f- j)'

Enlin , on aura la probabilité que les s numéros choisis sortiront

1(>« prerixirrs dans tin ordre déterminé, en réduisant le numérateur de celte fraction à l’unité.

Les quotiens des mises divisées par ces probabilités sont ce que la loterie doit rendre aux joueurs : l’excédant de ces quotiens sur ce qu’elle dotine est son bénéfice. En efl'et, si l’on nomme p la probabilité du joueur, m sa mise, et x ce que la loterie doit lui rendre pour l’égalité du jeu , x — m sera la mise de la loterie; car ayant reçu la mise m, et rendant x au joueur, elle ne met au jeu que x—m. Or pour l’égalité du jeu, l’eSpérance mathématique de chaque joueur doit être é’ale à sa crainte ; son espérance est le produit de la mise x—m de son - adversa ire, P»»' la probabilité p de l’obtenir; sa crainte est le produit de sa mise m, par la probabilité i — p de la perte. On a donc - • .

c’est-à-dire que pour l’égalité du jeu, les mises doivent être réciproques aux probabilités de gagner. Cette équation donne

lî:-;

Ainsi Ce que la loterie doit rendre est le quotient de la mise divisée par la probabilité du joueur pour gagner.

226. Problème. Vue urne étant supposée renfermer x boules on en tire une partie ou la totalité, et ton demande la proba- „ 01 L té que le nombre des boules extraites sera pair.

La somme des cas dans lesquels ce nombre est l’unité, égale évidemment x , puisque chacune des boules peut également être extraite. La somme des cas dans lesquels ce nombre égale a , est la somme des combinaisons dos x boules prises deux à deux , et

celte somme est égale à La somme des cas dans les-

quels le même nombre égale 3, est la somme des combinaisons des

boules prises trois à trois, et cette somme est X ^

et ainsi de suite. Ainsi les termes successifs du développement

de In fonction (i-f-ij* — 1 représenteront tous les cas clans les* quel» le nombre des boules extraites est successivement j, a, 3, etc. jusqu’à x\ d’où il est facile de conclure que la somme de tous les cas relatifs aux nombres impairs est égale à |(i + i) r — K* — 0*» ou a* - S et que la somme de tous les cas relatifs aux nombres pairs est j (i -f-i ) x -+-i(i — i)*— i, ou a x ~‘ — i. La réunion de ces deux sommes est le nombre de tous les cas possibles; ce pombre est donc a 1 — i ; ainsi la probabilité que le nombre des boules extraites sera pair est

— — — — , et la, probabilité quo ce nombre sera impair est — ;

il y a donc de l’avantage à parier avec égalité pour un nombre impair.

Si le nombre x est inconnu , et si l’on sait seulement qu’il ne peut excéder n , et que ce nombre et tous les inférieurs sont également possibles , on aura le nombre de tous les cas possibles relatifs aux nombres impairs, en faisant la somme de toutes les valeurs de a*~‘, depuis î jusqu’à x=n, et il est facile de voir que cette somme est a" — i . On aura pareillement la somme de tous les cas possibles relatifs aux nombres pairs, en sommant la fonction a 1- * — i, depuis x= 1 jusqu’à x—n, et l’on trouve cette somme égale à a” — n — i; la probabilité d’un nombre

2 n — —TX — I

pair est donc alors a+l : , et celle d’un nombre impair

est

Supposons maintenant que l’urne renferme le nombre x de boules blanches et le même nombre de boules noires; on demande la probabilité qu’en tirant un nombre pair quelconque de boules , on amènera autant de boules blanches que de boules noires, tous les nombres pairs pouvant être également amenés.

Le nombre des cas dans lesquels une boule blanche de l’urne peut se combiner avec une boule noire est évidemment iX^ Le nombre des cas dans lesquels deux boules blanches peuvent se

combiner avec deux boules noires est

et

ainsi île suite. Le nombre de§ cas dans lesquels on amènera autant de boules blanclies que de boules moires est donc la somme des carrés des termes du développement du binôme (i+ 4 ) x , moins l’unité. Pour avoir celte somme , nous observerons qu’elle est égale au terme indépendant de a , dans le développement de

+ X(i-f-fl) ,r . Cette fonction est égale à — — .Le

terme indépendant de a, duns son développement, est ainsi lo coefbcient du terme moyen du binôme (î + a)**; ce coefficient 1.2.3 9.x .

est — - ^ ; le nombre des cas dans lesquels on pçut

tirer de l’urne autant de. boules blanches que de boules noires est donc

Le nombre de tous les cas possibles est la somme des termes de rang impair dans le développement du-binome (:-f-i ) 2x , moins

le premier ou l’unité. Cette somme est j(i ,ys*.

le nombre des cas possibles est donc n 03 " -1 — i ; ce qui donne pour l’expression. de la probabilité cherchée,