AM* 4 - AM'* — MM

a AM X AM'

Or, = + AM' 1 — ar / ‘+y>+ a '*j

' MM'* = (X - x'y + (y —ÿy +(z— z'y,

«Poù ' #

» co s C

x' x" 4-y y" 4- z' if AM X AM' • •

^ W' = °““’ ïk=“ sC '

. Donc

^=cosC\ r ; T = cosy, ~=:cosy.

cos 9 = ‘00s « cos m 4 - 00s C cas G' -f- cos y cos ÿ.>

Bemarqüf.. Si les deux droites étaient perpendiculaires Pune à l’autre, oa aurait *

cos « cos st' 4 " cosC cos C 4- dbs y cos y' = o.

Corollaire. Ces formules conviennent au cas de deux plans; car leur angle est le même que celui de deux droites qui leur seraient respectivement perpendiculaires.

Corollaire. Soient deux systèmes de trois droites rectangulaires x,y, z et x’, y’, fc'. Soient • , £ , y les trois angles que fait j?' avec les droites x,y, a; * , G', y' oeux que faity avec les mêmes droites, et <*", €",y" ceui que fait a' avec ces droites. On aura • <■ . * ô

cos* «4* cos* C 4- cos * y — 1 , cos* «' 4* cos* £'4- cos*.y = i> .•* cas* «" 4 " cos* £" 4 - cos* y'— 1 ,* . .

% cos » cos et' 4- cos £ cos 6 ' 4 - cos y cos y' = 0 , >

côs <t ços a'' 4 * cos £ cos £" 4 - cos y cos y" == o , •

v cos •' cos a* 4 * cos £ cosC" 4- cos y cos y" = 0.

Mais, en comparant .semblablement les droites x,y , t au système x' , a', il vient t •

COS* A -f-cos* *' + cos* a." = 1 , cos* C + cos* C -f- COS* f " =5: l

cos*y + cos* y -f- cos*,^' = î , •

eos « cos £ -f- cos a cos y -J- cos f cos y c= o j » cos a' cos Æ' -f- cos «' cosj/ 4* cos T cos ÿ — O, cos <t* cos C -f- oos a" cos y" cos £" cos y" = o. “

Ces deux systèmes d’équations doivent être identiques, puisqu’ils expriment chacun les conditions pour que les deux System es des trois droites soient rectangulaires.

5* Probiæme. Etant données les projections d'une surface plane sur trois plans rectangulaires, trouver s* projection sur un autre plan quelconque faisant avec les troifpremiers les an- ‘ gles*,C,y.

Soit 77i la surfaèe donnée, et a, b, c les trois angles qu’elle fait avec les plans donnés , ses projections seront Respectivement

i p — 77i cos a, p' = 77i cos 5 , p" — m cos c. • m

Si on les projette toutes les trois sur le nouveau plan, et qn’on ajoute les trois projections , on aura • •

Tri (cos a cos * -f- cos b cos S -f- cos c cos y), , ' ”

'XT ♦ .... ’*

ou m cos V, en nommant V l’angle du plan de la surfkee avec celui sur lequel on la projette. : ce sera donc la projection de la surface m sur le quatrième plan. La désignant par M, on aura * .

alors la formule générale *

bH = pcos*+p' cos C-j-p” cos y. . ’ ‘ ’

Coboixaire. Soient m , m', m ",. . des surfaces planes en * nombre quelconque dont on .connaît les projections sur trois plans rectangulaires > on. aura encore leur projection sur un autre plan quelconque, en y projetant les trois premières et fai' fiant leur somme. "v

Théorème. La somme des carrés des projections d'un, nombre

quelconque de surfaces planes sur. trois plans rectangulaires quelconques est constante^ , >■ . ; .

' Eu effet, soient A, A', A" les projections île ces surface -sur un des sustentes rectangulaires, et B, B', B" les projections sur un autre système quelconque , on aura, par la 'proposition précédante , eh appelant et, C, -y les angles que le plan 3e B forme •'avec ceux de A, A' ? A" , et ainsi des autres ,

B = A cos et -f- A' cos £ -J- A" cos y,

*B' = A cos et' -f- A' cos €' + A" cos y',

. • V- ■ B® == A cos tt" -f* A' cos C -f- A* cos y".

Ajoutant les carrés de ees équations , et réduisant d’après Jes relations connips, il vient • « « , * • >

1 ce qui démontre le principe énoncé. ’ ,

6* Problème.' Trouver le plan ‘sur lequel la somme des pro~ jetions de surfaces planes quelconques est un maximum.

De l’équation précédente on tirç r

Cette valeur sera maximum quand on aura , A' = o et A" = o , car B* -f- B 2 -f-B”“ est constant. Mais alors les valeurs précédentes de B , B' , B" , deviennent ' - .

-, ' ‘ B=^:A cos«jB'=A cos* / , B*=À cos«®. . ’ ~ t

Donc, cos •—

, r-S= , CO S m

cos« =-

Çe'qui fait connaître les angles'que le plan de la plus grande projection fait avec les trois plans rectangulaires relatifs aux projections B , B' , B". Sa direction seule se trouve déterminée; et en. effet, sur tous les plans parallèles, les projections sont égales.

Théorème. La somme des projections des aires, ra,m',m* f etc., est constante sur tous les plans qui font le même angle avec celui de la plus grande projection.

En effet , soient q, q', q", les angles que fait un plan quelconque avec les plans B, B', B" ; on aura , en désignant par C la projection sur ce plan ;

C=B 00s <7 -f- B' an q' -{- B” cos q m .

Or, B= A cos «, B' = A cos •' , B*= A con •" ;

donc C= A.(cos*cosq4-cos*'c6s<7 , -f-cos«‘cosq")=5 A cos V,

en désignant par V l’angle du plan C avec le plan de la plus grande projection. La projection C ne dépend donc que de l’angle V, et sa valeur en fonction de B, B', B*, est

C=cosV X V B*-f-B'*~f- B*\

Il en résulte que cette projection sera nulle pour tout plan perpendiculaire à celui de la plus grande projection.

Remarque. Toutes les propositions précédentes s’appliquent immédiatement aux projections des lignes droites sur trois axes rectangulaires.

7 e Problème. Trouver le plus court chemin entre deux droites.

Si l’on conçoit par ces droites deux plans parallèles et une perpendiculaire à ces plans se mouvant le long d’une des droites , elle tracera sur le plan de l’autre une parallèle à la première; et si on l’arrête au point où cette parallèle coupe la seconde droite , elle sera à la fois perpendiculaire sur les deux droites données , et en sera la plus courte distance; car la ligne qui en joindrait deux autres points quelconques serait plus grande que la perpendiculaire comprise entre les deux plans.

8' Problème. Une droite se mouvant parallèlement c un plan donné, et s'appuyant sur deux droites fixes , on demande le lieu des points qui la diviseront pour chaque position dans le rapport constant de mà n.

Soient les deux droites XY, ZU (Jig. 1 1 3), et AV une parallèle

( ago )

à XY menée par un point quelconque A de ZU. Soient MN, NP

les intersections d’un plan quelconque parallèle au plan donné avec les deux plans XY AV , V AU , ces deux lignes seront de direction constante, et MP sera une quelconque des lignes en question. Soit K. le point qui partage MP dans le rapport de ma n ; menons K1I parallèle à MN, la ligne PN sera aussi partagée dans le rapport de m à n; le lieu des points H est donc une droite passant par le sommet A , et les points K sont dans le plan mené par cette droite parallèlement à MN. Mais ils sont aussi dans un plan parallèle aux deux droites, puisque toutes les droites interceptées entre trois plans parallèles sont coupées dans le même rapport ; donc le lieu cherclié est l’intersection de ces deux plans , et par suite ce lieu est une droite parallèle à un plan qui serait parallèle aux deux droites données.

Tiiéobème. Si l’on divise deux côtés opposés d’un quadrilatère gauche quelconque dans le rapport de m à n , et les deux autres dans le rapport de p a q , les deux droites qui joindront les points de division des côtés opposés, se couperont, et leurs segmens seront dans le rapport de ceux des côtés opposés.

En effet , soit XY (Jig. ii3)la droite qui partage lescôtés AC, BD dans le rapport de m à n, elle sera parallèle au plan parallèle aux côtés AB , CD. Or, les points qui divisent cette droite et les autres parallèles au même plan, comprises entre AC et BD,dansle rapport constant dep'aq, doivent être en li gne droite; et comme les deux lignes AB, CD , sont dans le cas de ces parallèles , il s’ensuit que si on joint les deux points qui les divisent dans le rapport de p à q , la ligne ZU qu’on obtiendra coupera XY dans le même rapport de p à q. De plus , ZU sera partagée dans le même rapport que AC et BD, puisque les droites XY, AB et CD sont comprises dans trois plans parallèles. Le principe est donc démontré.

9* Phoblème. Trouver le point d'intersection des droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d’une pyramide triangulaire SABC ( fig. n4):

Joignez d’abord les milieux M ,N de SC et AB, puis les milieux P, Q de SA et BC; d’après le théorème précédent, les

droites MN, PQ , se couperont dam leurs milieux respectif^. Si l’on joint ensuite les milieux R, S, de SB et AC , le quadrilatère gauche SBAC fait voir que RS et PQ se coupent aussi en leurs milieux; les trois droites passent donc par un même point O, où elles se coupent en deux parties égales.

Pour connaître la position de ce point dans la pyramide , on remarquera que sa distance à l’une quelconque des faces, à ABC par exemple, est le quart.de la distance correspondante de S à ABC , car la distance de O à ABC est la moitié de celle du point R à ABC , et la distance de R à ABC est la moitié de celle de S à ABC.

On verra par la suite que le point O est le centre de gravité du volume de la pyramide.

10' Problème. ( Fig . 1 15 ). Dans unepyramide SABC, on fait une section quelconque MNP parallèle à la base , on joint les milieux, m , n , p , des côtés de cette section aux sommets opposés A ,C,B, de la base ACB; leg trois droites que Von obtient se coupent en un même point dont on demande le lieu.

Je dis d’abord que les trois droites mA, nC , pB se coupent en un même point. En effet, mn étant parallèle à AC, les droites mA, nC se coupent en un point O, où elles sont divisées dans le rapport de mn à AC. Mais de même pB et nC se coupent en un point qui les divise dans le rapport de pn à BC , qui à cause des triangles semblables est le même que celui de mn à AC; ces trois droites se coupent donc en un même point.

Soient K,H,L, les milieux de AB , BC, AC; la droite An» étant dans le plan ASH , coupera SV ; semblablement nC et pB couperont SV ; et comme les trois droites mA, nC, pB, passent par un même point O et ne sont pas dans un même plan , elles ne peuvent rencontrer une même droite qu’au point même où elles se coupent; donc le point O est sur la droite SV qui est par conséquent le lieu cherché.

On peut remarquer que le point O est à la fois dans les trois plans APN,BMN,CMPj; ce qui fourni tj une autre manière d’énoncer le tjiéorèqie.

1 1* Problème. Trouver la diagonale et le volume d'un pa-

y rallélipipède , connaissant les trois arêtes contiguës et les angles n , G, y, que ces arêtes forment entre elles. ’

Soient O, b, c , les longueurs des trois arêtes, la diagonale D ' sera donnée par la formule

3 ab cosaè-f-aic oos éc-f- aac oos ac (*) , et le volume V aura pour valeur

aabc \J sin sin (^~) sln (^=^) sin (-±f=-“).

Ces formules se trouvent dans la Géométrie de M. Ijegendre.

îa' Problème. Trouver tous les points de l'espace également éclairés par deux lumières.

Si l’on fait passer un plan par les deux points lumineux , le lieu des points également éclairés dans ce plan sera, comme nous l’avons vu précédemment, un cercle ayant son centre sur la droite qui joint les deux premiers points. Faisant tourner le plan autour de cette droite , le cercle sera toujours également éclairé , et décrira ainsi une sphère qui sera le lieu cherché.

Nota. On peut de la même manière se proposer sur le plan et la sphère un grand nombre des problèmes traités précédemment sur la ligne droite et le cercle ; on trouvera facilement les énoncés et les solutions de ces problèmes ; nous nous dispenserons de les indiquer.

i3* Problème. {Fig. î id). Etant donnés m points A , A', A",

A",. . . , en trouver un dont la distance à un plan quelconque soit moybknb entre les distances de tous les autres points au même plan , cest-à-dire , soit égale à leur somme divisée par leur nombre.

Prenons d’abord le milieu B de AA' ; le double de sa distance à un plan quelconque S sera égal à la somme des distances de A et A' au même plan ; qu’on prenne ensuite BC égal au tiers de BA" , je dis que le triple de la distance de C à S sera égal à la somme de celles des points À , A', A" ; en effet , soient P , Q , R

(*) Oa désigne par cos ab le cosinus de l’angle forme par les arêtes a , b.

les pieds «les perpendiculaires, et A'V parallèle à PR, on aura ' 3TJQ ss nVP + A"R.

Ajoutant au premier membre 5CU,et au second aBV, qui 1 lui est égal , on aura

3CQ = aCP + À*R.

Mais bBP est égal h la somme des distances des points A et A à S; donc, 3 fois la distance du point C à S égale la somme des distances des points A, A' , A" au même plan S.

On joindrait semblablement C avec un quatrième point A", et on prendrait CD égal au quart de CA"'; le point C serait tel que quatre fois sa distance à un plan quelconque serait égale à la somme des distances correspondantes des quatre premiers points au même plan', et ainsi de suite.

On parviendra donc toujours de cette manière à un point O tel que sa distance a un plan quelconque , sera la moyenne distance de tous les autres au même plan.

La loi précédente est facile à saisir. Nous allons faire voir qu’elle est générale. Soit N ( Jig. 116 bis), le point obtenu par les n premiers, et P le (n -f- i ) timé ; on aura par la même construction, en prenant NK égale à la (n -f- partie de NP,

(n + i)xRM = nXNL + SQ.

Ajoutant au premier membre (n -f- i)KIt , et au sccoud son. égal PS, il vient s

(/» + t) X KM = » X RL -f PQ;

ce qui démontre la loi énoncée.

Si l’on ne considère qu’un plan , tous les points du plan parallèle mené par le point O qti’on vient de déterminer, jouiront de la même propriété, ainsique le plan qu’on mènerait en-dessous à la même distance. Mais si on considère tous les plans possibles, le point O sera le seul qui sera toujours à uue distance moyenne entre toutes les autres; on le nomme centre des moyennes distances , et pour le déterminer il suffit de chercher sa distance

( ag4 )

à trois plans non parallèles, en prenant les trois moyennes entre les sommes respectives des distances de tous les points à ces trois 1 plans.

i" Conou.AiriE. Si Fon désigne par x , x ' , x “, . . . , x(‘~0 l es distances de n pointsà un plan donné P, et par x, celle du centre des moyennes distances au même plan , on aura

x •+• x' -f- x'-f- . . . -f* = nx„

Cette formule suppose que tous les points sont d’un meme cétédu plan P.

Si on élève ce plan d’une quantité quelconque a, ces distances deviendront

en regardant comme négatives celles qui se trouveront dirigées en sens contraire. Or , il est évident qu’cn vertu de Féquation précédente on a

Ce qui fait voir que la distance du centre des moyennes distances à un plan quiconque est moyenne entre la somme algébrique des distances des diflërens points à ce plan , en regardant comme négatives celles qui sont dirigées en sens contraire.

Il suit encore de là que pour tout plan passant par le centre des moyennes distances , et pour ces plans seulement , la somme algébrique des distances est nulle.

a* ConoLLAiKE. Quand tous les points donnés sont dans un même plan RI , le centre de leurs moyennes distances s’y trouve aussi; car si l’on considère un plan parallèle P, tous les points donnés en seront à la meme distance, et ^ cette dislance même sera la moyenne; d’où il suit que le centre sera dans le plan M.

De plus les distances de ces points à des plans perpendiculaires à celui dans lequel ils se trouvent , étant les mêmes que leurs distances aux traces de ces plans sur ce dernier , il en résulte que le centre dds moyennes distances à des plaus quel-

conques sera celui des moyennes distances à toutes les droites menées dans le plan de ces points.

i 4 Problème. {Fig. 117). Etant donné un nombre ni de droites passant par un même point §, on demande le lieu des points X tels, quen abaissant sur elles des perpendiculaires , la somme des produits de leurs distances au point S , par des lignes données , soit égale à une surface donnée K*.

Soient prises sur les droites données à partir de S , des parties SA. , SA', . . . , égales aux lignes par lesquelles il faut multiplier les distances SP, SP',. . du point S aux pieds P, P',.. des j>erpendiculaires abaissées du point X sur les droites données. Si l’on tire AQ, A'Q',. . ., perpendiculaires sur SX, les triangles semblables donneront N

SP X S A SQ X SX , SP' X S A' = SQ' X SX , . . .

Faisant la somme de ces égalités / on aura

K* = SXx (SQ + SQ'+...). ’

Soit Z le centre des moyennes distances des points A , A',. . . ; la distance SV sera moyenne entre SQ, SQ',. . ., puisque toutes ces lignes sont les distances des points Z, A, A',. . , au plan perpendiculaire à SX mené par .S ; on pourra donc écrire

K* = SX X m X SV.

Mais si l’on abaisse XC perpendiculaire sur la droite SZ, on aura

SXxSV = SCxSZ.

Substituant , il vient

K’smXSCxSZ;

d’où il suit que SC est une quantité constante. I)onc le lieu cherché est un plan perpendiculaire sur la droite qui joint S au centre des moyennes distances de A, A',. . et à une distance

va * •

^ C ~m><SZ"

16' Problème. Etant donné un nombre quelconque de plans

\ (2 gfi )

passant par an même point, trouver le lieu des points tels, que la somme des produits de leurs distances à ces plans par des • lignes données soit constante.

Si par le point de concours des plans donnés, on leur mène des droites respectivement perpendiculaires , et que du point cherché on abaisse des perpendiculaires sur ces droites, les distances des pieds de ces perpendiculaires à l’origine seront lesmêmes que les distances de ce ppint aux plans donnés; on revient donc au problème précédent.

1 6" Problème. Etant donnés P apothème a et le rayon R de x la base d’un cône droit, trouver l'angle y du secteur qui en est le développement sur un plan.

L’arc intercepté par le secteur sera égal h 2*R , puisqu’il sera le développement de la circonférence de la base; comparant à quatre angles droits l’angle opposé x , on aura, par la proportion connue des angles et des arcs divisés par les rayons,

x Z air

377R . 2 ?rR a K

R ' a, d’où x =

awR

Thèorèmï. (Fig. 1 1 8). Lorsque trois sphères se coupent deux à deux, les plans des trois cercles d' intersection se coupent suivant une même droite perpendiculaire au plan des trois centres.

Soient A ,B , G, les centres; les plans des cercles d’intersection seront perpendiculaires sur le plan ABC , et passeront respectivement par les droites MN, RS, PQ; or nous avons prouvé ( pag. a 6 i ) que ces droites se coupent en un même point; le s trois plans se coupent donc suivant une même droite perpendiculaire au plan ABC et menée par ce point

Théorème. Quand trois droites rectangulaires coupent une sphère et passent par un point constant , la somme S» des carrés des cordes comprises est constante.

En effet, si l’on abaisse du centre de la sphère des perpendiculaires sur les trois cordes, la somme des carrés des moitiés de ces cordes sera égale à trois fois le carré du rayon R , moins la .somme des carrés des trois perpendiculaires. Mais si l’on formait un par allé! ipipède rectangle avec les trois plans perpendiculaires

et le centre de la sphère comme sommet opposé , ces trois perpendiculaires seraient les diagonales des faces passant par lo centre, et la somme de leurs carrés serait par conséquent égale à deux'fois le carré de la distance D du point donné au centre. Le quart de la somme proposée S, sera donc égal à 3 R’ — 2D 1 ; donc la somme sera

S a = îaR* — 8D*.

Théorème. (.Fig. 119). Soit ABCDEFG un polygone quelconque fermé , plan ou gauche; si par un point quelconque O de l'espace, on tire unedroite arbitra i re X'X, e t des droites OE,OD,..., égales et parallèles aux côtés du polygone et dirigées dans le même sens que ces divers côtés quand on les parcourt consécutivement , la somme des projections des côtés qui tomberont sur le prolongement OX', sera égale à la somme de celles qui tomberont sur OX; ou en d autres termes, la somme algébrique totale des projections sur XX' sera nulle , en regardant comme positives celles qui se trouveront à droite du point O, et comme négatives celles qui seront à gauche.

En effet, concevons qu’on mène par deux sommets du polygone deux plans perpendiculaires à XX' , et qui comprennent entre eux tous les autres sommets. Soient A et E ces deux sommets extrêmes; il pourra arriver de deux choses l’une. Ou, en parcourant de E vers A la partie EDCBA , on s’éloignera toujours du plan perpendiculaire à XX' mené par E, ou l’on s’en éloignera qt on s’en rapprochera successivement. Examinons ces deux cas.

Dam le premier cas, les parallèles menées par O aux côtes de la partie EDCBA , auront toutes leurs .projections sur OX' ; et en supposant la partie AGEE dans le même cas , par Tapport au plan mené par A , ses côtés se projetteront sur OX. Mais les deux sommes de projections sur OX etOX' soutins projections des parties EDCBA et AGFE, c’est-à-dire la distance même des deux plans perpendiculaires à XX'; d’où il suit que ces deux sommes sont égales.

Dans le second cas , soit ED ( fig . 1 1 9 bis) un côté suivant lequel

on se rapprochera du plan mené par le sommet extrême (j. Concevons par les extrémités de ED, desplans perpendiculaires à XX', et qui coupent le polygone en M et N ; on aura trois lignes EM, ED , DN, dont deux EM , ED auront en O des projections égales et de sens contraire, et la troisième une projection égale et" située sur OX'. 11 en serait de même quel que fût le nombre impair des intersections du polygone par les plans menés par D et E , et on agirait de la même manière pour la partie ALKIHGj d’où il suit que les projections situées respectivement sur OX et OX' se composeront d’abord de la distance des deux plans extrêmes, plus les distances communes des plans intermédiaires, tels que ceux que l’on a menés par D et E. Donc enfin , dans tous les cas, ces deux sommes* sont égales-, et par conséquent, leur somme algébrique sera nulle dans le sens indiqué par l’énoncé.

1 cr Co noix a nu:. Si l’on mène par O un plan perpendiculaire à XX', les projections des côtés OE, OF,..., seront les distances des extrémités E, F,. . . ,ù ce plan; et l’on voit, par le théorème précédent, que cette somme est nulle, quelle que soit la direction du plan, puisque la droite XX' est arbitraire.

2 e Corollaire. Le point O sera le centre des moyennes distances des points E, D, C,. . ., car ce qui précède a lieu pour tous les plans passant par O; et la distance du point O à tous ces plans étant nulle, est égale à la moyenne distance de tous les points E, D, C, ... , à ces divers plaus; le point O est donc le centre des moyennes distances de ces points à tout plan de l’espace, puisqu’il suffit pour cela qu’il le soit relativement à trois plans qui se coupent en un même point.

3 e Corollaire. On sait que la projection d’une droite sur ,une autre est égale à la longueur de la première multipliée par le cosinus de l’angle qu’elle fait avec la secoude. Si donc on désigne paro, b,c, d .. , les côtés d’un polygone quelconque et par «, C , y , f ,. . . , les angles qu’ils font avec la direction OX d’une droite quelconque, on aura , en observant que les projections situées sur le prolongement OX' de OX correspondeut à des cosinus négatifs ,

a cos ss + b cosC-f-ccos v -j- t/cosJ'-f- . .=o.

TakorÎmis. La somme des produits des faces d'un polyèdre convexe quelconque, pdf les cosinus des angles qu elles font avec un même plan est nulle, en prenant toujours pour ces angles ceux qui comprennent entre leurs faces le polyèdre donné.

En effet , si l’on conçoit une perpendiculaire au plau de projection , qui se meuve en touchant continuellement la surface du polyèdre, elle la partagera en deux surfaces qui donneront chacune pour projection la partie du plan limitée par le polygone décrit par le pied de la perpendiculaire mobile. On observera de plus que les angles des faces avec le plan de projection , pris comme l’indique l’énoncé, sont tous aigus pour la partie supérieure , et obtus pour la partie inférieure ; et comme la projection d’une aire plane est égale à cette aire multipliée par le cosinus de l’angle des deux plans, il suit de tout cela que la somme des produits des faces du polyèdre par les cosinus des angles qu’elles font avec un même plan , est égale à zéro.

Les élèves pourront chercher les modifications que subit ce théorème daus le cas d’un polyèdre à angles rentrans.

TnüonÈMB. Dans tout polygone convexe, le carré d’un des côtés est égal à la somme des carrés de tous les autres , moins deux fois la somma de leurs produits deux à deux , multipliés par le cosinus de L’angle compris.

En effet , un côté quelconque d’un polygone est égal à la somme de.-> projections de tous les autres cotés sur le premier, en prenant négativement celles des eûtes qui feront des angles obtus avec la ligne des projections, pourvu que l’on considère toujours les angles qui comprennent le polygone entre leurs eûtes. On aura donc les diverses équations suivantes, en désignant généralement par (mn) l’angle que les eûtes ni et » font entre eux ,

<z =i cos (ni) •+■ c cos (ffr) -f- d cos (ad) -f- e cos (ne)

b = a cos ( ba ) -f- c cos (ic) -f- d cos (bd) e cos (be)

c=a cos ( ca ) -f- b cos (ci) -{- d cos (cd) -f- c cos (ce) -f- . . .

Multipliant la première par a , la seconde pari, la troisième

' ( 3oo )

par c , et ainsi de suite , il vient , én retranchant de la première 'équation la somme dp toutes les autres, «t faisant les réductions ,

a* — i*— - c* — d * — ... = — a bc cos (ic) — a bd cos {bd)

— aie cas (ie) — ... — ucd cos (cd) — ace cas (ce) — . . .

D’où résulte

. . — aie cos (4c) — aie? cos ( bd ) — ...

— a cd cos (cd) — ace cos (ce) — ...

CpaoiXAiHE. On peut calculer pur là le dernier côté d’un polygone, et ses deux angles adjacens, quand on connaît tous les autres côtés, ainsi que leur arrangement et leurs’ angles; on déterminera le côté inconnu , au moyen de la formule précédente , et chacun des angles adjacens se déterminera en prenant les formules analogues pour les deux côtés adjacens; chacune de ces équations déterminera le cosinus de l’un des angles*

Théorème. Le carré d'une des faces d’un polyèdre convexe est égal à la somme des carrés des autres faces , moins la somme de leurs produits deux à deux multipliés par le cosinus de C angle compris ; car une face quelconque est égale à la somme des projections de toutes les autres , en les prenant négativement, quand l’angle dièdre que font ces faces avec celle de projection est obtus : on en déduira donc, par le même calcul que dans le cas précédent ( en désignant les faces par A, B, Ç , D, etc. ) , que

A*=B’4-C 1 +D 3 +. . . — .aBCcos(BC) — 2 BDcos(BD)— . . „■

Théorème. ( Fig . iao). Dans un triangle quelconque ABC si on tire une sécante arbitraire DE , toute ligne AH , menée par le . sommet , jouira de la propriété que le rapport do