DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES PLANS

a3i. 1 er Problème. {Fig. i34). xL taht donnés un point A et une droite YY', trouver le lieu des points M, tel, que le rapport de leurs distances au point A et à la droite YY'; soit celui de m à n.

Prenons YY' pour axe des y, et la perpendiculaire XAB pour axe des x; abaissons la perpendiculaire MP sur BX; nommons x', y, les coordonnées du point M , et faisons AB = b ; nous aurons

AM : MP y. min, ou V ÿ % + (ù — x'ÿ l x' y. m l n\ d’où n’y* -f («’ — m’)x” — 2 n’bx' -f- n’b’ = o.

Le lieu géométrique demandé sera donc une ellipse, une parabole ou une hyperbole , selon que l’on aura

La droite YY' se nomme la directrice de la courbe. Dans le cas de la parabole , tous les points de la courbe sont également éloignés de cette droite et du point F ; on reconnaîtra facilement que ce point en est \e foyer, en remarquant que l’équation se réduisant alors à y’ — abx -f- b’ = o , devient, en transportant l’origine au milieu de AB , y ’ — abx ■=. o.

Dans le cas de l’ellipse et de l’hyperbole , on verra , en cherchant la position' du centre et la valeur des axes, que le point A est un des foyers de la courbe , et que le rapport de m h n

est - , en appelant 2 c la distance des deux foyers , et aa le grand axe ; et enfin que la distance du point B au centre est

— ; d’où il suivra que , dans l’hyperbole , la directrice est entre

Je centre et le sommet, tandis que dans l’ellipse , la directrice est en dehors.

On reconnaîtra de plus qu’en faisant varier la position relative du point donné et de la droite donnée , ainsi que le rapport ^ , on pourra obtenir toute courbe donnée du second degré , pourvu qu’elle ne soit pas un cercle.

Il en résulte que toute ellipse , ou toute hyperbole , a deux directrices qui passent par les deux foyers, et que toute parabole a une seule directrice qui passe par le foyer.

On pourrait prendre la question d’une manière inverse, et se proposer le problème suivant , que nous nous dispenserons de résoudre,

a e Problème. D'un foyer (Tune courbe du second degré , on mène un rayon quelconque à la courbe , et par son extrémité une parallèle à l'axe qui contient ce foyer , de telle sorte que le rapport de ces deux lignes variables soit constant. On demande le lieu des extrémités de la parallèle à l’axe , pour une valeur donnée du rapport , et quelle valeur il faudrait donner à ce rapport pour que le lieu fut une ligne droite.

3 e Problème. Trouver le lieu des intersections de deux tangentes à une ellipse , qui se meuvent de manière à être toujours parallèles à un système de diamètres conjugués.

Soient x', y' et x*, y", les coordonnées des deux points de contact, et a'y* -}- b'x'—'a’b* l’équation de l’ellipse; les équations des tangentes seront

( i ) . . . b*xx’= u'b * , (a) . . . a*yy”-t- fi’xx'= a*i*.

On aura en même temps

(3) . . . c 2 / 2 -f fi* x'* = a* fi* , (4) . . . a*/'’ -f fi* x** = o*fi*.

De plus, ces tangentes devant être parallèles à deux diamètres conjugués, le produit des tangentes trigonométriquesdes

s fi*

angles qu’elles font avec l’axe des x , doit être égal à — — ; ce

gui donne

¥±?L=-L, ou (5)...6‘x / x*+a* y y = o.. é

Désignant par x ,y, les coordonnées du point de rencontre des tangentes, elles satisferont' aux équations (1), (a) , de ces droites ; et pour avoir une équation où ces coordonnées soient les seules variables, ce qui sera l’équation du lieu demandé, il suffira d’éliminer x' ,ÿ ,xF, y" , entre les cinq équations précédentes.

Pour simplifier cette, élimination, on observera qu’il suffit de trouver l’expression des produits x x" , y' y" , en fonction de x et y , et de les reporter dans l’équation (5). Eliminant d’abord y entre les équations (x) et (3), il vient ,,

(6 ) . . . (oy •+• 6*x*)x'*, — 2 a'b*xx' -f- c 4 (b* — y*) = o.

Or, l’équation en x* , résultant de l’élimination de y’ entre (a) et (4) ,cût été la même; les deux racines de l’équation (6) expriment donc x'et x" ; de sorte que

ay + b'x 1 ’

Mais, ei l’on change les x en y , et b en a , et réciproquement, les équations primitives ne changeront pas; il en sera de même de tous les résultats de leurs combinaisons; et ce changement fait dans (G) , donne

Zd (a* — x“) b‘x* -f- ay ’

Reportant les valeurs (7), (8), dex'x" Gty'y“, dans l’équation (5) , on trouve que l'équation du lieu géométrique demandé est

ay -f- Zdx 3 = 2 a* b 3 .

Ainsi , ce lieu est une ellipse ayant pour axes a \/ a et b [/ 2 , et par conséquent semblable à la proposée, puisque le rapport des axes est Je même.

Du pourra résoudre le même problème pour l’hyperbole.

4* Problème. Trouver le lieu des intersections de deux tangentes à une ellipse , qui se meuvent de manière à faire constamment un angle donné , dont la tangente trigonomd~ trique est m.

Soit tPy* -f- b’x* = a*b* , l’ équation de l’ellipse donnée; si nous désignons par p', p', les tangentes trigonométriques des angles que font avec l’axe des x les deux tangentes à l’ellipse, on aura la condition

11 s’agit d'exprimer p ' et p* , en fonction des coordonnées di* point de rencontre des tangentes. Cherchons donc une équation qui ait p' et p" pour racines. Soit pour cela l’équation d’une droite quelconque

y = pxfq-,

en cherchant son intersection avec l’ellipse , et exprimant que les deux points d’intersection se confondent en un seul, on trouve la condition

Désignant par x', y les coordonnées du point d’où l’on fait partir cette tangente , on aura

y ~ px -f- <7; d’où q —y — px'.

Reportant cette valeur de q dans l’équation (a) , il vient

y a -HpV* — apx'y' = tCp* -f- b ‘ ,

ou p’(a* — x /a )-f -o.px?y' -\-b % — y*=o.

Les deux valeurs dep tirées de cette équation, exprimant p' et p" on en conclura, d’après les propriétés connues des racines,