CP AP- BO : AO

Donc, à cause du rapport commun, on aura aussi

qc : qb | : 1, ou QC : QBl: « : 5 ;

ce qu’il fallait démontrer.

Le même théorème aurait lieu en prenant deux centres do similitude inverses, conjointement avec l’un des prccédens.

Ki e Problème. Inscrire dans un triangle dopné un triangle minimum semblable à un triangle donné.

■Prenez un triangle quelconque semblaldc au second triangle, el circonscriver-lui un triangle maximum semldable au premier triangle, par le moyen d’une construction donnée précédemment; vons aurez une ligure semblable à la proposée, qui se construira alors en reportant des longueurs proportionnelles à leurs correspondantes.

85 e Problème. ( Fig. 100). Trois cercles quelconques étant donnés , décrire un triangle maximum circonscrit à leur système et semblable à un /■ iangle donné.

Par les trois centres A , B , C des cercles donnés , faites passer un triangle XYZ maximum et semblable au triangle donné ; pgis menez des tangentes parallèles aux côtés du triangle XYZ ; elles détermineront le triangle DEF demandé.

86* Problème. Inscrire dans un triangle donné trois cercles dont les rayons et les distances des centres soient dans des rapportrdonnés , et dont le système soit un minimum.

Construisez trois cercles <|fu aient entre eux les rapports demandés , et, circonscrivez-lcur connue précédemment le triangle maximum; vous aurez une ligure semblable à celle que vous cherchez qui s’en déduira par des lignes proportionnelles.

87 e Problème. Déterminer le nombre des polygones ré gui te fs de m côtés qu'on peut inscrire dans un cercle.

Supposons la circonférence divisée en m parties égales , on aura un premier 'polygone eu joignant consécutivement les points de division.

Soit maintenant n un nombre quelconque premier avec m ; si l’on joint les sommets de n en n, on n’tiura un nombre exact de fois la circonférence ou m subdivisions, qu’après avoir porté m cordes consécutives soutendant n subdivisions chacune; d’où il résultera un polygone régulier de m côtés de forme étoilée.

Si n avait un facteur commun * avdc m , pu aurait m = uni ntezan ; et portant n subdivisions à la fois, on aurait 11 11 nombre divisilde par m après m' opérations. Le polygone n’aurait donc que ru côtés , et ceux de m côtés 11e pourront s’obtenir qu’en prenant

pour n des nombres premiers avec m. Ces nombres peuvent être plus petits ou plus grands que m; mais quand on les porte sur la circonférence, on trouve les mêmes points que si l’on considérait le reste de leur division par m : il suffit donc de considérer les nombres moindres que m.

Pour connaître la somme des angles d’un pareil polygone , soit n un nombre premier avec m, et plus petit que - m; ce

qui donnera le même polygone que m — n. L’angle de deux côtés consécutifs sou tend un arc égal à m — an subdivisions

qui mesurent chacune — angles droits ; multipliant donc m — an

par — et par le nombre m des angles , puis prenant la moitié ,

vu que les angles sont inscrits, on aura am— 4 n,

Lorsque n= 1, la somme est 2 (m — a), ce qui donne le théorème connu pour les polygones ordinaires convexes.

Problèmes et Théorèmes à résoudre et à démontrer.

aa 8 . Problème. Trouver le lieu des points tels , que la somme des carrés de leurs distances aux côtés d’un polygone régulier soit donnée.

Problème. {Fig. 101). Etant données deux droites qui se coupent en O , et un point A , on mène des couples quelconques de sécantes telles que AX , A Y j on joiut XU , ZY ; trouver le lieu du point M de leur intersection.

Problème. {Fig. 102). D’un point donné A , on mène à un cercle des sécantes quelconques AX , AY ; on joint les quatre points X, Y, Z , U deux à deux ; il faut déterminer le lieu des rencontres M et N. ■ # ,

Quand A est hors du cercle, le lieu demandé est la droite qui passe par les points de contact. Lorsque le point donné n’est pas extérieur, le lieu cherché est une droite qui ne coupe pas le cercle. .

On en déduit les théorèmes suivans : ;

. Théorème. {Fig. io3). Lorsque par un point quelconque M d’une droite donnée , on mène des tangentes à un cercle , la ligne XY qui joint les points de contact passe par un poiqt . constant.

11 en serait de même si, au lieu de mener des tangentes, on tirait des sécantes, et qu’on joignit leurs points deux à deux comme précédemment. ,

Théorème. {Fig. io4). Si l’on prolonge les côtés opposés d’un quadrilatère inscrit, ainsi que les tangentes menées par les sommets opposés, les quatre points de rencontre X, Y, Z, U seront en ligne droite.

Problème. Etant données quatre droites situées d’une manière quelconque dans un plan, mener une droite telle, que les trois parties interceptées entre les premières soient dans des rapports donnés.

Théorème. L’aire du dodécagone régulier inscrit est égale à trois fois le carré du rayon.

Théorème. Le carré,du côté du pentagone inscrit e6t égal au carré du rayon , plus le carré du décagone.

Théorème. {Fig. io5): Si sur les trois côtés d’un triangle rectangle ABC on décrit trois demi-cercles, la somme des deux lunulles, BmCnB , ApBqk, comprises entre la demi-circonférence décrite sur l’hypoténuse et les deux autres circonférences , est égale à l’aire du triangle ABC.

Théorème. Si d’un point donné on mène à un cercle deux sécantes perpendiculaires entre elles, la somme des carrés des cordes sera constante.

Théorème. Si par les sommets d’un triangle , on mène des tangentes au cercle circonscrit , leurs points de rencontre avec les côtés, opposés seront en ligne droite.

Problème. On inscrit un carré dans un autre, en partageant les côtés de celui-ci dans le rapport de ma n-, on en inscrit un dans le second de la même manière, et on continue ainsi indéfiniment. On demande ,

i°. Au bout de combien d’opérations la somme des carré» inscrits sera égale à une surface donnée , ;

a*. Lalimitevers laquelle terni lasomtne indéfinie dé cos carrés ' Problème. (F/g\ iofî). Etant donnés un angle et un point A, mener une sécante AXY telle, que AX XXY

Problème. Construire un triangle, connaissant l’.ingle au sommetjla somme et la difTérencc des côtés qui le. comprennent» et la somme ou. la différence de la base et de la hauteur.

Problème. (Fig. 107). Etant donnés deux points A, A', et une droite BC, trouver sur cette droite deux points X, Y, tels, qu’en les joignant à A et A', les angles XAY, XA'Y, soient égaux à des angles donnés.

Problème. Construire un quadrilatère, connaissant les' côtés et la surface, ou. les côtés et l’angle des -diagonales, ou lés angles et les diagonales, ou enfin les angles, la surface et le périmètre.

Problème. Construire un triaugle, conhaissant là base, la hauteur et la différence des angles à la base.

Problème. Construire un triangle , connaissant l’angle au sommet, la hauteur et la ligne menée du sommet au milieu de la lia se.

Problème. (Fig. 108). Etant donnés quatre points A , Bj C, D enligne droite, mener par ces points quatre droites qui forment un quadrilatère XYZU donné d ’ espèce , c’est-à-dire semblable à un quadrilatère donné.

Problème. A un quadrilatère donné, inscrire ou circonscrire un quadrilatère donné d’espèce.

Problème. Inscrire dans un cercle donné un triangle dont deux côtés passent par des points donnés, et le troisième soit parallèle à une ligne donnée.

Problème. Inscrire dans un cercle un polygone d’un nombre donné de côtés, dont les uns' passent par des points donnés et les autres soient parallèles h des lignes données. • •

Problème. (Fig. 109). Trouver le lieu des points desquels les parties AB, CD d’une droite donnée MX seront vues sous le méfie angle. ^ 1 - M

Problème. Trouver le lieu des points tels’que la somme des carrés de leurs distances aux sommets d’un polygone régulier, soit constante, ou soit un minimum.

by Googl

Problème. Etantdonnés un poiut A Pt des droites faisant entre plies des angles égaux autour île ce point, trouver le lieu des points tels, qu’on abaissant sur elles cK's perpendiculaires, la somme des carrés des distances du point A à leurs pieds soit constante.

Problème. Deux droites quelconques étant données dans un plan , mener par un point donné du même plan une sécante* telfc, que les segmens qu’elle détermine sur les premières, et . comptés à partir de deux points donnés sur ces lignes , soient dans un rapport donné.

Problème. Etant donné deux parallèles et deux points pris ». respectivement sur elles, mener par un point donné de leur plan une sécante telle, que le rectangle des segmens de ces parallèles comptés à partir des doux premiers points soit donne.

Problème. Résoudre Ja question précédente dans le cas où les deux droites, au lieu d’étre pari'lèlcs, feraient entré elles un angle quelconque.

Problème. Partager une droite donnée en deux segmens tels , ’ que le carré de l’un soit dans un rapport donné avec le produit de l’autre par une ligne donnée.

Problème. Etant donnés trois points sur une droite, en trouver un quatrième sur la même ligne, de telle sorte, quc'le carré de sa distance à l’un des trois premiers points soit dons un rapport donné avec le produit de ses distances aux deux autres points.

Problème. Etant donnés quatre points sur une droite, en trouver un cinquième stir la même ligne, de manière que le rectangle de ses distances à deux d’entre eux soit-dans un rapport donné avec le rectangle de ses distances aux deux autres.

Problème. Par un point donné, nieuer une droite telle, que la partie interceptée entre deux circonférences concentriques soit égale à une quantité donnée.

Problème. Etant données deux circonférences dont l’une est intérieure à l’autre, mcnër par le poyit où la plus petite rencontre la ligne des centres, une droite telle, que la partie comprise outre les deux cercle# soit dopnéc. .

Problème. Etant donné un augle d’une grandeur constante dont le sommet est fixe et dont le rectangle des côtés est constant, trouver la ligne que décrit l’une des extrémités d’un des côtés de l’angle quand l’autre extrémité décrit un cercle donné.

Problème. Etant donnés deux points sur une droite, trouver le lieu des points tels, qu’en menant par ces points deux lignes parallèles à des droites fixes, le rapport des distauces de leurs pieds aux deux points fixes soit constant. . *

Problème. Trouver le lieu des points tels , que le carré de leur distance a un point fixe, soit égal au rectangle fait sur une longueur donnée , et leur distance à une droite donnée.

Problème. Etant donnés deux points fixes, trouver le lieu des points tels, que le carré de leur distance 'au premier point, soit dans un rapport donné avec le carré de leur distance au sccoud point augmenté ou diminué d’un carré donné.

Problème. Etant donnés des points en nombre quelconque sur un plan, en trouver un autre tel, qu’en y faisant passer une droite quelconque, la somme des perpendiculaires abaissées «ur elle des points situés d’un même côté, soit égale à celle des perpendiculaires abaissées des autres points.

Problème. Etant donné le périmètre d’un polygone variable, trouver la valeur de ses côtés quand il devient maximum.

Problème. Tous les côtés d’un polygone moins un étaut donnés, déterminer ce dernier de manière que le polygone soit ntaximum.

Problème. JLtant donné les côtés d’un polygone, déterminer les conditions pour que son aire soit maximum.

Problème. .Former le polygone maximum avec un périmètre donné.

Des Points , des Lignes et des Surfaces dans Bèspace;

aag. Tons les problème* de Géométrie ont pbur objét de découvrir 'des rapports , ou d’exécuter graphiquement des constructions demandées. Dans le premier cas, on peiit, comme dans les théorèmes , supposer fait tout ce qui est démontré possible"; dans le second cas, il faut avoir égard aux difficultés que présente l’imperfection des instrumens : ainsi , comme ils ne peuvent décrire les lignes que dans des plans résistans, on devra toujours supposer ces plans primitivement établis , sans quoi les constructions seraient impraticables'. Mais comme ces plans matériels seraient impénétrables , cette supposition devient réellement impossible dans lai pratique, et on a cherché à ramener le plus possible les problèmes graphiques à des constructions faites dans un seul plan. Cette réduction ne saurait avoir lieu que" lorsque les choses demandées sont comprises, au moins séparément, dans un même plan. Par exemple, elle est possible, si l’on demande le rayon d’une sphère tangente à quatre sphères données, et impossible s’il s’agit de construire une pyramide sous des conditions quelconques. «• .

Nous ne nous astreindrons pas,*dans ce qui suit, a ramener tout à des constructions dans un plan unique ; ce sera là l’objet d’une théorie particulière. Nous regarderons un plan comme déterminé par trois points non en ligne droite, et nous supposerons possiblê d’y exécuter toutes les constructions connues.. Nous nous occuperons ensuite de réduire les constructions y autant que possible, à des constructions faites dans un seul plan, et de n’exécuter bors de ce plan que les cliose$ qui par leur nature ne peuvent y être, comprises.

Pour éviter de reporter ailleurs un grand nombre de propositions qui seront plus à leur place dans cette partie de la Géométrie, nous supposerons opnnues les formules élémentaires de laTrfgonométrie.

i er Problème. Etant donné un nombre quelconque de plans et deux points A, B pris sur deux d'entre. eux , trouver le plus

fc

court chemin de P un <7 ['autre point' sans sortir des pians donnés (Mg. 110 ).

Supposez. que ces plans se rabattent sur l’un d'eux, a la suite les uns des autres ; la ligne la plus courte tracée sur leur système de A en 11 se sera développée sans changer de grandeur, ainsi que toutes les autres que l’dh aurait pu y tracer ; elle sera donc encore la plus courte après le rabattement ; elle sera doue la tiroite menée de A à B : d’où il suit que pour trouver les points où le plus court .chemin coupe les intersections successives dc^ dilTérens plans , il sutlit de .construire sur un plan le système rabattu , de joindre les points A, il par une droite) et de reporter les points de rencontre que l’on obtiendra, sur le système proposé.

2* Problème. Trouver le plus court chemin sur la surface d’un cylindre vu d’un cône quelconques.

X unc et l’autre surface étant la limite de surfaces composées de plans dont les arêtes^ sont toutes parallèles ou passent par un même point, ce qui précède leur est applicable. I.o plus court chemin sera donc la cou ri je qui se développesa avec la sui facti suivant la droite qui joindra les deux points rabattus. Polir le cylindre, ce sera un arc d’hélice.

3 e Problème. Trouver la valeur de la projection d’une su face plane sur an plan donné , connaissant cette surface et l’angle des deux plans.

Pour y parvenir, menez dans la surface des cordes indéfiniment rapprochées, perpendiculaires à l’intcifcction des deux .plans; vous formerez ainsi uue suite de rectangles inscrits; leur somme aura pour limite la surface donnée? et la somme de leurs projections aura- pour limite la projection de la meme surface. Or, chaque rectaugle et sa projection ayant une base commune, le rapport de ces deux rectangles sex-a le même que ««■lui de leurs hauteurs, c'est-à-dire le cosinus de l’angle des deux plans;. la projection totale .des i-eetanglés est donc égale à leur somme multipliée par le cosinus de cet angle; et d’après le théorème des limites, la projection de la surface est égale à cette surface multipliée par cç même cosinus.

TnÉoiui'Nrr. La somme, des carrés des cosinus des angles qu'une droite forme .avec trois droites 5 perpendiculaires entre elles est -égale à l’unitc. *

Ei\ effet , l’angle de deux droites qui ne se coupent pas étant celui que forment des parallèles à ces droites menées par un même point, on pourra supposer la droite menée par le point de rencontre des trois droites. Or, si Von prend sur elle une longueur égale à l’unité,- et qu’on forme un parallélépipède dont elle soit la diagonale, et dont les trois droites.données- fassent un des angles solides, les trois prêtes conjiguits seront les cosinus des angles que fait avec elle la diagonale. Majs , dans un parallélépipède rectangle, la Somme des carrés des trois arêtes est égale au carré de la diagonale; la somme des carrés des cosinus est donc égale à l’unité.

TuéonbiE. La stomme des carrés deS cosinus dbs angles qu’un plan forme avéc trois plans rectangulaires , est égale à l’unité-, car ces angles sont les mêmes que ceux que formerait la perpendiculaire à ce. plan avec les perpendiculaires à chacun . des trois autres. •

Théorème. • Le carré dune surface' plane est égale à la somme des carrés de ses projections sur trois plans nectangul a ire s , car chaque pro j^t îoi; est égale a Ta surface multipliée par le cosinus de l’angle de projection , et la somme des cqjrés de ces trois cosinus est égale à l’unité.

Thùokkme. Le. carré d’une rÿoite est égal à la somme des carrés dé ses projections sur trais droites rectangulaires, car chaque projection est* égalé a la droite multipliée par le cosinus de l’angle que cette droite fait avec sa projection.

4 e Problème. Étant donpés les angles que deux droites forfnent respectivement avec trois droites rectangulaires AX , AY , AZ (Jig. ni), trouver l’angle 8 que ces deux droites font entre elles. - ’ ’

Ou tirera , pür l’origme A , des parallèles AM , AM' $üx droites proposées ; l’angle MAM' sera égal à 8. Soient a , C , y? t y' les angles que AM et AM' forment respectivement avec les axes AX , AY, AZ; prenons deux points arbitraires. M, M',

Diqitized

sur les deux droites; nommons x ,y , z et x' ) y' , z les distances de l’origine A aux pieds des perpendiculaires abaissées de M et M' sur les axes AX , A Y , AZ. Nous aurons • •

cos « = ■