AB X AC : AD X AE A'B' X A'C' : A'D' X A'E

„ Cette propriété a lieu quelque part que soient pris les points A et A' , dans le plan de la courbe.

Si l’on prend pour l’un d’eux le point de couconrs des tangentes parallèle? aux sécantes, le rapport constaul sera celui des carrés des portions de tangentes comprises entre le point de rencontre de ccs tangentes et les points de contact.

Si la courbe à un centre, et qu’on mène les sécantes par ce ■point , le rapport constant sera celui des carrés de ces diamètres.

2 e Corollaim. Si par un point douné A {fi g- i4i>), on tire une, droite qui coupe une courbe du second degré en deux points B, C , et qu’on propose d’en tirer une seconde ADE , telle que les deux produits AB X AC, AD X A-E, soient égaux, il suffira de mener la droite AE de manière à ce qu’elle forme avec un axe de la courbe le même angle que AC; car alors les tan* génies para'lèles se couperont sur cet axe et seront de mémo grandeur; le rapport de leurs carrés sera donc l’unité, et par* conséquent les deux produits en question, qui out entre eu* le même rapport, seront aussi égaux.

TaÉouÈME. {Fig. i43). Si d’un point quelconque d’une directrice ,onmène deux tangentes à une courbe du second degré . et qu’on abaisse du même point une perpendiculaire sur la droite qui joint les points de contact, la rencontre de ces deux dernières droites aura lieu au foyer F de la courbe.

En effet, tirons par le foyer F deux sécantes quelconques MP,QN , les droites NM, PQ, prolongées se rencontreront ea un point S de la directrice, qui est la droite conjuguée du foyer {pag. 338). Joignons SF, et abaissons sur la directrice le» perpendiculaires MK, NH, les triangles SFM , SNF, ayant un angle égal en S, seront entre eux comme les rectangles des côtés qui comprennent cet angle, ou comme SM est It SN , ou comme MK est à NTI , ou enfin , comme FM est à FN (d’après la propriété connue de La directrice ).

Les deux mêmes triangles sont donc entre eux comme les

rectangles des côtés qui comprennent leurs angles en F ; donc ces angles sont égaux ou supplémens l’un de l’autre. Or, dan» le cas actuel ils 11e peuvent être que supplémens ; la droite SF partage donc l’angle MFQ en deux parties égales.

Cela posé , si on suppose que les deux sécantes MP , NQ , se rapprochent indéfiniment l’une de l’autre, les mêmes relations auront toujours lieu; ces deux sécantes tendront à se réduire à la droite qui joindrait les points de contact des tangentes à la courbe menée par le point quelconque S de la directrice; et de plus, SF tend à devenir perpendiculaire sur cette droite, puisque l’angle MFQ devient alors égal à deux angles droits. Ce qui démontre le théorème énoncé.

TuéokIîme. ( Fig. 1 44 ). Le produit des perpendiculaires abaissées des deux foyers F, F', d'une courbe du second dé g ré, sur une tangente quelconque PP', à cette courbe , est égal au carré du demi-axe h qui ne contient pas les foyers.

En effet, soit A le centre , et (1).... a*y* -j-b*x* — a'b*, l’équation de la courbe. Les foyers F, F', seront sur le grand axe BD = 2 a. On aura ,

AB = AD = a, AF = AF' =c , a*— A\

Tirons la perpendiculaire AM à la tangente PP', et la parallèle KAK'à PP', nous aurons AP— a (page *85) et