EG X GF
EGF = 3u ,
EG = isA=4n
GF= V3 S0= r>
EF — r 1 — BC == r* — AB + AC = r* — (a — v) 1 + ^ (a — vf = r*— ? (a — v) 1 ;
COS 3i* :
ou
cos
j.=' I s[-£=.(î=on i
sL av J
telle est l’équation polaire de la courbe, en comptant les angles à partir de la génératrice qui passe par le point donné , et les rayons vecteurs , à partir du sommet du cône.
Si dans cette équation on fait a — 3 , r=a, on trouve
oos 3 u.
d’où
8 + cos I / ; 75 — : — 7 ÿ 5" . *
v = — dt „ k » 9 + co s*3ix +i6 cos 3u.
Sous la première forme, l’équation nous montre, à cause des trois valeurs de u correspondant^ à une valeur de cos 3u,
que si l’on partage la circonférence en trois secteurs de -
d’angle droit chacun , la courbe sera symétrique dans chacun de ces secteurs ; en sorte qu’il suffira de voir sa forme entre les lignes PB , PB'; biais CB, sur laquelle on compte les angles , partageant BPB' en deux parties égales, la meme forme d’équation fait voir que la portion de 1a courbe comprise entre ces deux droites, sera Symétrique au-dessus et au-dessous de PC ; en sorte qu’il suffit de la discuter dans l’angle BPC ; c’est-à-dire depuis cos3u = — i , jusqu’à cos 3« — ■+■ î ; les valëurs de v correspondantes sont :
or^, en prenant le signe positif pour le radical , on voit facilement que cos 3 il augmentant depuis — i jusqu’à 4- i, v augmente depuis 3 jusqu’à 5 ; doue la combe aura à peu
pros la forme EC, si PE = 3 , P = 5» Il y aura une autre
branche (ce) séparée de la premiè^, pour laquelle Pe=-,
Pc = i'; car il est facile de prouver qu’il n’existe pas de courbe entre le point e et le point E ; pour cela faisons v=3 — <5’' dans la première équation , J 1 étant moindre que Ee, et par conséquent moindre que a , nous aurons
-*■— KÊS)'
or , - f — j J est positif, si <1 < a; et il faudra que l’on
- ïG=$)< 2 , ou au plus égal ; de là on tire ^
ou égal ; d’où v < 3 — - <C ^ , ou au plus égal , quand. . ; „•
cos 3uzx= — j , c’est-à-dire sur le rayon PB.
Enfin la génération de la courbe fait voir que la «plus grande valeur du rayon vecteur PC est 3 + 2 , et que la plus petite Pc = 3 — 2 ; donc si on achève la courbe dans les autres angles où elle est symétrique, et que l’on décrive quatre cercles du centre P, avec les rayons 5 , 3 , î la courbe sera tout entière comprise dans le cercle PC qu’elle touchera aux points C, F # L; elle se composera de deux courbes distinctes, l’une comprise entre ce premier cercle et le cercle PE qu’elle touchera aux points E , N , I ; i’autre comprise entre les cercles décrits du rayon Pc qu’elle touchera aux points c, g , /, et du rayon Pe qu’elle touchera aux points e, n , il n’y aura rien dans le cercle Pc, rien entre les cercles Pe , PE.
On voit que le cône développé ne fournira que le secteur BPB'; en sorte que le compas n’aura décrit que la courbe comprise dans cet espace , ou le tiers de la courbe entière. '
Théorèmes à démontrer. ' *
i ton décrit une circonférence d'un
diamètre quelconque dont le centre d sait celui du cercle inscrit dans le triangle ABC, la somme des carrés des distances des sommets A , B , C, à un point quelconque m de cette circonférence, multipliés respectivement parles côtés BC, AC, AB opposés aux sommets A, B, t, sera toujours la même, queJ que soit le point que l’on prenne sur la circonférence. C'est-à-dire
que la somme des solides MA X BC, MB X AC, MC X AB, sera la même pour tous les points de la circonférence mentionnée. ‘
Il est visible que l’on peut, dans cet énoncé, remplacer les cdtés BC, At, AB par les sinus des angles A, B, C.
Il existe, pour la pyramide triangulaire, une proposition analogue.
r TnÉonibat. {Ci g- 165). Soient , ABCDE un polygone quelconque inscrit dans un cercle , FGH1K un polygone circonscrit dont les côtés touchent la circonférence aux sommets A, B, C, D , E du premier polygone ; si l’on décrit avec un rayon arbitraire une nouvelle circonférence qui ait le même centre que la première, la somme des carrés des distances des sommets A, B, C, D , E à un point quelconque m de cette circonférence, giultipliés respectivement par les tangentes Kl, KF, FG, GH , HI , sera toujours la même. Cest-à-dire que la somme des solides
M“x Kl , MB X KF, MC X FG, MD X GH*, M˓x IH , est constante.
Si le polygone ABCDE était régulier, les tangentes Kl, KF, FG, etc., seraient égales, et ce serait alors la somme des carrés
MA , MB , MC , MD , ME, qui resterait constante. Ce cas particulier est déjà consigné dans la Géométrie de position.
Théorème. Dans tout polygone, plan ou gauche, la somme des carrés des droites qui joignent deux à deux les points milieux tant des côtés que des diagonales , est le huitième de la
«o mme des carrés de ces cotés et diagonales , multipliée par le produit des deux nombres que Fort forme en retranchatit suc cessivement 1 et a du nombre des sommets de ce polygone. C’est-à-dire que si l’on désigpe par n le nombre des sommets du polygone , par D la somme des carrés tant des côtés que des diagonales , par d la somme des carrés des droites , qui joignent deux à deux les points milieux, tant des côtés que des diagonales, on aura toujours
d=- s an
Dans le cas d’un triangle, n = 3, et la formule donne
dz=\ D.
Si n = 4, on trouve t/ = - D; ainsi , dans un quadrilatère,
la Somme des carrés des quinze droites qui joignent deux à
deux les milieux tant des côtés que des diagonales, égale les -
des carres de ces côtés et diagonales.
Nota.^VI. Carnot a donné (Géométrie de position, pages 33i
et 33a) la formule d=:~(n — a)D, mais M. Carnot s’est
trompé. Cela devient évident lorsqu’on suit les calculs qui l’ont conduit à ce résultat ; d’ailleurs , en appliquant sa formule au
quadrilatère, on trouve d = -D, tandis qu’on devrait trou*
ver
comme il est facile de s’eu assurer.
