PP
et p—p':
Reportant ces valeurs dans l’équat ion (i), on aura pour l’équ*-
tioa du lieu cherché
Chassant le dénominateur et élevant les deux membres au carre , on trouvera une équation du quatrième degré , qui conviendra aussi bien à — m qu’à -f- m, puisque m n’y entre qu’au carré. Cette équation déterminera donc les deux courbes fermées , relat ives au cas de l’angle donné , et de son supplément. Ces courbes ne peuvent être données par des équations rationnelles séparées , parce que l’équation trouvée du quatrième degré , nç peut se décomposer en deux équations rationnelles du second degré.
Remarque. Lorsque l’angle donné est droit , m est infini , le dénominateur a’-f- — y'“ — x'* est donc nul ; ce qui donne
pour le lieu cherché, y* -h- x* a* b* , équation qui représente un cercle concentrique à l’ellipse , et ayant pour rayon {/a* -fl*.
On ferait le même calcul pour l’hyperbole.
Quant à la parabole , on trouvera pour lieu géométrique une hyperbole dont les deux branches seront déterminées , l’une par l’angle aigu des tangentes , Vautre par l’angle obtus supplémentaire. Cette hyperbole se réduira à la directrice , quand l’angle donné sera droit.
5 e Problème. (Fig- i35). Par deux points donnés B .G, on mène deux droites BM , CM , telles, que l’angle MCB soit double de MBC. On demande le lieu des points M.
Prenons le milieu A de BC pour origine, BCX pour axe des x, la perpendiculaire AY à BX pour axe des y , et faisons BC = a a~ Les équations des deux droites CM , BM , seront
La tangente de l’angle MCB sera — m , et celle de MBC sera h'.
3 tança , an
Or , tang a* = r- 2 — - j donc (3) . . . — nt= .
0 i — tang « 1 — n
Eliminant m et n entre les équations ( 1 ), (a), (3)., et obser-
(3 ag )
Tant que x et y , considérés comme les mêmes dans ces équations, représentent les coordonnées du point «le rencontre M des «!eux droites, on trouvera que l’équation du lieu cherché , se réduit à
y (y 1 — Sx 4 — 2 ax -{- a 4 ) = o.
Le facteur y égalé à zéro, donne pour lieu l’axe des x; et en effet, quand la droite BM prend la direction BX , l’angle MBX devient nul , l’angle MCB qui en est le double , se réduit donc à zéro ; la droite CM est donp aussi appliquée sur l’axe des x, et tous les points de cet axe seront communs aux deux droites. Cet axe sera donc un des lieux qui satisfont à la question.
11 y a encore un autre lieu donné par l’équation
y 4 — 3x* — 2 ax -f- a' =o,
qui représente une hyperbole. On obtiendra son centre O, en portant sur AB une quantité AO = -a. Prenant le point O pour origine, l’équation deviendra
et l’hyperbole sera rapportée à ses axes. On aura les deux som-
JJ
mets en portant, à partir de O des abeisses , x~ dt a , et
ses asymptotes feront avec l’axe des x, des angles ayant pour tangentes trigonométriques dz \/3.
La condition géométrique pro[»osée ne dortne la construction que d’une seule branche de l’hyperbole.
On aurait pu calculer d’avance le point où cette branche rencontre l’axe des x , en posaut la proportion
BM ï MC ” sîn MCB sin MBC ” acosMBC I î. ,
Faisant converger l’angle MBC vers zéro, le rapport de BM à MC tend vers celui de 2 à r, et comme le point M se rapproche indéfiniment de l’axe des x , on obtiendra le sommet en partageant BC dans le rapport de 2 à i , et prenant CD =r-BC; c’est aussi ce que donne l’équation de la courbe.
( 3So )
Cohollaihb. On peut, en déduire la trisection d'un angle quelconque. Il suffit pour cela de décrire sur BC un segment capable du supplément de l’angle douné, et de chercher le point M de sa rencontre avec l’hyperbole; car la somme des deux angles B , C , sera égale à l’angle donné , et par conséquent MBC en sera le tiers.
G e Problème. Trouver le lieu des centres des cercles tangens à deux cercles donnés.
Nous prendrons pour axe des x la droite qui passe par les centres A, B , des cercles donnés, parce que la courbe devant être symétrique par rapport à cette droite , il n’y aura dans l’équation aucune puissance impaire de y. Désignons par R et r les rayons des deux cercles donnés , par a la distance de leurs centres; supposons que A soit le centre du plus grand cercle dont le rayon est R , et qu’on prenne ce point pour origine des coordonnées.
Nous observerons d'abord que le cercle variable peut être tangent de plusieurs manières aux cercles donnés , que nous supposerons d’abord extérieurs l’un à l’autre , sans avoir aucun point commun. Ce cercle peut être extérieur aux deux proposés, ou les renfermer l’un et l’autre , ou enfin être extérieur à l’un et renfermer l’autre.
Considérons d’abord les deux premiers cas ; soient O , O' (Jig. i36) les centres, et s, z les rayons de deux cercles pris daps chacune des deux séries de cercles tangens ; nous aurons
O A = R -j-z, OB = r -f- z ; d’où OA — OB = R — r , 0'A = a' — R, 0'ü=z'—r-, d’où OB- 0'A=R— r;
ce qui apprend que le Jieu des points O est une des branches d’une hyperbole dont les foyers sont A et B, dont l’axe qui coupe la courbe est R — r, et que les points O' déterminent la seconde branche de la même hyperbole.
Pour trouver l’équation de cette hyperbole , il suffit d’exprimer les distances OA , OB , en fonction des coordonnées x , y , du point O. Mais,
OA = t /x*+y* t OB = y'yT+la — xÿ J
donc (1). .. v'x % +y % — -{/y-h (« — r) J = R — r.
Soit a* — (R — r)* = a. L’équation (1) , débarrassée de radicaux , se réduit à
( 2 ) ... (R — r)y — «r* 4* *or + = o.
Discutons cette équation :
Lorsque les deux cercles sont extérieurs, on a (R — r) 1 ;
a est donc positif, la courbe est donc uue hyperbole, comme nous l’qvions déjà remarqué.
Quandjles deux cercles deviennent tangens extérieurement , on a a = R -j- a ; et l’équation (2) se réduit à
(R — c)y — Rrx’ + Rr (R ■+■ r)x — 4R 3 r* = o.
Lorsque les cercles se coupent, on a (R — r)* < a‘, et la courbe est encore une hyperbole.
Quand le cercle B est tangent intérieurement au cercle A , on a <2 = R — r, et l’équation (a) se réduit à (R — r)y:=o; ce qui donne l’axe des x. Et, en effet, les cercles tangens aux deux proposés, soit extérieurement, soit en les enveloppant l’un et l’autre , auront nécessairement leurs centres sur la droite qui joint les centres A et B, puisque leur contact ne pourra jamais avoir lieu qu’au point même de contact des cercles A et B.
Enfin , lorsque le cercle B devient intérieur au cercle A , on a (R — a ) 2 > 0“ , et l’équation (2) représente une cdlipse.
Pour expliquer ce changement , il suffit d’observer que , lorsqu’on a fait disparaître les radicaux de l’équation (î)-, on a o!ttenu le même résultat que si le premier membre eût été leur somme au lieu d’être leur différence ; l’ellipse que l’on obtient est donc celle qu’on aurait eue en posant OA-f-OB=R — r, et qui ne convient dans aucun cas à la question. Mais ces deux courbes ne peuvent être fournies que l’une après l’autre , parce que la différence OA — OB doit toujours être plus petite que AB , tandis que la somme OA -f- OB doit être plus grande qué
AB. On n’aura donc l’hyperbole cjue dans le cas de R — r <n , et l’ellipse dans le cas de R — r > a.
Passons maintenant aux cercles tangens extérieurement à l’un des deux proposés , et intérieurement à Fautre. On aura .alors (fig. i3 7 ) ,
OA = z + R , OR = z — r ; d’où OA — OB = R -f* r.
Pour le cercle tangent extérieurement à B et intérieurement à A, on aurait
O'B — O'A = R -fr.
On obtiendra les deux branches d’une hyperbole ayant pou» foyers A et B , et dont l’axe qui coupe la courbe sera R + r. On observera de plus que pour obtenir l’équation du lieu cherché, il suffira de changer r en — r, dans l’équation (2). Faisant c 1 — (R + r) a = o, .on trouvera ainsi que l’équation du lieu cherché est
(3) ... (R -f- r)y“ — Sx' -f- G ax — C a = o.
Ce lieu sera une hyperbole si l’on a R -f- r <^o, c’est-à-dire si les cercles donnés sont extérieurs.
Il se réduira à l’axe des x si R -f- r= a , auquel cas les deux cercles sonttangens extérieurement.
Enfin , si on a R + r > a , c’est-à-dire si les cercles donnés sont intérieurs l’un à l’autre , l’équation (3) représentera une ellipse, quoiqu’on ait obtenu cette équation d’après une propriétécaractéristique de l’hyperbole. La raison en est que , comme dans le cas précédent , la disparition des radicaux a produit le même résultat que si l’on avait eu la somme OA -f- OB au lieu de la différence OA — OB; mais dans ce cas-ci , l’ellipse convient à la question , parce qu’elle est déduite de l’équation OA -f- OB = R-f- r, qui est précisément celle qui se rapporte au cas que nous considérons.
7 e Problème. (Fig. i38). Etant donné un angle YAX , on demande le lieu décrit par le centre de gravité du triangle - ABC , en supposant que l’aire de ce triangle soit constante , ou que BC soit d’uitc longueur donnée.
Choisissons AX et AT pour axes de coordonnées. Soit M le milieu de BC; prenant AN = | AM, le point N sera le centre de gravité du triangle ABC -, tirons les parallèles MP, NQ à AY, et nommons x , y, les coordonnées AQ , QN , de N ; nous aurons
MP=ÿBA, APxr' AC , ^=5MP=iBA, x=|AP=iAC; d’où 'AB = 3y , AC = 3x. >
Cela posé : 1°. lorsque l’aire ABC reste invariable , le produit AB X AC est égal à une constante m‘. Ce qui donne •
pour l’équation [du lieu géométrique demandé. Cette équation représente une hyperbole ayant pour asymptotes AX et AY.
2 °. Lorsqu’on suppose que BC est une constante a , on a
a*=ÂB -f- AC — aAC X AB X cosYAX.
Désignant cos YAX par b , et remplaçant AB et AC par leurs valeurs 3 y , 3x, le résultat
y 1 ■+■ x a — ubxy = a) a ,
est l’équation du lieu géométrique demandé. Cette équation représente une ellipse rapportée à son centre. L’ ellipse devient un cercle quand b= o, c’est-à-dire quand l’angle YAX est droit.
8” Problème. (Fig. 109). Trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point fixe A , sur une droite BC = a , que l’on inscrit de toutes les manières possibles entre deux droites XX', YY', perpendiculaires entre elles.
Prenant AX et AY, pour axes des coordonnées, désignant AC par » et B A par S, l’équation de BC sera
Sx -)- «y =
La perpendiculaire AM abaissée de l’origine A , sur BC, aura pour équation ax — Cy = 0 ,
ét on aura la condition a* -j- C 1 = u*.
Ces trois équations auront lieu pour chacun des quatre
ongles droits formés en A. Eliminant entre elles les variables a, on obtiendra une équation entre les coordonnées x,y, du point de rencontre des droites BC , AM , et qui représentera le lieu cherché ; elle sera
(x*-f- y”) 1 = a'xy.
La génération de ce lieu fait voir immédiatement, qu’il se compose de quatre branches égales, situées dans chacun des angles YAX , YAX', Y' A Y , Y'AX' , et symétriques chacune par rapport à la droite qui divise en deux parties égales l’angle dans lequel elle se trouve ; ces brandies passent toutes par l’origine.
Pour reconnaître sous quel angle la courbe rencontre les axes
à l’origine, cherchons la valeur de ^ ; et pour cela développons l’équation de la courbe , et divison;-la par x*, il viendra
valeurs qui pour x~o et y = o , donnent
= o et - x cc ;
ce qui fait voir que la courbe est tangente k l’axe des x et à l’axe des y.
U équation polaire de cette courbe est très simple, en prenant A pour pôle , et faisant
AM = R, x=Roos$>, y = R sinf.
Substituant ces valeurs de x et y, dans (î), on trouve que Féquation polaire de la courbe se réduit à
( 2 ) . . . R — a sin <p cos <p.
C’est ce que l’on aurait pu obtenir directement en observant que l’on a AM = R = AU sin <p et AU = a cos q> ;
à’ où ( 2 ) . . . R = a sia <p cos <p = £ a sin 3<p.
L’éqaation ( 2 ) est plus facile à discuter que l’équation ( 1 ) '; on reconnaîtra que le maximum de R correspond à celui de sin 2 <p , qui a lieu pour <p = et R = ja; que la .courbe est symétrique par rapport aux lignes qui partagent en deux parties égales les quatre angles en A.
De plus , pour chacune des valeurs
on trouve R = o ; d’où il suit que la cpurbe commence par être tangente à l’axe des x , puis devient tangente à l’axe dcs y-; et ainsi de suite successivement toutes les fois que la 'courbe revient à l’origine.
9 * Problème. ( P'ig. i4o). D'un point donné A, on mène à une courbe du second degré deux sécantes quelconques . . . ABE, ACD; on joint deux à deux les points de rencontre avec la courbe. Il s'agit de trouver le lieu des points d’intersection M et N de ces droites entre elles.
Prenons AEX pour axe des x et ADY pour axe des y. Soit
. ay 1 -f- bxy -f- ex * -j- dy -|- ex +/— o,
l’équation de la courbe par rapport à ce svstème \a,b ,c, d, e ,f, seront des quantitésqui varieront quand on passera à deux autres sécantes. Faisons
AB = a , AE = * , AC = £, AD = 0 , u et et seront racines de l’équation
( 1 ) ... ex* -f- ex +f = o , et 11,0 seront racines de
( 2 ) ...ay % + dy +/= o.
Cela posé , les équations des droites DE , CB, sont
Pour éliminer «t, a? , 0, j2', ajoutons ces deux dernières équations membre à membre ; il en résultera
Mais , a et * étant racines de l’équation (i) , on a
a -j- a' = — - et ao! = — .
De même , /S et 0' étant racines de l’équation ( 2 ) , on a
/s+0'=-- et AT = 4 ~ a a
Substituant ces valeurs dans l’équation (3), elle donne
dy + ex + a f— o.
11 est facile de voir que cette équation est celle de la droite pnM , qui passe par les points de contact n , p, des tangentes menées à la courbe par le point donné A (*). Cette droite est donc le lieu cherché des points M.
Quant au point N , il est déterminé par la rencontre des droites DB et EC, dont les équations sont respectivement
(*) On se rappellera pour cela que lVquation generale de la tangente au point y, de la courbe ayant pour équation ay'-i-bxy-j-cx'+dy+ex+f^Q est
la-fY -1- b (x y’+yx) -+■ aeia'-t- d (y +y') ■+■ e (x -f- x')+ a f =,o,
Or, si par un point a, C, ou veut mener une tangente, on aura entre x' et Y l’equation
a aC/ + b (*Y+ Cx') -J- icax'+ d (C -hy') ■+■ e(a ■+• x') -+• a f— o ,1
qui, en considérant a' et Y comme variables, représente t’equation de la droite qui passe par les points de contact. Si maintenant on sopposc que le point «,€ Soit l’origine , cette équation se réduit il dy •+• ex + if— o.
V v ( 3fr.)
11 en résulte ique le lieu d^Ams les points M , N , cherchés est la droite pnM , qui joint les points de contact p , n , des tangentes menées du point A , à la courbe donnée.
Passons à la solution géométrique du même problème. Nous commencerons par faire observer que si les sécantes EB , DC, au lieu de concourir en un point constant A , étaient parallèles à une direction fixe , les rencontres M et N se feraient sur la droite qui joindrait leurs milieux , et par conséquent sur le diamètre même de ces cordes. Nous allons chercher à ramener à ce cas celui oh les sécantes concourent au point donné A , intérieur ou extérieur à la courbe.
Concevons à cet effet qu’on prenne la perspective (*) , de la figure proposée sur un plan quelconque, et d’après un point de vue arbitraire ; il en résultera un système de ligues disposées de la mcrhe manière dans une nouvelle courbe, qui sera encore du second degré, puisque' le cône qui a son sommet a« point de vue et pour base la courbe donnée, ne peut être coupé par le plan de perspective que suivant une courbe du même degré. On remarquera de plus que tous les points de rencontre des sécantes entre elles, ou avec la courbe dans l’un des systèmes, auront pour perspectives dans Fautre les points d’intersection homologues. Or, on peut placer la plan qui reçoit la perspective • parallèlement à la ligne qui joint le point A au point de vue, et alors toutes les sécantes, au lieu de passer par un même pttint , sont parallèles entre elles; d’oh il suit que, dans ce système tous les points homologues à M et N sont en ligne droite, et que par conséquent aussi ces derniers sont en ligne droite, puisqu’ils sont les perspectives des premiers. Le lieu cherché est donc une ligne droite MN.
i er Coboixaibb. Lorsque les sécantes AE , AD , se rapprochent
(*) C’est pour abréger le discours que nous nous servons du ri rot de perspective. 11 suffira d<! se rappclpr que la perspective d’un point sur un plan est l’intersectiotl de ce plan avec la droite qui joint le point avec un point constant qui sc noftwrc le point Je vue, et que là perspective d'une ligne est le lieu des perspectives de tous ses points.
indéfiniment l’une de l’autre, lèüslignes MD , MC, tendent à devenir tangentes. Ce qui fait voir que si d’un point quelconque A on tire des sécantes à une cour'ie du second degré , et que par leurs points de rencontre avec la courbe, on mène des tangentes à cette courbe , la suite des intersections deux à deux de ces tangentes sera encore la même droite MN, que dans le cas général que nous venons d'examiner , où l’on considérait des sécan tes.
Enfin , pour connaître la position de cette droite , MN, dans le cas ou le point donne A est extérieur à la courbe, on supposera que la sécante mobile se rapproche indéfiniment d’étre tangente; alors ses deux points de rencontre se rapprocheront l’un de l’autre, .ainsi que le point d’intersection des deux tangentes correspondantes.
11 en résulte que la droite, qui est le lieu de ccs intersections M, N , passe nécessairement par les points de contact n, p, des tangentes menées à la courbe par le point A.
On reconnaîtra facilement que la droite conjuguée d’un foyer est la directrice correspondante à ce foyer.
a* Conoi.LAiRE. Ou peut conclure de là un moyen simple de mener par un point donné A une tangente à une courbe du second degré, -au moyen de la règle seulement. On tire de ce point deux sécantes ABE , ACD, qui coupent la courbe en quatre points B, E, C, D; on joint ces points deux à deux par des droites qui se coupent en M et N; la droite menée par M et N coupe la courbe aux points n et p de contact demàndés. De sorte que Au et A p sont les tangentes à la courbe.
Quand le point donné M ( Jig. i4i) est sur la courbe, on tire une sécante quelconque MB, on prend sur elle un point G, et on construit la droite conjuguée ÛV du point C: cette dernière droite contient le point de rencontre des tangentes menées aux points M et B. On détermine semblablement la droite conju-' guec XY d’un autre point D de MB. Le point O de rencontre des droiles UV, XY, sera celui où se couperaient les tangentes aux points M et B ; la droite OM sera donc la tangerite cherchée-
3° Conoï.LAiKE. Il suit encore du premier corollaire que si de
tous les points d’une droite extérieure à une courbe du second degré, on tire des couples de tangentes à cette courbe, et qu’on mène des droites par les points de contact des deux tangentes qui partent d’un même point, toutes ces droites passeront par un même point. *
Si la droite donnée coupe la courbe, et que pour chacun de ses points on cherche la droite conjuguée qui ne sera plus une ligne de contact, toutes ces droites passeront encore par un même point.
4* Corollaire. On peut déduire de ces propriétés un moyen de construire par points une courbe du second degré, quand on en connaît cinq points, E, B,C, D, F, (Jig. i4o). On joindra deux à deux les quatre points E, B, C, D; on déterminera ainsi un point A et sa droite conjugée MNG. On tirera la droite indéfinie AFII et la droite DF, qui coupera MNG en P-, par C et P, on mènera une droite indélinie CK, dont l’intersection avec »
AH fera connaître un sixième point Q de la courbe demandée. Considérant ce point Q avec quatre des précédens , on déterminera encore un nouveau point de la courbe, et ainsi de suite.
TnioRLME. Soit une courbe représentée par Féquation du degré m , en x et y ,
Aÿ“ + By— * + . . ?+ Ty + U = o.
Le produit des ordonnées ( tant réelles qu’imaginaires ) correspondantes à une abscisse quelconque , est dans un rapport constant avec le produit des distances du pied de cette ordonnée aux points de rencontre ( réels ou imaginaires ) de la courbe avec P axe des x.
En effet, pour une abscisse quelconque x, le produit des
ordonnées sera ^ , abstraction faite du signe. Mais Ù est un
polynôme en x qui peut être mis sous la forme
a , b , cy. . ., / , étant les abscisses relatives 'ky= o. Désignant donc par P le produit des ordonnées correspondantes à l’ab-
ïcisse arbitraire x, on aura
Ps=ï(x— a) (x — b) (x — c) ...\x—l)y
ou ^ ‘ ‘ ' (x.- — a) (x — b) . . . (x — /) A’ ,s
Mais, x — n , x — b x — /, sont (abstraction flûte de» signes)- les distances du pied de l’ordonnée aux points dé Taxe des x, qui ont pour abscisses a , b, c, . . . , Z, de plus X et A sont des coefficieus constans. Le théorème est donc démontré.
Si le coefficient A , au lieu d’être constant , était une fonction de x, il pourrait se mettre sous la forme
et l’équation (i) deviendrait
Les quantités x — a’ , x — b' , ... x — ï , seraient les distances du pied de l’ordonnée aux points constans de l’axe des x, gui ont pour abscisses a! , b' , ,1' . ' \ ~ ■
i* r Coboixaux. Soient deux sécantes AEC, ADE {fi g- i42), b une courbe quelconque du second degré, et deux autres sécantes A'C'C' , A'D'E', respectivement parallèles a AC et AE -, on aura
